“广义芝诺悖论”的探讨
邓小华 ，陆 明
( 复旦大学 信息科学与工程学院 光科学与工程系 ，上海 200433)
摘要 ：两辆相向匀速运动的车之间有一只小鸟 ，在两车间来回飞行. 小鸟运动速率比车的要大 ，其初始位置是 x 0 . 当两车
最终相遇时 , 相遇位置就是小鸟的最终位置 . 现在逆向演示 ( 回放) 该过程 , 即小鸟从两辆车相遇位置出发而两车作相背运动 .
当两车回到它们的初始位置时 , 小鸟将回到 x 0 点 . 然而 , 在正过程中 , 由于两车相遇位置 ( 即小鸟的最终位置) 实际上和小鸟的 初始位置无关 , 因此在逆过程中 , 小鸟最终可以处在任意位置而未必回到 x 0 点 . 由此产生悖论 , 称做“广义芝诺悖论”. 通过建 立适当的物理模型 , 利用运动定律 , 分析并最终解决了这个悖论问题 . 中图分类号 :O 311. 1 文献标识码 :A 文章编号 :1000
20712 (2006) 05 20056 204 古希腊著名的数学家 、哲学家芝诺 ( Z eno , 公元 前 490～前 425 年) , 以其悖论而闻名于世 . 本文讨论
的是其中的一个 , 叫做“广义芝诺悖论”[1 ] . 该悖论指 的
是 ：两辆相向匀速运动的车之间有一只小鸟 , 在两 车间来回飞行 , 小鸟运动速率比车的要大 , 其初始位 置是 x 0 . 当两车最终相遇时 , 相遇位置就是小鸟的 最终位置 . 现在逆向回放该过程 , 即小鸟从两辆车相 遇位置出发而两车作相背运动 . 当两车最终回到它 们的初始位置时 , 小鸟将回到 x 0 点 . 然而 ,
在正过程 中 ，两车相遇位置 ( 即小鸟的最终位置) 实际上和小 鸟的初始位置无关 , 因此逆过程中 , 小鸟最终可以处 在两车间 任 意 位 置 而 未 必 回 到 x 0 点 . 由 此 产 生 悖 论 , 该悖论被称为“广义芝诺悖论”. 我们通过建立物 理模型 , 并利用运动定律
[2 ]
, 分析了该“悖论”. 发现 小鸟
从某一初始位置 x 0 运动到其最终位置 ( 即两车 相遇处) 的过程 , 必然对应于一组特定的加速度和与 两车相遇次数的组合 . 因此在逆过程中 , 小鸟也将逆 向遵循该加速度和相遇次数的组合 , 从而回到初始
为 s . 整个过程中 , 小鸟的尺寸可以忽略 , 故可将小 鸟视为一个点 . 当两车在中途相遇时 , 小鸟必定处在
z = s/ 2 处 ( 末态) .
图 1 广义芝诺悖论中的正过程
1. 2 逆过程
逆过程指的是上述过程的逆向回放. 此时 , 图 1
中的初 、末态互相颠倒. 小鸟的初始位置为 z , 两辆车
则以速率 v 1匀速相背而行. 当 A 、B 车分别回到 O 点
和 s 处时 ，小鸟预期回到 x 0点 ，但是 ，由图 1 的正过程
可见 ，不论小鸟的初始位置在哪里 , 它最终总是处在
z 处. 因此 , 从逻辑上讲 , 在逆过程中 , 小鸟最终可以
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处在 O 点和 s 处之间的任意位置 , 而不一定回到 x 0 点. 显然 ，这和逆向回放过程的预期结果矛盾. 这就是
“广义芝诺悖论”[1 ]
. 那么 ，问题出在哪里呢 ?
1 广义芝诺悖论
1 . 1 正过程
如图 1 所示 ,A 、B 两辆车以速率 v 1 匀速相对而 行 , 一只小鸟在其间以速率 v 2 匀速地来回飞行 , 且
收稿日期 :2005 - 08 - 02
作者简介 ：邓小华 (1985 —
) ，男 ，福建上杭人 ，复旦大学信息科学与工程学院光科学与工程系 03 级本科生.
大学生园地
向 , 再加速 ( 从 0 →v 2 ) , 而悖论中忽略了这一点. 以 下 , 我们通过考虑该变速过程 , 分析悖论的正过程.
我们把小鸟的飞行过程分成两个区域 , 即小鸟 匀速飞行区与小鸟和车将要相遇时的变速飞行区 . 为了简化问题 , 我们把每一次的变速都看成匀加速 直线运动 . 另外假设小鸟和车相遇瞬间 ( 此刻小鸟和 车
处在同一位置) , 它们的速度相同 , 都为 v 1 , 且同 向 , 也就是鸟车相遇发生在小鸟已“转身”并在从 0 →v 2 的加速过程中 ( 见图 2) . 为了简明地说明问题 , 我们选取了两种比较特殊的情况进行比较 , 也就是 小鸟初始位置 分别在
处和 处
同理 , 当小鸟和 A 车相遇 ( 车鸟第 2 次相遇) 时 , 有
2)
2 2)
2 ( v - v ( v + v 1 1 s - 2 v 1 t 1 = ( v 1 + v 2) t 2 -
-
2 a 2 a 1
2
(5)
即
(
v 1 - v 2) 2
2v 1 t 2 s + + - t 1
1 v 1 + v 2
(6)
以此类推 , 当车鸟第 n 次相遇时 , 有
( v 1 - v
2) 2 2 v 1 t n s + + v n - 1
2 a n - 1 1 2
(7)
因此车鸟 n 次相遇所经历的总的时间为
(
v 1 - v 2) 2 t n 总 = t 1 + t 2 + ⋯+ t n ns + ·
2
图 2 小鸟飞行过程速度变化示意图
n - 1
(
v 1 + v 2) 2 n
2 v
1
1 6
6
+ -
2 . 1 x 0在 O 处
令小鸟在变速区的加速度为 a i ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯) ,
i 表示小鸟和车相遇的次数 . 小鸟从 O 点出发 , 开始
时 ，小鸟与 A 车的速度都为 v 1 ( 为了和其他情况保 持一致 , 此次的车鸟相遇计为 0 次) , 然后小鸟以加 速度 a 0 加速至 v 2 , 之后作匀速运动 . 当小鸟接近 B 车时 , 又以 a 1 作 减 速 运 动 直 至 速 度 降 为 0. 然 后 转 向 , 继续以 a 1作加速运动 , 直至速度升为 v 2 后做匀 速运动. 期间在速度为 v 1 时小鸟和 B 车相遇 ( 车鸟
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t n - 1 ，总
2 v + v a i
i
1 2
i = 0
i = 1
(8)
2 . 2 x 0在 z 处
令小 鸟 在 变 速 区 的 加 速 度 为 a ′j ( j = 1 , 2 , 3 ,
⋯) , j 表示小鸟和车相遇的次数 . 再令小鸟从中点 z
飞向 B 车 ( 或 A 车) , 再 转 向 飞 回 中 点 所 需 时 间 为
t ′1 ,
其间车鸟有第 1 次相遇 , 且小鸟来回的飞行时间 t ′1 v 2
小鸟匀速飞行的时间为 t 匀0 = 2 - , 因此 , 匀速飞
a ′1
行的路程为 s 0 = t 匀0·v 2 . 在小鸟和 B 车相遇前 , 小鸟
v
2
v
1
总的飞行时间为 t 1总 = t 匀0 + , 因此 B 车行
a ′1 + a ′1
v 2 - v 1v
2 - ( - v 1) 进距离为 s = t ·v , 小鸟匀加速飞行的距离为 s t 1 = + t c + ( ) 1
1 1总 1
2 a 0 a 1
v 2 2 - v 2 1 = 2 a ′
. 由此得到 v 2 2 2 2 2 - v 1 v 2 - v 1
1 而
( ) s = v 1 t 1 + + v 2 t c +
2
2 a 0 2 a 1
s
(9)
= s 0 + s 1 + s 2 2
结合式 (1) 和式 ( 2) , 得到
(
v 1 - v 2) 2 ( v 1 + v 2) 2 整理式 (9) , 得到
s = ( v 1 + v 2) t 1
- (3)
-
2 a 2 a
0 1 1 2 2
s - ( v 1 - v 2) (10)
t ′1 =a ′1
整理后得
( v 1 -
v 2 ) 2 同理 , 小鸟再从 z 出发 , 和车 A 相遇 ( 车
鸟第 2 次相 遇) 后返回 z , 所需时间为
(4)
t 1 s +
校运会入场解说词
( v 1 + v 2) 2 2 a 1 1
a ( v 1 + v 2) 2 2 a n ( v 1 + v 2) 2 2 a 2
58
大 学 物 理 第 25 卷
1
1
1
ms - ( v 2 - v 2
)
+
+ ⋯+
1 2 a ′1
a ′2
a ′m
(14)
整理后得
2 ( v 1 - v 2) + 1 1 1 1 2 v 2
+ ⋯+ + + 1 a 1 a 2 a n - 1 2 a 0
( 3 v 1 - v 2 ) ( v 1 + v 2 ) 1
( )
a n
= 0
15 2
图 3 小鸟从中点 z 飞向车 B 再飞回 z 的示意图
于是有
2 n- 1
2 v 1 1 1 2v 1
6
s - ( v 2 - v 2
) 2
< 0 t ′2 - t ′1
1 2 a ′2
a i
v 1 + v 2 i =1
类似过程不断进行 , 当小鸟再从 z 出发 , 次相遇后小鸟返回 z , 所需时间为
(16)
2 v 2
1 1 a n ≥ a n > 0
2 v 1 1 s - ( v 2 - v 2) t ′m =
- t ′ 1 2
m - 1 a ′m
v 1 + v 2 (17)
(12)
1 1
反之 , 令 a n < a 0 , 则
a > a , 于是有 因此车鸟 m 次相遇所经历的总的时间为
n 0
2 2 ( v 1 -
v 2 ) 1 ( 3 v 1 - v 2 ) ( v 1 + v 2 ) 2 v 1 1 2
2) t m 总 = t ′1 + t ′2 + ⋯+ t ′m
= 1 ms - v 1 - ( v 2 · a > 0 + 2
a a 0 n 0
2 v 1 1 1 1
+ + ⋯+ - (13) t ( )
18 m - 1 , 总
a ′1 a ′2 a ′m v 1 + v 2 式 (17) 、
( 18) 均和式 (16) 不符 , 说明不可能存在 ( a i , 假设在上述两种初始位置情况下 , 车鸟分别经 过 n 、m 次相遇后 , 小鸟最终达到末态 , 落在了中点
z 处 . 将这两种加速度和相遇次数的组合分别记作 ( a i , n ) 和 ( a ′j , m ) . 如果存在这样的情形 ,
即 m = n , 且 a 1 = a ′1 , a 2 = a ′2 , ⋯, a n = a ′m , 记作 ( a i , n ) = ( a ′j ,
m ) , 那么 , 在回放前面的过程中 ( 小鸟初始位置在 O
点) , 小鸟将以逆向的加速度和相遇次数的组合 ( a i ,
n ) 飞行 , 它最终不一定回到 O 点 , 而有可能到达 z
点 ( 因为 ( a i , n ) = ( a ′j , m ) !) . 这就是导致悖论的关 键所在. 以下我们来探讨 ( a i , n ) = ( a ′j , m ) 是否能够 成立.
因为小鸟都已处在了最终位置 , 所以 t n 总 = t m 总
= s/ 2 v 1 . 如 ( a i , n ) = ( a ′j , m ) , 比较式 ( 8) 和 ( 13) , 则 n ) = ( a ′j , m
) . 也就是说 , 对于不同的初始位置 , 必 然对应一组特定的加速度和鸟车相遇次数的组合 .
而逆向地循着该加速度和鸟车相遇次数的组合 , 小 鸟将仍旧回到原出发点 . 因此 , 该悖论不成立 .
通过以上分析 , 我们发现 , 在“广义芝诺悖论”过 程中 , 在两辆相向运动的车之间飞行的小鸟 , 其到达 最终位置 ( 即两车相遇位置) 的过程 , 必定对应了一 组特定的小鸟加速度和与车相遇次数的组合 . 因此 在逆过程中 , 小鸟将逆向循着该加速度和鸟车相遇 次数的组合 , 仍旧回到原出发点. 由此 , 该悖论问题
参考文献 :
[1 ] 王树禾 . 数学聊斋 [ M . 北京 ：科学出版社 , 2002. 430～
431.
梁励芬 , 蒋平 . 大学物理简明教程 [ M . 上海 ：复旦大学
出版社 , 2002.
1 1
+ a 1
+ ⋯+
a +
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n - 1
[2 ] 1
+ ⋯+
a n
=
1
论语诠解v 1 + v 2
A solution to Z eno p ara d ox
DE NG X iao2hua , LU Ming
少年不知勤学苦(Department of Optical S cience and Eng ineering , S chool of In form ation S cience and Eng ineering ,
Fud an University , S hang hai 200433 ,China)
Abstract :The general Z eno paradox refers to a bird flying back and forth between tw o face2to2face m oving carts. The bird is finally l ocated at the positi on where the tw o carts m eet , and this final positi on is independent of where the bird initially is. Hence , it is concluded that for its reverd cour
什么是3d电影
, i . e . the bird starts m oving in its final positi on while the tw o carts go in a back2to2back way , the bird w ould not necessarily return back to its initial positi on at the end. In this w ork , we analyz ed this paradox related process by building physical m odels bad on the m oti on laws , and solved this problem.
K ey w or d s :Z eno paradox ; accelerati on ; uni form m oti on ;im pact process
( 上接33 页)
Improvement on experiments of over w eight and w eightlessness
MI Bao2guo , W AN G Shuo2jun
( T angshan Teachers’C ollag e Yu tian Branch , Tangshan , Heb ei 064100 , C hina)
Abstract :The indicator of the traditi onal dem onstrati on ex perim ent of the“overweight”,“weightlessness”is di fficult
for the student to e clearly and read it . And it is disadvantageously to the students to understand overweight and weight2 lessness. In im provem ent ex perim ent , the indicator is static in overweigh
t (or weightlessness) positi on. The students can accurately read out the num ber of degree , as soon as they com pare it with the object actual gravity. S o they can obtain the concept of“overweight”or“weightlessness”.
K ey w or d s :spring balance ; overweight ; weightlessness ; dem onstrati on ex periment ; im provem ent ; guide rail ; dial2 ing piece
( 上接55 页)
2 陆果，陈凯旋.高校理科非物理专业基础物理课程的现
代化问题J. 中国大学教学, 1995 (3) :22～23.[ 3] 王莉, 黄瑞霖, 张庆福.从学生学习兴趣的发展过程谈工科物理教材中的应用内容处理[J . 中国大学教学,
1995 (6) :42～43.
Th e i niti al edu cation ref orm of general physi cs f or
the medi cal u ndergra du ates
S ON G Feng , W U Xue , X U Wen2she ng
( T he ins titu te of Ph ysics , Nankai University , Tianjin 300071 , C hina)
Abstract :F or the medicine science undergraduates , we have tried a ries of initial reform ati on in general physics teaching , and gained som e ex periences. The reform is strengthened on undergraduates’interest pr om oti on , concept ad2 justing. We also try to apply new m ethods and m eans to im prove the teaching level .
K ey w or d s :m edical school ; general physics ; educati on reform
