谢谢你的爱作文
第53卷第3期力学学报Vol.53, No. 3 2021 年 3 月Chine Journal of Theoretical and Applied Mechanics Mar.,2021
冰工程中的关键力学问题
冰激振动中的锁频共振分析*1>
黄国君2)
(中国科学院流固耦合系统力学重点实验室，中国科学院力学研宂所，北京100190)
摘要冰激振动（ice-induced vibration,IIV)中的锁频共振严重威胁结构安全，恶化人员工作环境，然而对其机理
的认识仍然不清.本文基于作者和合作者以前建立的一个冰间歇破坏型IIV模型（黄国君和刘鹏飞，2009)对柔
性结构的锁频共振机理进行了理论研究.应用该模型预报了发生在一个冰速区间内的锁频共振现象，并研宄了
结构和冰特性参数：结构阻尼和刚度以及冰的压缩刚度和冰破坏的破坏区长度、軔脆转换速度和随机性对I1V
及锁频共振的影响，在此基础上探索了锁频共振机理.研究表明：在锁频共振冰速区间内，结构响应和冰力主频
都锁定在结构固有频率，然而不同冰速下的频谱结构和振动形态各异，从常规单频共振到多频共振、从等幅振动
到振幅周期性变化的拍振动，呈现出丰富的动力学特征；结构和冰特性参数可改变锁频共振冰速区间的长度和
位置以及结构振幅，冰破坏的随机性和应变率效应发挥着一种竞争作用；锁频共振来源于冰破坏的应变率效应，
其力学机制是频率调制和对结构-冰动能传递的非对称性正反馈效应放大的双重作用，本文分析揭示的这一新
的锁频共振机理属于耦合振动，与传统的负阻尼自激振动机制有着本质区别.本文分析结果及对锁频共振机理
的认识有助于相关实验研究和冰区结构设计以及I1V减振技术的研发.
关键词冰激振动，锁频，共振，冰的破碎强度，应变率效应
记者节是几月几日
中图分类号:U260.17 文献标识码：A doi: 10.6052/0459-1879-21-087
STUDY ON FREQUENCY LOCK-IN RESONANCE IN ICE-INDUCED VIBRATION 11
Huang Guojun2*
{Institute o f M echanics, Key Laboratory fo r Mechanics in Fluid Solid Coupling Systems, Chine Academy o f Sciences, Beijing100190, China)
Abstract Frequency lock-in resonance in ice-induced vibration(IIV)threatens verely the safety of the structures and worns the working environment for operators.Its underlying mechanism is unclear yet.This paper prents a theoretical study on the mechanism of the frequency lock-in resonance for compliant structures.The study is bad on an intermittent ice-crushing type of IIV model developed previously by the author and co-worker(Huang and Liu,2009). The frequency lock-in resonance is predicted over an ice velocity span.Then the parametric analysis is performed on IIV and frequency lock-in resonance for some influential factors,including structural damping and stiffnes
s,ice stiffness,ice-crushing zone length,ductile-brittle transitional ice-velocity and randomness in the ice-crushing strength and ice-crushing zone length. From the theoretical studies,the mechanism of the frequency lock-in resonance is investigated.It is shown that although both the predominant ice and structural respon frequencies are locked to the structural natural frequency when frequency lock-in resonance takes place,the time history profiles of ice force and structural respon and their frequency spectra
2020~03-03 收稿,2021-03-16录用，2021-03-16 网络版发表.
1) 国家自然科学基金资助项目（10772184).网络打电话
2)黄国君，副研究员，主要研究方向：结构动力学和材料力学.E-mail: ***************胆怯的反义词
引用格式：黄国君.冰激振动中的锁频共振分析.力学学报，2021，53(3): 693-702
Huang Guojun. Study on frequency lock-in resonance in ice-induced vibration. Chine Journal o f Theoretical and Applied Mechanics,
__________2021,53(3): 693-702___________________________________________________________________________________________________________
are different corresponding to the different ice velocity.Not only the conventional mono-frequency resonance with the uniform amplitude but also the multi-frequency beat resonance with the periodically changing amplitudes are predicated. For the frequency lock-in resonance,structural and ice properties affect the length and location of the ice velocity span as well as the respon amplitude,and the randomness and strain rate effect in ice-crushing are the two competing factors. It is unveiled that the strain rate effect of the ice-crushing strength is responsible for the frequency lock-in resonance,by frequency modulation and by promoting the uneven kinetic energy transfer between ice and structures,a positive feedback mechanism.The prent novel mechanism is a coupled vibration that is esntially different from the conventional one, i.e.,the negative damping in lf vibration predicted from the continuous ice-crushing type of IIV models.The prent result is instructive to the further systematic experimental study on the frequency loc-in resonance and to devising some effective techniques for the mitigation of intensive IIV.
Key words ice-induced vibration,frequency lock-in,resonance,ice-crushing strength,strain rate effect
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引言
冰激振动（ice-induced vibration,IIV)中的锁频共振现象是指流动的浮冰与冰区结构（或冰盖与在其 中航行的交通船只如破冰船）的交互作用中，在一定 的冰速范围内冰力和结构振动的主频皆锁定在结构 固有频率，从而导致结构共振.其结构振幅可较常规 振幅有数量级的差异，这与祸激振动（vortex-induced vibration,VIV>中的锁频共振在动力学上是相似的HI，然而两者的物理本质完全不同.冰激锁频共振严重威 胁冰区结构的安全，导致结构疲劳加剧，甚至直接摧 毁结构，此外还会恶化结构上的人员工作环境和设 备运行条件.因此探索冰激锁频共振的力学机理、明确其产生的临界条件不仅具有重要的科学意义，而 且可以为冰区结构的设计和安全运行控制提供理论 指导，具有显著的工程价值.
I IV己受到冰区相关国家学术界和产业界的广 泛关注P1，其中锁频共振是研究的重点和难点，为此 己开展了不少实验和理论研究.实验研宂包括现场监 测和实验室模型实验，较为代表的工作如:Engelbrek-tS〇n M在Bothnia海湾现场观察到冰激共振发生时，结构的加速度可达0.7g，大大超过人体可接受的振 动水平，而当天大多时间结构处于低幅振动水平，只有〇.〇7g左右，这表明冰激共振的出现具有一定的随 机性；Maattanenw通过实验室模型研究发现在一个 较宽的冰速范围内结构产生锁频共振;Tsuchiya等15】在实验室模型研究中发现结构的振动主频先随冰速 线性增加，然后锁定在结构固有频率直到最高实验 冰速，但冰力主频并未锁定在结构固有频率，离散性 较强，这也许与实验在空气中进行有关，这种锁频振动从严格意义上来说不属于锁频共振.
另一方面，许多研宂者建立了 IIV动力学模型，以揭示IIV特别是锁频共振的动力学机制，并提供冰 区
结构设计所需的动力学模型.根据冰破坏过程的 连续性，可将现有的IIV动力学模型分为两大类.一类是以Blenkam【61和MaattSnen [7丨最初建立并发展 起来的基于负阻尼机制的冰连续破坏型自激振动模 型，该类模型将IIV过程中冰的破坏视为连续压碎 过程，所以冰力就是冰的破坏冰力，可由冰的压缩强 度计算得到.基于PeytonW建立的冰的压缩强度与 冰速的相关性曲线，该曲线在一定的冰速区间内梯 度为负，为结构提供负阻尼，从而导致结构发生动力 学失稳，产生自激振动，结构响应主频以及相应的冰 力主频自然皆锁定在结构固有频率.自激振动模型 简单、操作方便，是目前应用最广泛的IIV动力学模 型[911].另一类模型认为IIV中冰的破坏过程是间歇 的，即冰的破坏存在一个特征长度，这等效于认为冰 存在破碎频率，它等于冰速除以该特征长度.基于该 认识Matlock1121最先建立了一个冰间歇破坏型I1V 动力学模型，可以反映在低速和高速冰速段内结构 响应较小、在中间冰速范围内结构响应较大的全冰 速范围IIV实验的一般特征，但不能预报1IV锁频共 振.Sodhi|13l (下称Sodhi模型）对Matlock模型进行 了改进，对冰与结构的交互作用考虑相互接触的加 载阶段同时，还考虑了冰板压碎、屈曲破坏以后结构 清除碎冰的过程以及冰与结构接触过程中可能存在 的分离过程，它包含了更多的物理过程细节，因而更 为合理.然而正如本文下面将要介绍的该模型虽然 能够预报I1V共振的出现，但不能预报在一定冰速范 围内的锁频共振.同样作为冰间歇破坏型IIV 动力学
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模型,Toyama等【14】和Shih_针对共振发生时结构 响应与冰力的同相位特征，提出了一些结构运动
学 假设，以建立各自的IIV模型，探索冰激共振产生的 临界条件和结构响应幅值.这些冰间歇破坏型1IV模 型不是一个全冰速范围内的一般性动力学模型，其 中的运动学假设只适用于研究共振产生时的必要条 件，不能研宄复杂的锁频共振现象.Huang等【|6]在 Sodhi模型的基础上，通过引入Peyton[8】建立的冰 的压缩强度与冰速相关性的动力学特性，建立了一 个全冰速范围冰间歇破坏型IIV动力学模型（下称 Huang-L iu模型)，该模型吸收了两类模型的优点，不 仅可以预报低速和高速冰速区段的小振幅IIV，而且 可以预报中间冰速范围内可能发生的锁频共振，这 是首个能预报锁频共振的间歇破坏型I1V动力学模 型.目前Huang-L iu模型己受到学术界关注[9.17_27]，Jeong和Baddour117]对该模型和Toyama模型[|4]进 行了理论对比;Hendrik等基于该模型发展了IIV模型分析风电等柔性结构的IIV和疲劳寿命；最 近Abrasion等[271也用该模型计算结果评估它们新建 的基于非线性动力学的IIV模型.此外也有学者提出 了唯象学IIV模型，徐继祖和王翎羽基于1IV与 V IV的动力学相似，引入一个冰力振子方程，与振动 方程联立建立了他们的IIV模型，可以反映IIV锁频 共振现象;X u和Oterkus等[21】对该模型进行了改进，计及了冰压缩强度与冰速的相关性，但该类模型未 涉及冰与结构交互作用的物理过程，无法揭示IIV及 其锁频共振的物理机制.
对IIV锁频共振的研宄已有50多年的历史，但 目前对于其机理的认识仍然不清，是自激振动还是 强迫振动存在较大争议，达到Maattanenn9]所期望的 共识尚需开展更深入的实验和理论研宄工作.本文 应用Huang-Liu模型开展冰激锁频共振的理论研究，首先分析IIV及锁频共振的结构响应特征，并从结 构
梦见杀人流血
响应和冰力的频率耦合特性以及Huang-Liu模型 与Sohdi模型计算结果的对比来研究锁频共振产生 的原因；然后再分析结构特性和冰的物理特性参数 对锁频共振影响的一般趋势；最后在此基础上揭示 锁频共振的动力学机制.
1IIV动力学模型1161
考虑一个单自由度振子结构系统与运动冰板的交互作用，冰的破坏为间歇式，假设存在…个破坏区 特征长度，作用过程可分为3个阶段：加载，(碎冰)挤 出和可能的分离阶段[|31.
系统的运动控制方程为
Mx+C x+K x^
k[x〇 +vt-x -p(n- 1)]+ F e,0 < < 5f
(loading pha)
F e，Sf<6<p and x^v
-(1)
设若
(extrusion pha)
0，S<0or(6f^S<p and i> v)
(paration pha)
式中，M,C和K分别为结构质量、阻尼系数和刚 度；X, X和X分别为结构位移、速度和加速度，为;c的初值八为完整冰（破坏前）的压缩刚度；<5 = _*：〇+ V f- - /?(«- 1)为结构压入冰的长度，其中V，和 «分别为冰速、冰间歇破坏的破碎区长度和破碎区序 号;<5f = (Ff- Fe)/A：为冰破碎时的压入长度，其中Fe 为挤出阶段挤出碎冰的冰力，设为常数，F f为冰破碎 时的瞬时破坏冰力.式（1)对Huang-L iu模型|16]的运动控制方程稍作了改进，在加载阶段条件中去掉 了太< V，并在分离阶段条件中增加了 <5 < 0，其表述 更为确切.
根据Korzhavin[3G]，破坏冰力为
Ff=ImxhDcrf(2)式中，/，W和〃分别为压入、几何和接触系数；为 结构的直径；A为冰的厚度;£T f为冰的压碎强度.在 Sodhi模型中，冰的破坏冰力取为常数，亦即压碎强 度取为常数；而在Huang-L iu模型中〇•(■依赖于冰相 对于结构的速度= v-力，该相关性就是PeytonW建 立的冰的压碎强度与冰速的相关性曲线，如图1所 示，图中定义了相关特征参数，其中应变率备=V t//!，vt为軔脆转换冰速.根据Iliescu和Schulson13"的研 宄，该曲线可以表示为无量纲形式，由两个幂分布表 示为
(1-o'f d K V r/V t f+^f d,Vr/V t < 1 ⑶
(1 -7fb)(vr/vt户+ Jfb，V r/v t〉1
式中，= ^"f/C fm ax，afd = ffd/C fm ax，Cfb =
这里ffmax为相应于A或V t的最大冰破碎强度，a> 0 和0<0为对应的无量纲指数.
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构响应高度依赖于结构与冰的相对运动.因此式（5)
整体上是高度非线性的，其求解需要与式(3)和式(6)
联立获得.在数值求解过程中的每个时间步长，都需
要根据式(5)中给出的各阶段条件，判断当前结构所
处的阶段，从而由相应的封闭解析解获得结构响应
和冰力的全部时间历程.
2锁频共振
图1冰压碎强度与应变率关系的特征图
Fig. 1Characteristic plot of ice-crushing strength versus strain rate 引入下面无量纲参数和变量
x=x/A, x〇 =x〇/A, p=pi A, 6=6/A
6f = 8flA, t = a>n t, k = k/K
—^e/^f m a x i V—v/ (〇Jn^) ,Vt — Vt/(〇J n/I)
(4)
式中，zl = Ffm ax/A■为相应于最大破坏冰力的最大结 构静态位移;w n= V^/而为结构的固有圆频率，这样 控制方程式（1)可转化为无量纲形式
应用Huang-L iu模型可对IIV进行数值分析，重 点关注所预报的锁频共振.表1列出了式(3)、式(5)所涉及的表征冰和结构性质的无量纲参数，以此作 为一个代表算例，通过计算获得相应的结构响应和 冰力时间历程.
表1冰和结构特性参数
Table 1Typical parameters of the properties of
ice and structures
k孑fd^"fb a P P
0.10.040.70.50.5-21100.2
x + 2^x-h x=
k[x〇-h v t-x-p(n- 1)] +F e»0<5<
(loading pha)
F e,6f<：S<p and x4：v
{.⑶
(extrusion pha)
0，6<0or6f^6<p and x>v
(paration pha)促进就业
其中，f = C V(2Mwn)为结构阻尼比，= d2je/(dr2)，无=dS/dr.由式（2)可得/V =內，因而瞬时破坏压 入长度为
&(vr/v t)=<5-f(vr/v t) -F e(6)式（5)为分段线性的非线性方程组，相当于间歇非 线性.在各阶段求解线性方程可获得各阶段的封闭解析解，其详细解可参考H uang和Liu的研 究（更正该文献中的两个打印错误：（1)式（10)下的变量解释中t= [/I+ i应为卜=0(1 + 幻；（2)式（11)中的应为
[知+扮0e-戶e)]sin叫r e).应该指出的是由于冰破坏 强度的率相关性，式(6)所示的破坏压入长度与结构 瞬时速度相关，因此式（5)各阶段所经历的时间实际 上是结构运动相关的，这导致冰力的时间历程和结
当你微笑时
在运动冰的作用下结构从瞬态振动逐步过渡到 稳态振动，它对应稳定吸引子的极限环.图2黑线表 示结构稳态振动阶段的无量纲振幅J fm a x- 4in随无 量纲冰速v/vt变化的情况，可以看到在低冰速和高 冰速段结构振动较平和，而在中间段冰速段结构振 动较剧烈，这一 IIV总的趋势与实验发现的一般特征 是一致的.特别应该注意的是在v/vt = 2.2〜2.75的冰速区间，结构振动最为剧烈，较高冰速段的振动幅
值高10倍左右.图2中红线表示的是基于Sodhi模 型的计算结果，该模型计算中破坏冰力无速度相关 性，取为常数0.78Ffm ax.可以看到：虽然两个模型预 报的I1V总趋势一致，甚至在低冰速和高冰速段预报 结果几乎相同，但在中间冰速段，Huang-Liu模型预 报的IIV更为剧烈，这清楚显示出既使在冰间歇破坏 的情况下，冰破坏强度的率相关性在I1V中仍具有重 要的作用.
为了揭7T C冰破坏率相关效应放大振动的原因，对上述Huang-Liu模型计算得到的稳定阶段结构位 移和冰力时间历程进行了频谱分析，分别获得了响 应主频/s和冰力主频/；，用结构固有频率/…进行 无量纲化，它们随相对冰速的变化表示在图3中，其中蓝色实线和虚线表示响应主频，红色方块表示 冰力主频.响应主频先随时间线性增加，
在无量纲冰
第3期黄国君：冰激振动中的锁频共振分析697
图2不同模型预报的结构位移响应随冰速的变化
Fig. 2 Dependence of the amplitude of structural deflection on the ice
velocity predicted from the different models respectively
图3图2计算结果对应的冰力和结构响应主频随冰速的变化 Fig. 3 Dependence of the predominant frequencies of the ice force and
structural respon on ice velocity, corresponding to Fig.2
速v /vt = 2.2时出现稳定解的分叉，原蓝色斜线代 表的吸引子失去稳定性，其主频由实线改为虚线表 示；在v /vt =2.2〜2.75区间新生长出一个稳定的吸 引子，其主频锁定在结构固有频率，用蓝色水平实线 表示，这一计算结果与Tsuchiya 等W 的实验结果相 同，不过实验中的最高实验冰速未超过平台段；有 趣的是在v /vt = 2.6〜2.75区间，原蓝色斜线代表的 吸引子又恢复稳定，因而蓝色虚线又改为实线表示， 这意味着在该区间出现了两个稳定吸引子，代表两 种稳态振动状态，系统选择哪种状态具有初值敏感 性，它与结构初始位置和速度相关[16]；当无量纲冰 速v /vt > 2.75时，主频锁定的吸引子失去稳定性，锁 频平台消失，系统又经历一次分叉回到蓝色实线表 示的单个吸引子状态，平台前后的蓝色实线和平台 中的蓝色虚线几乎是一条斜线.同时可以观察到，除 了部分冰速区段以外冰力主频与响应主频几乎相同，
特别是在v /vt = 2.2〜2.75区段，冰力主频和响应主 频皆锁定在结构固有频率，即结构发生了锁频共振, 所以可称上述锁频平台对应的振动状态为共振吸引 子，这正是该冰速段结构振动剧烈的原因.另外注意 到无量纲冰速v /vt 在0.75附近和1.0〜1.75区段，发 生了冰力主频锁定在结构固有频率的现象，但与响 应主频分离，该种锁频开始产生时对应的响应主频 分别在/…/4和/…/2附近，即分数频响应，所以结构响 应有一定放大，但没有锁频共振显著，可称该种锁频 为分离锁频，以与共振锁频相区别.冰力的分离锁频
尚未见实验报道，可能是冰破坏的随机性妨碍了该 种锁频的产生.
图3中黑色虚线给出了冰的无量纲特征破碎频率
随相对冰速的变化，它被认为是冰的固有特性，与结 构运动无关，相当于冰与刚性结构作用的破碎频率. 同时对Sodhi 模型的计算结果进行了频谱分析，结果 表明响应主频和冰力主频相同，并沿图3中蓝色实 线和虚线连续变化，无一定冰速区内的锁频共振发 生.黑色虚线变成蓝线表明：对于柔性结构，冰力主 频及响应主频是结构与冰的相对运动和冰间隙破坏 复杂耦合的结果，冰破坏的率相关性进一步增强了 这种耦合，导致锁频发生.
3锁频共振的影响因素分析
为进一步了解锁频共振的特点，下面分析结构
动力学参数和冰的力学及破坏特性参数对锁频共振
影响的一般趋势，为抑制和控制剧烈的IIV 提供理论 指导.从控制方程式(5)和冰破坏的率相关性方程式(3)出发，选择的影响因素包括结构阻尼比f 和刚度 心冰的压缩刚度t 破坏区长度P 和初脆转换速度 i
另外，考虑到脆性材料的破坏具有一定的离散性， 将研宄冰的破碎强度和破坏区长度一定的随机性对 锁频共振的影响.计算基本参数采用表1所列参数， 分别改变其中的参数，将计算结果与图2结果比较， 进行锁频共振的参数分析.
图4(a )表示结构阻尼比对IIV 及锁频共振的影 响，其中黑线代表图2中的计算结果.当其他参数不 变仅改变f 的大小，可以看到增加结构阻尼使锁频 共振冰速区间段缩小，振动幅值减小，直至锁频共振
.2
.0.8.6.4.2.0.8.6.4.2<
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11 1* 11 n o 〈m y
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