收稿日期:2004204226
基金项目：国家自然科学基金资助项目(69972041)验光机
作者简介：王保平(19642)，男，博士.
一种新的自适应图像模糊增强算法
王保平1，刘怀亮2，李南京1，谢维信3
(11西北工业大学国防科学研究院，陕西西安 710072;21西安电子科技大学经济管理学院，陕
西西安 710071;31深圳大学信息工程学院，广东深圳 518060)
摘要：对图像模糊增强算法中的非线性变换进行了研究，发现了其存在变换强度较小，运算速度较慢，丢失部分灰度信息等缺点.提出了一种新的模糊增强变换算子，该变换算子不但克服了上述缺点，而且具有封闭性、变换强度可调以及移植性好等优点.另外，针对以往算法选取阈值参数的随机性问题，通过引入模糊熵，使阈值的选取具有了一定的目的性.将新的模糊增强算法应用于图像边缘检测中，取得了优于现有模糊增强方法的效果.
关键词：图像增强；边缘检测；隶属度函数
中图分类号:TP391141 文献标识码:A 文章编号:100122400(2005)022*******
A novel adaptive image fuzzy enhancement algorithm
WANG Bao 2ping 1,LIU Huai 2liang 2,LI Nan 2jing 1,XIE Wei 2xin 3
(1.N orthwest P olytechic University ,Defence Science and T echnology Academe ,X i ′an 710072,China ;2.School of Economic Management ,X idian Univ.,X i ′an 710071,China ; 3.Inst.of In formation Engineering ,Shenzhen Univ.,Shenzhen 518060,China )
Abstract : The no 2linearity trans form in image enhancement is studied in detail ,and its drawbacks are found ,on the basis of which a novel image fuzzy enhancement arithmetic operator is propod ,which not only has a closing character and an automatic 2adjusting character ,but als o has a transplant character to other enhancement arithmetic.In addition ,by quoting fuzzy entropy ,the lection of the threshold value in image enhancement is beneficial to a certain extent.We u our new alg orithm to extract image edges ,with a better result than that of the now 2available image fuzzy enhancement method.
K ey Words : image enhancement ;edge detection ;membership function
图像增强是图像处理的一个重要分支，根据Pratt [1]的理论，它的定义可表达为:“图像增强是用来提高图像的视觉效果，或将图像转换成适于人眼、机器分析形式的一门技术.”一般地，任何种类的图像归根结底是由人眼来观看的，一个优良的图像系统应与人的视觉机理有良好的匹配，因此人们希望使用一种能够描述人的视觉特性的模型和方法，而模糊集理论在分析诸如判断、感知及辨识等人类系统的各种行为时是一种有效的工具，因而模糊集理论正被越来越广泛地引入到图像增强算法[2～5]中，并取得了较好的效果.
用模糊方法进行图像增强的一般步骤为，首先将空域中的原始图像数据通过模糊化映射，使其成为特征平面中的模糊图像数据，然后利用非线性变换，对特征图像信息进行处理，最后将处理后的信息数据逆映射到空间域中去，从而获得增强后的图像.由于这类方法很好地利用了图像所固有的二义性，比较符合人的视觉习惯，因而图像增强的效果较好.但这类方法也有其缺点:⑴现有模糊增强算法中的核心变换，即非线性变换函数存在明显的缺陷.由于该类非线性函数在变换后其反函数局部无解，导致了图像的部分灰度信息被丢失，因而影响了图像的增强效果.⑵该类算法对阈值参数(渡越点)的选取是随机的、任意的，因而无法体现实际图像的层次信息，而且不能针对不同的图像自动进行阈值参数的选取，它需要人工介入，这就限制了其应
2005年4月
第32卷 第2期 西安电子科技大学学报(自然科学版)
J OU RNAL OF XID IAN UNIV ERS I TY Apr.2005
V ol.32 N o.2
用.⑶由于该类算法采用的模糊增强变换函数的形式固定且变换强度较弱，因而其必须经过数次迭代才能达到预期的目的，故该算法的运算速度较慢.
针对上述方法的不足，笔者提出了一种新的模糊增强方法.首先，新方法采用了一种更加有效的模糊增强变换函数.该变换函数不但克服了现有非线性变换函数的缺陷(速度慢且损失部分灰度信息等)，而且还具有封闭性和变换强度可调的优点，因而具有很好的可移植性及可扩展性，所以新的增强变换能够适合不同图像的增强任务要求.其次，通过引入模糊熵，获得了图像边缘附近像素点灰度值的统计信息，利用此统计信息提取出图像主要边缘信息对应的灰度值，并以此作为模糊增强算法中选取阈值参数的依据，克服了以往算法在选取该参数时的盲目性.最后，由于新算法对任何一幅图像阈值参数的选取均可以自动完成，而不需人为的介入，因此新算法具有一定的自适应性.
1 P al 算法及其改进型算法的缺陷
依照模糊集的概念，一幅大小为M ×N ，灰度级为L 的图像X ，可以表示为一个M ×N 的模糊矩阵
X =∪M i =1∪N j =1(μij /x ij ) .(1)
矩阵中的各个元素μij /x ij 表示图像中像素(i ,j )的灰度x ij 相对于某个特定的灰度级x 的隶属度，这是一个求模糊分布的问题，在经典的模糊增强算法[2～4]中,Pal 和K ing 取用的隶属函数为
拉萨景点μij =T (x ij )=[1+((L -1)-x ij )/F d ]-F e ,(2)
其中参数F d ,F e 和μij 的形状有关，可以通过渡越点确定，文献[3]给出了确定的方法，一般取F e =2.得到μij 后，要对图像进行模糊增强处理，采用如下变换:
μ′ij =I r (μij )=I 1(I r-1(μij )) , r =1,2,… ,开心5月
(3)I 1(μij )=2(μij )2 ,
0≤μij ≤0.5 ,1-2(1-μij )2 ,0.5<μij ≤1 .(4)
式(4)的操作结果是增大(当μij >015)或减小(当μij ≤0.5)μij 的值.
对μ′ij 进行逆变换，得到经过模糊增强后的图像X ′,X ′中的像素(i ,j )的灰度值x ′ij 为
x ′ij =T -1(μ′ij ) ,(5)
其中T -1(・
)为式(2)中T (・)的逆运算.式(2)中，设x ij =X c 时,T (X c )=0.5，称X c 为渡越点.则
T (X c )=[1+((L -1)-X c )/F d ]-F e =0.5 ,(6)
由此可得F d =[(L -1)-X c )]/(21/F e -1) .
(7)图1 μij ～x ij 曲线
参数F d 由X c 和F e 所决定，设定X c 和F e ，就可得到μij ～x ij 曲线,
图1给出了F e =2时μij ～x ij 曲线.
观察图1中0≤x ij ≤X c 这一区域，当x ij =0时μij 为最小，记
为α，由式(2)得
α=[1+(L -1)/F d ]-F e ,(8)
结合式(7)，有
α=[1+(21/F e -1)・((L -1)/(L -1-X c )]-F e .(9)
当F e =2时显然α>0.
经过式(3)的I r (・)变换后，会出现μ′ij <α的情况，此时
T -1(・)逆变换无解.为解决这一问题,Pal 算法中对μ′ij <α的情况
硬性规定μ′ij =α，这样将会造成在增强后的图像X ′中，原图像X 中
相当多的低灰度值被硬性切削为零，从而损失了X 中的部分灰度信息，影响边缘检测质量.
由实验结果可看出，式(2)的计算量很大，研究中发现采用不同的隶属度函数对处理的结果并不造成很803 西安电子科技大学学报(自然科学版) 第32卷
大的影响.注意到在经过T (・
)变换后还要进行T -1(・)逆变换，且T (・)与T -1(・)的函数复杂，这正是造成这种现象的原因.
为克服上述种种缺陷，文献[5]分别对式(2)～(5)进行了修改，其公式如下:
μij =T (x ij )=x ij /(L -1) ,(2)′
μ′ij =I r (μij )=I r (I r-1(μij )) , r =1,2,… ,(3)′
I 1(μij )=μ2ij /μc ,0≤μij ≤μc ,1-(1-μij )2/(1-μc ) ,μc <μij ≤1 ,(4)′
x ′ij =(L -1)μ′ij
.(5)′此时,μc =T (X c )=X c /(L -1),μc 的值不一定等于015.I r (μij )的效果是增大(当μij >μc )或减小(当μij ≤μc )μij 的值.当μij >μc 时，非线性变换的结果使μij 的值向1靠拢，从而使得x ij 向L -1靠拢；反过来，当μij ≤μc 时，非线性变换的结果使μij 的值向0靠拢，从而使得x ij 向0靠拢.
该算法比Pal 和K ing 提出的模糊增强算速度快，且不损失图像中低灰度部分的信息.缺点是类似于Pal 和K ing 算法，对X c 的选取是随机的，缺乏理论指导.
2 新算法及其模型
211 图像边缘附近像素灰度信息的提取
参松养心胶囊的功效 实现图像模糊增强算法的关键之一是选取图像阈值参数，如果选取的合理可以使图像的边缘得到增强，增强后图像的视觉效果更好.如果选取不当，不但图像的边缘得不到增强，反而会受到抑制，因而达不到图像增强的目的.笔者引入了模糊熵，较好地解决了上述问题.其具体过程如下.
21111 模糊熵
设X =[x (i ,j )]M ×N 表示大小为M ×N 的数字图像，其灰度级为L ,G ={0,1,…,L -1}表示所有灰度值的集合,x (i ,j )∈G 是坐标(i ,j )处像素的灰度值，将图像中像素的灰度值归一化到[0,1]区间，以图像的灰度级为论域，可以定义一个具有某种特征的模糊集合，其隶属度为
u m (x (i ,j ))=1/[1+x (i ,j )-m /C ] .
(10)式(10)表示了图像中像素与其所属区域的隶属程度，若一个像素与其所属区域特征值的差异越小，则该像素的隶属度越大；反之，则该像素的隶属度越小.式中C 为常数，以保证015≤u m (x (i ,j ))≤1，也就是希望图像中任一像素的隶属度不小于015.
在上述模糊集合上定义一个模糊熵[6]
H m (u m (x (i ,j )))=-(u m (x (i ,j )))log 2(u m (x (i ,j )))-(1-u m (x (i ,j )))log 2(1-u m (x ,j ))) .图2 模糊熵随x 的变化曲线 模糊熵随x (i ,j )的大小而变化的曲线见图2.可以看出，当灰度值
x (i ,j )=m 时(m ∈[0,1])，模糊熵最小，且在x (i ,j )=m 附近具有对
称性.因此笔者构造的模糊熵不仅可在任意灰度值处达到最小值，而且也
具有对称性，这些在图像处理中都很重要.
为了度量定义在图像上的模糊集合的模糊属性，给出一个模糊熵测
度为 E m (A )=1
M ×N ∑M i ∑N j H
m (u m (x (i ,j ))) .
21112 基于模糊熵的图像边缘测度
图像边缘点邻域内的灰度分布和非边缘点邻域内的灰度分布不同.
笔者定义一种模糊熵测度来描述这种灰度分布特征.
在图像的灰度值矩阵中，取一个大小为n ×n ，中心在(i ,j )的窗口W n (i ,j ),
9
03第2期 王保平等：一种新的自适应图像模糊增强算法
W n (i ,j )=…………x (i -1,j -1)x (i ,j -1)x (i +1,j -1)
……x (i -1,j )
x (i ,j )x (i +1,j )……x (i -1,j +1)
x (i ,j +1)x (i +1,j +1)……
…… ，则在该窗口W n (i ,j )上可定义一个基于模糊熵的测度R (i ,j )[7]为R (i ,j )=
1
n ×n ∑(n-1)/2k =-(n-1)/2∑(n-1)/2l =-(n-1)/2H m (u m (x (i +k ,j +l ))) .
在上式中，令m =x (i ,j ).当窗口中的其他灰度值和窗口中心(i ,j )处的灰度值x (i ,j )相等或接近时，模糊熵R (i ,j )为零或较小；反之，模糊熵较大.因此，当(i ,j )点的像素处于平滑区时，窗口内区域的灰度值比较一致，其他灰度值均接近中心处的灰度值x (i ,j )，则R (i ,j )较小；反之；当中心点(i ,j )处于图像的边缘点时，窗口内区域的灰度值差异较大,R (i ,j )较大.
21113 增强算法中阈值参数的选取
过程的步骤如下:
⑴计算出图像中所有像素点的R (i ,j )值，组成一个图像边缘特征矩阵R =[R (i ,j )]M ×N ，在矩阵中取一个阈值T ′，当R (i ,j )≥T ′时，该像素点被认为是图像的边缘点，否则，认为是非边缘点.
⑵去掉那些非边缘点的像素.
⑶对图像边缘点处的像素灰度值进行统计处理.这里采用直方图的方法.
⑷求出该直方图的各局部包络的最大值作为该增强算法中的阈值参数.
笔者选取阈值参数的方法是，首先去掉那些非边缘点的像素点，然后再利用剩下的图像像素(即图像边缘处附近的像素)提取出图像的主要边缘对应的灰度值，并以其作为图像增强算法的阈值参数.最后的仿真实验证明了其正确性.
212 基于广义模糊算子的图像增强算法
文献[8]给出了广义模糊集和广义模糊算子的定义.
定义1 论域U 的广义模糊集合A 表示为A =
∫x ∈U μA (x )/x 或A ={(μA (x ),x ∈U}，其中μA (x )∈孔子原名
[-1,1]称为U 上A 的广义隶属度函数.若U 是由有限个元素构成的有限域，即U ={x 1,x 2,…,x n }，则广义模糊集合A 是有限的，定义为
A =μA (x 1)x 1+μA (x 2)x 2+…+μA (x n )x n =∪n i =1μA (x i )x i
，其中μA (x i )称为元素x i 对于A 的广义隶属度.由上述定义可见，广义模糊集合是对普通集合的一种扩充，即将普通模糊集合的隶属度μA (x )∈[0,1]扩充为广义模糊集合的μA (x )∈[-1,1].因此在图像处理的应用中广义模糊集合有比普通模糊集合更大的拉伸和变换范围.
定义2 一个广义模糊算子G FO ，它作用于广义模糊集A 上可产生一个另一个广义模糊集A ′，即A ′=GFO (A ).这里G FO 算子定义为
μA ′(x )=GFO [μA (x )]=-[-((r 1/f -1)+r )・μA (x )-μA (x )2)]f ,
-r ≤μA (x )<0 ,[(r (1/f -1)+r )・μA (x )-μA (x )2]f ,0≤μA (x )≤r .(11)
式中r 和f 为常数，其范围是0<r ≤1及0<f ，这里取r =1.从上式可知，广义模糊算子可以利用f 值的
大小调节μA (x )和μA ′
俄罗斯美女人体艺术(x )间的变化曲线，从而控制图像增强的程度.另外，新的模糊算子具有封闭性，即在变换区间的两端变量和函数是相等的.这一点可以保证灰度值在图像增强后具有连续性，且可避免灰度值的
过调现象.图3给出了当f =015时的μA (x )～μA ′
(x )曲线.性质1 当-r ≤μA (x )<0时,μA ′(x )≤μA (x ).
性质2 当0≤μA (x )≤r 时,μA ′(x )≥μA (x ).
显然广义模糊算子通过降低-r ≤μA (x )<0区域中μA (x )的值和增加0≤μA (x )≤r 区域中μA (x )013 西安电子科技大学学报(自然科学版) 第32卷
图3 μA (x )～μA ′
(x )(f =0.5)曲线的值，起到了增强两个区域之间对比度的作用.
与式(1)类似，图像X 可看作是一个广义模糊集，表示为
X =∪M i =1∪N
j =1(μij /x ij ) ，矩阵中每个元素μij /x ij (-1≤μij ≤1)是给广义模糊集的一项.
为克服式(2)求μij 的缺陷，笔者采用一种升半梯形模糊分布
来求μij ，即
μij =T (x ij )=(x ij -T )/(x max -T ) .(12)
T (即阈值参数)值的选取由上节确定.x max 是图像的最大灰度值.
显然式(12)中的μA (x )∈[-1,1]，故由此产生的集合μ={μij }
符合上述广义隶属度的定义.式(12)是一个简单的线性函数，与
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式(2)相比，运算速度大为提高.综上，给出基于G FO 算子的图像增强方法如下:
步骤1 利用模糊熵确定阈值参数T.
步骤2 通过式(12)将待处理的图像X 从空域的灰度值X ={x ij }映射为与之对应的广义隶属度μ={μij }.
步骤3 利用式(11)定义G FO 算子对广义隶属度进行非线性变换.即μ′ij =GFO (μij ).
步骤4 通过式(12)的反函数，将μ′ij 映射为二维空间域的灰度图像，得到经过模糊增强处理后的图像
X ′,X ′中的像素(i ,j )的灰度值为x ′ij =T -1(μ′ij )=μ′ij ・
(x max -T )+T.3 实验结果及其分析
为说明新方法的有效性，首先将新的模糊增强变换和现有的变换进行了理论上的比较和分析，从中知道了其核心变换函数所具有的不足之处，并讨论了笔者提出的模糊增强函数优势所在.接着用标准图像进行了大量的仿真实验，实验结果也进一步验证了笔者提出的模糊增强变换理论的正确性，从而完成了理论和实践的有机统一.
311 模糊增强变换的理论分析
图4是几种模糊增强算法在图像增强前后灰度值变换曲线的比较图，其阈值参数的灰度值均选T =140，图中曲线的横坐标是增强前的灰度值，纵坐标是增强后的灰度值.其中各点的横坐标和纵坐标是一一对应的.bdim和弦
图4ϖ是利用Pal 和K ing 方法对图像进行增强处理，并迭代1次后，所计算出的增强后图像灰度值随增强前图像灰度值的变化曲线.Pal 和K ing 提出的模糊增强算法采用的隶属度函数、模糊增强变换以及求增强图像灰度值的反变换如式(2)～(5)所示.通过经2节的分析知道，该算法是一项开创性的工作，值
得肯定和推崇，它可以锐化阈值参数灰度值附近的边缘，有利于边缘检测，但其缺点是会将原图像X 中相当多的低灰度值硬性切削为零，从而损失了X 中的部分灰度信息，影响边界检测质量.这从图4ϖ便可以直观地看出，对处于x ≤x 1范围的原图像的灰度值经过该模糊增强变换后的灰度值均小于0，于是将这部分灰度值均作同等对待，都切削为0，因而抹煞了该区域不同灰度值间的个性差异及多样性，损失了该部分图像的信息.
图4ω是利用公式(2)′～(5)′，并迭代1次而计算出的增强前后图像灰度值的变化曲线.从中可知该方法没有丢失图像中的灰度信息，克服了Pal 和K ing 增强算法的缺点.但该方法也存在着不足之处，就是运算速度较慢.
图4ξ是利用笔者提出的模糊增强算法对图像进行增强，并迭代1次后的灰度值随原图像灰度值的变化曲线.从图4ξ可知新方法不但未损失图像的灰度信息，而且运算速度更快.其经过1次迭代的变换曲线斜率在阈值参数T 处的值大约等于文献[5]方法经过3次迭代的曲线在此处斜率(见图4ψ).说明其速度大约是文献[5]方法的3倍.
113第2期 王保平等：一种新的自适应图像模糊增强算法
