数据结构——图graph（基础概念）
数据结构：图结构的实现
【各种东拼西凑来的】
图(Graph)是由顶点和连接顶点的边构成的离散结构。在计算机科学中，图是最灵活的数据结构之⼀，很多问题都可以使⽤图模型进⾏建模求解。例如：⽣态环境中不同物种的相互竞争、⼈与⼈之间的社交与关系⽹络、化学上⽤图区分结构不同但分⼦式相同的同分异构体、分析计算机⽹络的拓扑结构确定两台计算机是否可以通信、找到两个城市之间的最短路径等等。
1 图的概念
1.1 图的基础概念串讲
操纵的近义词
图的结构很简单，就是由顶点$V$集和边$E$集构成，因此图可以表⽰成$G=(V, E)$。
注意：顶点有时也称为节点或者交点，边有时也称为链接。
注意：
⽆向图
我们可以说这张图中，有点集$V=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，边集$E=\{(1, 2), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (4, 5), (4, 6)\}$。在⽆向图中，边$(u, v)$和边$(v, u)$是⼀样的，因此只要记录⼀个就⾏了。简⽽⾔之，对称。
有向图
镜片品牌排行榜
也很好理解，就是加上了⽅向性，顶点$(u, v)$之间的关系和顶点$(v,u)$之间的关系不同，后者或许不存在。例如，地图应⽤中必须存储单⾏道的信息，避免给出错误的⽅向。
加权图
加权图：
权：与图的边或弧相关的数叫做权。
与加权图对应的就是⽆权图，或叫等权图。如果⼀张图不含权重信息，我们就认为边与边之间没有差别。不过，具体建模的时候，很多时候都需要有权重，⽐如对中国重要城市间道路联系的建模，总不能认为从北京去上海和从北京去⼴州⼀样远(等权)。
⽹(network)……然⽽，如⽆必
⽆向完全图；加权图起⼀个新名字，叫⽹(network)
还有很多细化的概念，⽐如：⽆向图中，任意两个顶点间都有边，称为⽆向完全图
要，⽏增实体。
两个重要关系：
两个顶点之间的⼀种关系。如果图包含$(u,v)$，则称顶点$v$与顶点$u$邻接。当然，在⽆向图中，这也意味着顶邻接(adjacency)
邻接(adjacency)：邻接是两个顶点之间
点$u$与顶点$v$邻接。
边和顶点之间的关系。在有向图中，边$(u,v)$从顶点$u$开始关联到$v$，或者相反，从$v$关联到$u$。注意，有关联(incidence)
关联(incidence)：关联是边和顶点之间
出度(out-degree)。⽆向图中，顶
⼊度(in-degree)和出度(out-degree)
向图中，边不⼀定是对称的，有去⽆回是完全有可能的。细化这个概念，就有了顶点的⼊度(in-degree)
盖亦反其本矣
点的度就是与顶点相关联的边的数⽬，没有⼊度和出度。在有向图中，我们以图1-2为例，顶点10有2个⼊
度，$3\rightarrow10$，$11\rightarrow10$，但是没有从10指向其它顶点的边，因此顶点10的出度为0。
路径(path)：依次遍历顶点序列之间的边所形成的轨迹。注意，依次就意味着有序，先1后2和先2后1不⼀样。
路径(path)
简单路径: 没有重复顶点的路径称为简单路径。说⽩了，这⼀趟路⾥没有出现绕了⼀圈回到同⼀点的情况，也就是没有环
环。
简单路径
环/回路：包含相同的顶点两次或者两次以上。图1-3中的顶点序列$<1,2,4,3,1>$，1出现了两次，当然还有其它的环，⽐如$<1,4,3,1>$。
环/回路
简单回路/简单环：除了第⼀个顶点和最后⼀个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路
简单回路/简单环：
四顶点的有向带环图
有向⽆环图有特殊的名称，叫做DAG(Directed Acyline Graph)
DAG(Directed Acyline Graph)（最好记住，DAG具有⼀些很好性质，⽐如⽆环图：没有环的图，其中，有向⽆环图
⽆环图
很多动态规划的问题都可以转化成DAG中的最长路径、最短路径或者路径计数的问题）。
下⾯这个概念很重要：
两个连通分⽀：
不连通的图，a和d之间没有通路
强连通的。
连通的
连通的：⽆向图中每⼀对不同的顶点之间都有路径。如果这个条件在有向图⾥也成⽴，那么就是强连通
连通分量：⽆向图中的极⼤连通⼦图。
连通分量
两点强连通：在有向图G中，如果两点互相可达
强连通图：
强连通图：如果有向图G的每两个顶点都强连通（任意两点互相可达），称G是⼀个强连通图。
强连通分量：⾮强连通有向图的极⼤强连通⼦图，称为强连通分量(strongly connected components)。
强连通分量：
失去连通性，则称该顶点
移除某个顶点将使图或者分⽀失去连通性
关节点(割点)
关节点(割点)：某些特定的顶点对于保持图或连通分⽀的连通性有特殊的重要意义。如果移除某个顶点
关节点。（在某图中，若删除顶点V以及V相关的边后，图的⼀个连通分量分割为两个或两个以上的连通分量，则称顶点V为该图的⼀个关节
为关节点
快乐作文400字
点）。
桥。
割边或者桥
桥(割边)：和关节点类似，删除⼀条边，就产⽣⽐原图更多的连通分⽀的⼦图，这条边就称为割边
桥(割边)
双连通图：在⽆向连通图中，如果删除该图的任何⼀个结点都不能改变该图的连通性，则该图为双连通的⽆向图。个⼈理解就是⼀个双连通图没双连通图
有割点，没有桥的图。
1.2 ⼀些有趣的图概念豆沙包怎么做
这⼀部分属于图论的内容，基础图算法不会⽤到，但是我觉得挺有意思的，⼩记如下。【这部分我没看，照搬过来了】
同构4：图看起来结构不⼀样，但它是⼀样的。假定有$G_1$和$G_2$，那么你只要确认对于$G_1$中的所有的两个相邻点
相邻点$a$和$b$，可以通过某种⽅式$f$映射到$G_2$，映射后的两个点$f(a)$、$f(b)$也是相邻的。换句话说，当两个简单图同构时，两个图的顶点之间保持相邻关系的⼀⼀对应。
图的同构
图1-7就展⽰了图的同构，这⾥顶点个数很少判断图的同构很简单。我们可以把v1看成u1，⾃然我们会把u3看出v3。⽤数学的语⾔就是
$f(u_1)=v_1$，$f(u_3)=v_3$。u1的另外⼀个连接是到u2，v1的另外⼀个连接是到v4，不难从相邻顶点的关系验证
$f(u_2)=v_4$，$f(u_4)=v_2$。
不重复的经过所有桥(边)并且返回出发点。欧拉回路(Euler Circuit)：⼩学数学课本上的哥尼斯堡七桥问题，能不能从镇⾥的某个位置出发不重复的经过所有桥(边)并且返回出发点
欧拉回路(Euler Circuit)
每个顶点这也就⼩学的⼀笔画问题，欧拉⼤神解决⾥这个问题，开创了图论。结论很简单：⾄少2个顶点的连通多重图存在欧拉回路的充要条件是每个顶点的度都是偶数。证明也很容易，⼤家有兴趣可以阅读相关资料。结论也很好理解，从某个起点出发，最后要回起点，中间⽆论路过多少次起点，的度都是偶数
都会再次离开，进、出的数⽬必然相等，故⼀定是偶数。
不能重复经过点。你可能会感到意外，对于欧拉回路，我们可以轻哈密顿回路(Hamilton Circuit)
哈密顿回路(Hamilton Circuit)：哈密顿回路条件就⽐欧拉回路严格⼀点，不能重复经过点
我们却很难解决哈密顿回路问题，实际上它是⼀个NP完全问题。这个术语源⾃1857年爱尔兰数学家威廉·罗万·哈密顿⽽易举地回答，但是我们却很难解决哈密顿回路问题，实际上它是⼀个NP完全问题
爵⼠发明的智⼒题。哈密顿的智⼒题⽤到了⽊质⼗⼆⾯体（如图1-8(a)所⽰，⼗⼆⾯体有12个正五边
形表⾯）、⼗⼆⾯体每个顶点上的钉⼦、以及细线。⼗⼆⾯体的20个顶点⽤世界上的不同城市标记。智⼒题要求从⼀个城市开始，沿⼗⼆⾯体的边旅⾏，访问其他19个城市，每个恰好⼀次，最终回到第⼀个城市。10副对联
哈密顿回路问题
等价的问题：对图1-8(b)的图是否具有恰好经过每个顶点⼀次的因为作者不可能向每位读者提供带钉⼦和细线的⽊质⼗⼆⾯体，所以考虑了⼀个等价的问题
同构于⼗⼆⾯体顶点和边。
回路？它就是对原题的解，因为这个平⾯图同构
著名的旅⾏商问题(TSP)
旅⾏商问题(TSP)要求旅⾏商访问⼀组城市所应当选取的最短路线。这个问题可以归结为求完全图的哈密顿回路，使这个回路的边的权重和尽可能的⼩。同样，因为这是个NP完全问题，最直截了当的⽅法就检查所有可能的哈密顿回路，然后选择权重和最⼩的。当然这样效率⼏乎难
近似算法，可以完全求解城市数量上万的实例，并且甚⾄能在误差以忍受，时间复杂度⾼达$O(n!)$。在实际应⽤中，我们使⽤的启发式搜索等近似算法
1%范围内估计上百万个城市的问题。
1.3 ⼩结
以为可以⼀带⽽过，结果写了那么多。也没什么好总结的了，当然这些也⾄是图论概念的⼀⼩部分，还有⼀些图可能我们以后也会见到，⽐如顺着图到⽹络流，就会涉及⼆分图，不过都很好理解，毕竟有图。
春风春雨
图的存储结构
1、数组（邻接矩阵）
2、邻接表
广告公司职位
3、⼗字链表
4、邻接多种表
