第21卷第4期宝鸡文理学院学报(自然科学版)VO1.21NO.4 2001年12月JOurna1Of BaOji CO11ege Of ArtS and Science(Natura1Science)Dec
= ===============================================================
.2001 ETFM方法和非线性波方程的精确解
姚若霞1李志斌2
(1.渭南师范学院计算机科学系陕西渭南714000;2.华东师范大学计算机科学技术系上海200062)
摘要：借助计算机代数Map1e利用修正的双曲函数方法获得了若干非线性发展方程(方程组)不同类型的孤立波解这些解包括所有的已知解同时获得了形为Sech>tanh Sech以及cSch>cOth cSch 的许多新解O
关键词:ETFM方法；非线性波方程；精确解
中图分类号:O175.14文献标识码:A文章编号:1007-1261(2001)04-0253-03 Exact solutions of nonlinear wave eguation
using an extended tanh function method
YAO RuO-xia1LI zhi-bin2
(1.Dept.COmputer Sci.Weinan TeacherS CO11ege Weinan714000 Shaanxi China;
2.Dept.COmputer Sci.EaSt China NOrma1Univ.Shanghai200062 China)
Abstract:A cOnciSe and direct methOd iS deScribed tO cOnStruct the trave1ing Wave SO1utiOnS tO nOn1inear Wave eguatiOnS.Severa1neW SO1utiOnS(either functiOna1Or parametrica1)Of tWO c1aSSica1e-guatiOnS With the aid Of the SymbO1ic manipu1atiOn SyStem are Obtained by the methOd.
Key words:ETFM methOd;nOn1inear Wave eguatiOn;exact SO1utiOn
MR(1991)Subj ect Classif ication:34A34
行波解在非线性科学中扮演着很重要的角色O在数学中对于一个非线性发展方程来说我们首先就要考虑它的行波解O近几年来由于计算机代数系统Map1e Mathematica的广泛应用使得我们能借助于它们很有效地做一些复杂而繁琐的代数计算O正是基于此原因非线性发展方程孤立波解的直接求法也变得越来越活跃方法也越来越多比较成熟的方法和技巧也有论述!1-6"混合指数法!2"便是其中之一O它被广泛使用在常微分和偏微分方程的求解中O它可以代替其它一般的方法来获得方程的所有单孤子解O但
是对于耦合的非线性方程组来说还有许多工作可以做O 文中我们将采用一种简单但可以广泛使用的方法对非线性常微分方程(方程组)进行分析并借助于计算机代数系统Map1e重新获得几个经典方程已采用混合指数法和其它方法得到的孤立波解同时还得到了其它方法从未得到过的一些的孤立波解O春申君黄歇
1ETFM方法
双曲正切函数方法是求解非线性发展方程精确孤立波解的最为有效的直接方法之一!1 5 6"O但由于该方法是先验地假设孤立波解可以表示为Tanh函数的有限级数因此它漏掉了像Sech Sech>tanh等形式的解O受此方法和!6"方法的启发我们给出一个更为有效的基于双曲正切函数方法思想的改善方法(ETFM)O该方法的关键思想是充分利用了耦合的Riccati方程组而不是Riccati方程的优点O
收稿日期:2001-04-1#
基金项目：国家重点基础研究发展规划资助项目($199#030600)
作者简介：姚若霞(196#-)女陕西大荔人讲师在读硕士研究方向：计算机代数O 李志斌(1960-)男陕西澄城人教授博士生导师O
设ODE(S)为非线性常微分方程(组)，求解其孤立波解的ETFM方法步骤如下,
D为求得ODE的精确孤立波解，考虑耦合的Riccati方程组,
/ -,/(1-2)(1)其中为不等于零的常数O方程组(1)有两组解,
Sech(),tanh(),(2)
cSch(),coth().(3)我们注意到解(2)满足关系,21-2，解(3)满足关系21-2.
@假设微分方程(组)的孤立波解具有如下形式且b,{分别是关于和的m,n阶多项式，即,
b
m
z O c z z-
m
z 1
Z z z-1,
{
n
z O c z z-
n
z 1
c z z-1,
(4)
其c
z,Z z,c z,c z 为待定常数，且存在c2
m-Z2m?O,
c2n-c2n?OO参数m,n分别可以通过平衡方程中的线性最高阶导数项和非线性项得到O
分别构造m阶的多项式b,n阶多项式{，将(4)代入ODE并反复使用(1)，我们可以把关于，的所有导数项
表示成和的级数O然后分别根据关系21-2和21-2使得方程的各项中只有~的幂次项，且的幂次项不大于1，合并和的同次幂项并取系数为零，则得到两个包含所有待定系数和有关参数的非线性代数方程组AES1和AES2.
借助于计算机代数系统Maple求解AES.
将(2)和(3)分别代入(4)，最终得到耦合的方程组ODES的精确孤立波解O
2应用
例1考虑由文献[7]提出的非线性浅水长波的近似方程推导而来的非线性常微分方程组,
b/cb-hb{-S,
{/p{-g{2-Tb
(5) /表示d/d ，是自变量,c,h,S,p,g,T是参数O由齐次平衡方法得,n1,m O,1,2.于是可设,
b c O-c1-c22-Z1-Z2,
{c O-c1-c1
(6)
其中c
1?O 或c
1?O.
将(6)代入方程(5)，相应于21-2的非线性代数方程组AES1为,
-Tc1-pc1-2gc O c1O,
-cZ1-hZ1c O-hc O c1O,自动挡起步
-c-1-cZ2-hZ2c O-hZ1c1-hc1c1O,
甜甜的肉肉-2 c2-hZ2c1-hc2c1O
-S-cc O-hc O c O-hZ1c1O
-cc2-Z1-hc2c O-hc1c1-hZ1c1O,
-
cc1-Z2-hc1c O-hc O c1-hZ2c1O,
2 Z2-hc2c1-hZ2c1O,
-TZ1-pc1-2gc O c1O,
-TZ2-c1-2gc1c1O,
-Tc O-pc O-gc2O-gc21O,
-Tc2-gc21-c1-gc21O.
(7)
按照ETFM方法，并利用吴文俊消元法或Gr o bner基方法，借助于计算机代数系统Maple 求解AES1和AES2(未给出)得到方程(5)的如下8组精确解,
(c)当h2g,S O时，解为,
b O,{
-p
2g
(1-tanh(
p
2
)).(8)
b O,{
-p
2g
(1-coth(
p
2
)
).(9) (Z)当O<c<p，或p<c<O，且h g, 2c(p-c),S c(c-p)(2c-p)/(gT)时，解为,
b
p-2c
做我老婆好不好
gT
~c(p-c)tanh(),
{
-c
g
-
~c(p-c)
g
tanh().
(1O) b
p-2c
gT
~c(p-c)coth(),
{
-c
g
-
~c(p-c)
g
coth().
(11)
(c)当cp<O,h g,2 -cp,
S -cp(c-p)/(gT)时，解为,
b
cp
gT
~
--cp
p
gT
tanh(),
{ -
~-cp
g
tanh().
(12)
b
cp
gT
~
--cp
p
gT
coth(),
{ -
~-cp
g
coth().
(13)
(c)当p2cg/h,S O时，解为,
高压锅做蛋糕b
p(p-c)
4gT
Sech2(
c
2
),
{
-p
2g
(1-tanh(
c
2
)
).
(14)
452宝鸡文理学院学报(自然科学版)2OO1年
/=p(p-c)
4g1
csch2(
c
2
Z),
g=-p
2g
(1-coth(
c
2
Z)).
(15)
解(8)和利用齐次平衡方法[8]获得的解相同O解
(10)和解(12)是方程(5)的两组新的扭状孤立波解O解(14)是一组(扭状~钟状)孤立波解O解(9)~
(11)~(13)~(15)分别为伴随(8)~(10)~(12)~ (14)的发散激波解;
例2在非线性光学中，标准的非线性
Schr o dinger方程经过适当的变换可以化做如下的双参数非线性常微分方程:
g"=gg-1g3(16) /表示d/dZ,Z是自变量,g,1是参数O我们希望对参数g,1的不同取值构造此方程的精确解O首先平衡(16)的g"和g3得其解的阶m=1，它在满足关系U2=1-t2时的非线性方代数方程组AES1为:
-1Z31-gZ1-31c20Z1=0,
-61c0c1Z1=0
-31c21Z1-1Z31-2Z1k2=0,
-31c0Z21-gc0-1c30=0,
-2c1k2-31c1Z21-1c31=0,
-gc1-c1k2-31c20c1-31c1Z21=0,
马趴31c0Z21-31c0c21=0
(17)
满足关系U2=1-t2时的非线性代数方程组AES2不再给出O同样求解AES1和AES2得到如下11组精确解:
当g<0,1>0时，解为:
g=
-
g
~1tanh(~-2g2Z)(18)当g>0,1<0时，解为:
g=
-2g
~1~
ch(g Z)(19)当g>0,1>0时，解为:
g =
2g
~1~
csch(g Z)(20)当g<0,1>0时，解为:
g=
-
g
~1coth(~-2g2Z)(21)当g<0,1>0时，解为:
g=
-g
~1~
(csch(-2gZ) ~
coth(-2g))(22)
当g>0,1>0时，解为:
g=
g
~1~~
(tan(2g c(2gZ)))(23)当g>0,1>0时，解为:
g=
g
~1~
(csc(-2gZ)
~
cot(-2g))(24)当g<0,1<0时，解为:
g=
2g
~1~
c(-gZ)(25)当g<0,1>0时，解为:
足球是什么
g=
-2g
~1~
csc(-gZ)(26)当g>0,1>0时，解为:
g=
g
~1tan(~2g2Z)(27)
当g>0,1>0时，解为:
g =
g
~1cot(~2g2Z)(28)其中解(18)和(19)对应于非线性Schr o dinger方程的暗孤子和明孤子，解(20)和(21)
为伴随于这种孤立波解的发散激波解O解(22)~(23)为得到的两个精确数学解O其它解为利用双典函数与三角函数间的关系，由(18)-(22)导出的三角函数形式的解O
3小结
利用改善的双曲正切函数方法，除了得到其他作者已得到的解以外，我们还得到了一些新解O 而且所有的解都代入原方程利用Maple进行了验证O该方法在求解不同的非线性常微分方程(组)时都是简洁~高效和实用的O目前，我们正在进行研究以期该方法能够求解更多更复杂的非线性方程的精确孤立波解O
参考文献:
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(下转第258页)
552
第4期姚若霞等ET F M方法和非线性波方程的精确解
P2M22H(2)又据引理1 得
N f2H-1-
2H-1
~
证毕0
由P
M 的表示知显然有P
M2H
结合(2)
式便可得引理4.
引理4设f是任意H元布尔函数是它的序列P
M I max I<l> I0 1 2H-1} l是H H的第行那么P M2H.
定理5设f是任意H元布尔函数是它的序列那么
N f2H-1-2-12-1
2H-1
I0A2(U
~)(3)证明由引理2得:
2H
2H-1
I0A2(U)I
2H-1
I0
<l>4P M2
2H-1
I0
<l>2
对此式用ParSeval方程得
2H-1
I9
A2(U)2H P M2
因此P
M2-H
2
2H-1
I9
A2(U ~)
用引理1即得N
f2H-1-2-H
2-1
2H-1
I0
A2(U ~)
证毕0
在此因为A(U
0)I2H2H
有
2H-1-2-H2-1
2H-1
I0A2(U
~)2H-1-2H2-1
2H-1-
2H-1
~
2H-1-2H2-1.
可见不等式(1)和(3)是较常用形式N
f 2H-1-2H2-1的改进05Bent函数的新定义及几种等价定义定义6设f是H元布尔函数如果<l>2I 2H I0 1 2H-1 l是H H的第行称f是
Bent函数0
定理6设f是H元布尔函数是它的序列那么下列说法是等价的
(i)f是Bent函数0
(ii)对每一个 I0 1 2H-1 有< l>2I2H l是H H的第行0
(iii)I1.
四有革命(iv)A M I0.
(v)N f I2H-1-2H2-1.
(vi)S(f)(c)I2H2.
(vii)f的矩阵是Hadamard矩阵0
本文利用新的指标刻划了密码函数安全准则中相关免疫~线性结构~非线性度~扩散~严格雪崩等概念给出了Bent函数的新定义0我们还可以利用本文给出的新指标之间的关系来研究各安全准则之间的关系并给出其它一些重要密码特性的新表述0
参考文献
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curity[C].Berlin:Speinger-Verlag1999.284-
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(校对：李哲峰诸平)
(上接第255页)
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(校对：李哲峰诸平)
852宝鸡文理学院学报(自然科学版)2001年
