第20卷第4期2022年4月
Vol.20，No.4
Apr.，2022太赫兹科学与电子信息学报
Journal of Terahertz Science and Electronic Information Technology
宽谱太赫兹量子级联激光器的自混合特性
葛磊，杨宁*，楚卫东，段素青
(北京应用物理与计算数学研究所，北京100088)
摘要：基于传输矩阵理论及多模速率方程，研究了宽谱太赫兹量子级联激光器在不同光反馈强度下的自混合动力学特性。研究发现，在弱反馈下光场自混合对激光器光谱特性影响很小；
反射物位置移动时的自混合信号呈正弦规律变化，同时自混合信号幅度随反射物位置的变化表现
出周期性调制现象。宽谱量子级联激光器在弱反馈下可以应用于测距、成像及光谱测量。在强反
馈下，宽谱激光器光谱受自混合影响显著，并有新的模式在原自由运行模式附近出现；但随着反
射物移动，自混合信号波峰个数同弱反馈条件下一致，可正确描述反射物的移动规律。因此，强
反馈下宽谱量子级联激光器仍可在一定条件下实现微米级的测距和成像技术。这一研究将有助于
发展基于宽谱太赫兹量子级联激光器自混合现象的传感器应用。
关键词：太赫兹；量子级联激光器；自混合；宽谱激光器；传输矩阵
中图分类号：O433.1文献标志码：A doi：10.11805/TKYDA2020703
Self-mixing interference in broadband terahertz quantum cascade lars
GE Lei，YANG Ning*，CHU Weidong，DUAN Suqing
频段带宽20好还是40好(Institute of Applied Physics and Computational Mathematics，Beijing100088，China)
Abstract
Abstract：：Self-mixing interference in broadband terahertz(THz)Quantum Cascade Lars(QCLs) are studied by the transition matrix theory and rate equations method.Under weak optical feedback
strength,with the target moving in uniform motion,the lf-mixing signal changes in a sine-like
waveform.It is found that the lf-mixing signal of the broadband THz QCLs under weak feedback can be
applied to range finding,imaging,and spectral measurement.Under strong optical feedback,the
spectrum is affected by the optical feedback obviously,while new modes ari near the solitary modes.
As a target moves in uniform motion,the lf-mixing signal shows the same number of peaks as that in
weak feedback ca.Therefore,the broadband QCLs under strong feedback cannot be applied to spectral
measurement,but it can be applied to realize micron-magnitude range finding and imaging under certain
conditions.The study is helpful to the application of THz nsor technology bad on lf-mixing
interference in broadband THz QCLs.
Keywords
Keywords：：terahertz；quantum cascade lars；lf-mixing interference；broadband lars；
transition matrix
太赫兹量子级联激光器(Terahertz Quantum Cascade Lars，THz-QCLs)是太赫兹波段全固态、单极性激光器。与传统半导体激光器相比，QCLs具有多量子阱周期性级联结构，电子在有源区单个量子阱周期辐射光子，从高能级跃迁到低能级并在弛豫区被抽取注入到下一个周期中，实现了单电子辐射多光子过程[1-2]。基于有源区以及波导结构设计的不断改进，THz-QCLs已经成为一种高效率、紧凑型太赫兹源[3]。由于其高相干、高功率、可设计、可调控等优点受到了广泛的关注和研究，在THz高分辨成像[4]、气体光谱探测[5]、频率梳技术[6]和生物医疗诊断[7]等领域有着广泛的应用前景。近年来随着THz-QCLs性能的改进，基于THz-QCLs的高分辨THz成像传感技术获得了快速发展，其空间分辨力已达微米甚至亚微米级别[8]。
在基于THz-QCLs的成像技术中，激光自混合干涉成像技术是重要的研究方向之一。自混合干涉指利用激光器出射光束，经外界物体反射后重新注入到激光腔内，并对腔内光场产生额外相干调制的技术[9]。通常把在光反文章编号：2095-4980（2022）04-0297-09
收稿日期：2020-12-16；修回日期：2021-03-05
*通信作者：杨宁email:******************
太赫兹科学与电子信息学报第20卷馈下引起的激光器光功率、频率、电压变化作为自混合信号。
通过对自混合信号进行分析，可以得到目标物位移、振动、速度、表面粗糙度等相应信息。THz -QCLs 自混合干涉作为相干测量技术，具有高灵敏、高精确度、系统简洁等优势，成为近年来研究热点。由于QCLs 本身具有极小的线宽增强因子，对外界光反馈显著的稳定性，以及较快的增益恢复时间等特性，使得QCLs 成为自混合技术中理想的THz 源。目前，基于QCLs 自混合干涉的成像技术已成功用于目标物位移探测[9]、生物组织成像识别[10]、三维THz 成像[11]，以及激光器自身频谱和动力学参数测量[12]等。
基于THz -QCLs 的自混合干涉技术除在成像上的应用，还有潜力发展为太赫兹光谱测量技术[13]。光谱测量应用中，在THz 波段进行检测的生物组织及化学材料通常包括了多个特征频谱，这就要求THz -QCLs 具有较宽的光谱，并可以在一定波段内调频[14-15]。随着太赫兹光谱技术需求的增加，宽谱THz -QCLs 成为近年来THz -QCLs 研究的重要方向。在已报道实验中，宽谱THz -QCLs 的频谱宽度可达几百GHz 、甚至1THz 以上[16-17]。虽然宽谱器件的研制已经取得了广泛的进展，但是基于宽谱THz -QCLs 的自混合干涉成像和光谱技术研究还非常有限。目前，理论计算已证实宽谱THz -QCLs 自混合干涉技术在光谱传感应用上的可行性[18]；基于宽谱THz -QCLs 的自混合探测装置已成功应用于气体特征吸收谱的测量[19]。
尽管宽谱THz -QCLs 已被证实可以应用于自混合探测，但是目前使用的宽谱THz -QCLs 谱宽仍然很小，激光模式数目仅有几个，距离真正实现宽谱THz -QCLs 自混合干涉成像和光谱系统仍有很大距离。对谱宽很宽、模式数很多的宽谱THz -QCLs 自混合干涉动力学特性的理解还非常有限。
在本文中，利用传输矩阵理论，计算在光反馈下光腔内多个工作模式的阈值增益。然后结合多模动力学方程，通过时间演化方法描述激光腔内模式竞争的动力学过程。通过与单模自混合信号对比，研究了宽谱THz -QCLs 在不同强度光反馈下自混合干涉信号的变化规律。从理论上探索了宽谱THz -QCLs 在自混合成像和光谱技术应用中的可能。
1基本原理
本文采用传输矩阵理论，分别求得光反馈下激光腔内各模式阈值增益和相应的模式寿命后，再结合多模速率方程得到各模式自混合输出功率信号。相比常用于描述单模激光器自混合性质的朗-小林方程(Lang -Kobayshi 方程，L -K 方程)，在描述宽谱激光器光腔内模式竞争时，简单地将单模L -K 方程扩展到多模方程，无法准确描述腔内各模式受到外界光反馈的影响。例如各模式在相同光反馈下不同的阈值增益及模式寿命，L -K 方程中并不直接给出。传输矩阵理论则能准确计算不同模式在相同光反馈下的模式寿命，从而通过结合多模速率方程反映腔内模式竞争行为，并求得输出功率。传输矩阵理论结合多模速率方程的方法已成功用于计算多节激光器腔内模式寿命及功率谱[20]，以及计算法布里-珀罗(Fabry -Perot ，FP)腔激光器和分布反馈式THz -QCLs 的自混合动力学特性[21-22]。
1.1传输矩阵理论
如图1所示的自混合干涉模型，假设光场E 只在z 方向传播，于是光场传播的连续性方程即一维Helmholtz 方程为：
¶2E ¶z 2+k 2E =0
(1)酸辣白菜怎么做
Fig.1Schematic of a broadband THz -QCL under lf -mixing feedback
图1宽谱太赫兹量子级联激光器自混合反馈效应示意图
式中：k =k (z )是介质中光波波数。298
第4期葛磊等：宽谱太赫兹量子级联激光器的自混合特性假设光场在z 方向上的增益和衰减是均匀的，那么光场可以写为正向传播的波包F (z )以及反向传播波包B (z )的叠加：
E m (z )=
F m exp (-i k m z )+B m exp(i k m z )(2)
相似的磁场强度H 写为：
H m (z )=-k m c ωF m exp (-i k m z )+k m c ωB m exp(i k m z )(3)李白的生平经历
式中：正体i 表示虚数单位；ω为光波角频率；c 为真空中的光速；m 表示相同介质的区间；k m 为波数并与光所处介质的复折射率相关，表示为：
k m =ωc (n m +i g m )(4)观世音菩萨
式中：n m 为相同区域的介质折射率；g m 为激光传播受到的增益。
根据光传播的连续性条件，在图1所示的任何边界处，E 和H 的正切分量都是连续变化的。将边界条件
表示成矩阵形式为：
()
F m +1B m +1=Q (z m )()F m B m (5)式中的传输矩阵Q (z m )由下式给出[20]：Q (z m )=æèççççççöø÷÷÷÷÷÷k m +1+k m 2k m +1exp ()i ()k m +1-k m z m k m +1-k m 2k m +1exp ()-i ()k m +1+k m z m k m +1-k m 2k m +1exp ()-i ()k m +1+k m z m k m +1+k m 2k m +1exp ()-i ()k m +1-k m z m (6)
激光器系统满足自激振荡条件时，系统无外部光场入射，此时光场边界条件为：
F 0=B 3=0(7)
结合式(5)和式(6)可以得到光场传输矩阵满足的超越方程：()0B 0=Q (z 2)Q (z 1)Q (z 0)()F 30(8)通过式(8)，可以求得激光自混合干涉系统中所有可能存在的模式并用l 表示，相应波矢为k m l =2πνl c
(n m +i g m l )
，此时复波矢在腔内(m =1)增益为光腔阈值增益g th l ；同时还可得到每个模式对应的F (z )及B (z )的值。1.2多模速率方程
在得到自混合系统中各模式的光场分布后，可求得模式l 由镜面损耗决定的模式寿命[20]：
τmirror l =
高清壁纸唯美∫z 0z 1U ()z d z +∫z 1z 1+L ex U ()z d z
02éëêêùûúú||B ()z 02()1-r 12+||F ()z 22
()1-r 22(9)
式中：能流密度U (z )=2ε0n (z )2éë|B (z )|2+|F (z )|2ùû
，ε0,μ0及n 0分别为真空介电常数、真空磁导率和真空折射率；r 1,r 2为激光器面反射系数，其大小可由界面相邻介质折射率得出；L ex 为激光器端面z 1到目标物反射面z 2之间的距离。考虑到激光器中的波导损耗，总的模式寿命τl 为：1τl =1τw l +1τmirror l (10)
299
描写山水的诗词太赫兹科学与电子信息学报第20卷本文中假设波导损耗τw l 对所有模式的影响均相同，一般直接写作τ
l 。求得激光器自混合系统中各模式寿命后，自混合系统中各模式粒子数随时间演化，由下面的三能级多模速率方程描述[23]：
d S l d t =Zg l S l -ΓS l τl +Z β(N 3τ32+N 3τ31)(11)
d N 3d t =I in q -N 3τ32-N 3τ31-∑l G l S l (12)
d N 2d t =N 3τ32-N 2τ21+∑l G l S l (13)
d N 1d t =N 3τ31+N 2τ21-N 1τout
(14)式中：S l 是模式l 的光子数；N 3,N 2,N 1分别是上辐射态、下辐射态和收集态载流子数；Z 是QCL 的增益周期数；G l 是模式l 的增益；Γ是限制因子；β是自发辐射系数；τij 是电子在能级i 和能级j 间跃迁寿命；I in 是注入电流；q 为电子电荷；τout 为收集态上电子向下一周期的跃迁寿命；模式增益G l =G 0(N 3-N 2)，其中G 0是微分增益系数。根据式(11)~式(14)可以得到光功率：
P l =h νS l /τ0(15)
式中τ0=2Ln eff /c ，为光在激光腔内往返时间。
2分析与讨论
文中计算使用的数据由表1列出。需要指出的是，在计算中没有直接使用线宽增强因子这一参数，这是因为量子级联激光器的线宽增强因子一般较小[24]，包含线宽增强因子的多模速率方程可以参考文献[25]。
首先选择一个固定的反射物位置L ex =47cm ，研究自混合对宽谱THz -QCLs 模式寿命和光谱特征的影响。宽谱THz -QCLs 在不同光反馈强度下，腔内模式寿命及功率谱如图2所示。需要指出的是，为了研究激光器内模式竞争行为，在计算中选取THz -QCLs 在2.6THz 附近的21个模式，并对所有模式都采用了相同的微分增益参数。由选取条件可知，该宽谱THz -QCLs 的谱宽约为0.34THz 。自混合光反馈强度通常可由目标物面反射系数表示，在计算中r 3=(n 3-n 2)/(n 3+n 2)
，其大小通过改变目标物折射率n 3控制。基于表1中的相关参数，弱光反馈指目标物反射系数约在0<r 3≤0.01区间内的反射情形；而中等反馈强度约在0.01<r 3≤0.23区间，此时式(8)解的个数不因
反馈强度增强而改变；当r 3>0.23时，式(8)有新的解出现，此时的反馈强度称为强光反馈。本文对宽谱QCLs 受到的光反馈强度的定义，与传统单模L -K 方程中光反馈强度的定义一致[26]。图2(a)为弱反馈条件下宽谱THz -QCLs 激光腔内各模式寿命。可以看出，很弱的激光自混合对宽谱THz -QCLs 中各模式的寿命影响较弱，各模式寿命长短与THz -QCLs 自由运行时基本相同。表1计算所用参数
Table1Parameters in calculations
parameter
lar length
number of gain stages
initial distance from z 1to z 2
refractive index
refractive index of active region
gain constant
linewidth enhancement factor
confinement factor
spontaneous emission factor
lar waveguide loss
differential gain coefficient
injection current
scattering lifetime from N 3to N 2
scattering lifetime from N 3to N 1
吃完螃蟹不能吃什么scattering lifetime from N 2to N 1
scattering lifetime from N 1to next N 3symbol L Z L ex n 0 n 2n 1g 0 g 2 g 3αΓβ1/τw G 0I in τ32τ31τ21τout value 0.3cm 10047cm 13.60cm -10[24]0.55×10-4[22]1/7.57ps -1[23]1.41×104s -1[22]300mA 2.1ps [23]2.4ps [23]0.26ps [23]0.5ps [23]
300
第4期葛磊等：宽谱太赫兹量子级联激光器的自混合特性随着光反馈强度从弱反馈增加到中等强度反馈r 3=0.1，各模式寿命如图2(b)所示。可以看出，在中等反馈强度下，部分模式的寿命增长，而部分模式的寿命缩短。这表明自混合干涉对不同模式表现出不同的衰减效应。图2(c)和图2(d)分别是对应于图2(a)和2(b)的功率谱。在弱反馈下，图2(c)中各模式功率基本相等，约为1.5mW 。当反馈强度增加
时，图2(d)中的部分模式功率增加到1.5mW 以上，而另一部分则低于自由运行时的模式功率，减少到1.5mW 以下。正是由于各模式寿命在不同反馈强度下有相应的增长和缩短，从而使得功率谱发生图2(c)和图2(d)中相应改变。
需要指出的是，图2中描述的自混合信号为固定目标物位置下的信号，当目标物移动时，外界光反馈会对各个模式的寿命产生周期性调制作用，进而影响不同模式的光功率，但每个位置的光谱变化规律仍如上所述。
令目标物连续移动，可以得到激光器连续变化的自混合功率信号D P =P -P 0，P 为有自混合干涉的激光器功率，P 0为激光器自由运行时功率。不考虑光束传播过程中损耗，单模THz -QCLs 在弱反馈下的自混合功率信号D P 随目标物移动距离D L ex 的变化规律，如图3(a)所示。从图中观察可知，单模自混合信号表现出类似正弦信号的变化规律，每个完整波形对应目标物移动半个波长λ/2的距离。宽谱THz -QCLs 在弱反馈下的自混合功率信号如图3(b)所示，在目标物移动和图3(a)中相同距离后，宽谱THz -QCLs 的自混合信号仍表现出类似的正弦变化规律。同时，自混合信号波形的峰值个数保持不变。但是，与图3(a)中单模THz -QCLs 自混合信号振幅保持不变的情形不同，图3(b)中宽谱THz -QCLs 自混合功率信号振幅随着目标物的移动而发生改变。这说明在相同的弱光反馈下，宽谱THz -QCLs 的自混合信号有着不同于传统单模器件的变化规律，主要表现为信号振幅的连续变化。通常，自混合技术用于位移测量或传感成像时，通过计算自混合信号峰值个数的变化规律，可以反映目标物
移动规律或者表面形貌特征。由于图3(b)中宽谱THz -QCLs 自混合信号与图3(a)中单模THz -QCLs 自混合信号具有相同的峰值个数，说明在弱反馈条件下，宽谱THz -QCLs 同样可以实现测距传感和成像等自混合探测技术。
为更清晰地显示宽谱THz -QCLs 自混合信号幅度变化规律，在计算中增加目标物移动距离为图3(b)的10倍，得到如图3(c)的自混合信号。从图可以看出，宽谱THz -QCLs 自混合信号振幅随目标物移动形成了一个包络，包络的极值在图中由数字标出。每个相邻极值间均包含了17个完整波形，对应于目标物移动距离D L ex »980μm 。
在研究了弱反馈和中等反馈强度下宽谱THz -QCLs 的自混合信号后，继续研究强反馈下的情形。在本文的理论模型中，激光器内可能存在的模式通过求解式(8)得到。经计算可以发现，原弱反馈条件下只有单个解
夜行书生电视剧的Fig.2Mode lifetimes and corresponding power spectra of the multimode THz -QCL under lf-mixing feedback with a fixed L ex =47cm
图2固定目标物位置L ex =47cm，宽谱太赫兹量子级联激光器内模式寿命及功率谱
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