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解放军理工大学学报（自然科学版）
cover letter第１０卷增刊２００９年１２月Ｖ０１．１０Ｎｏ．ＳＤｅｃ．２００９
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰＬＡＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
沥青混合料诸参数对性能指标影响的数学建模
范鹏贤，马喜斌，姜鹏飞王明洋
（解放军理工大学工程兵工程学院，江苏南京２１０００７）
摘要：为提高沥青路面的使用性能，依据全国第四届研究生数学建模竞赛Ｃ题提供的数据，采用灰关联分析、回归分析及Ｆ检验方法对沥青混合料诸多参数与路面性能指标之间的关系进行了详细分析，建立了描述路面抗水损害性能、高温性能、低温性能的三类４个性能指标和影响路面性能的沥青混合料诸参数之间关系的数学模型。该数学模型在对大量试验数据进行处理后，准确地从诸多影响因素中找到了影响沥青路面各类性能的主要参数。结果与相关领域研究成果一致，具有很强的实用性。
关键词：沥青混合料；数据处理；灰关联分析；Ｆ一检验；数学建模
中图分类号：０１４１．４；Ｕ４１４文献标识码：Ａ文章编号：１００９—３４４３（２００９）增千Ｕ一００６９—０５
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｏｆｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｐａｖｅｍｅｎｔｑｕａｌｉｔｙｉｎｄｅｘｅｓａｎｄ
ｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆａｓｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅ
ＦＡＮＰｅｎｇ—ｘｉａｎ，ＭＡＸｉ—ｂｉｎ，（ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＣｏｒｐｓｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｓ，
ＪＩＡＮＧＰｅｎｇ—ｆｅｉ，ＷＡＮＧＭｉｎｇ—ｙａｎｇ
ＰＬＡＵｎｉｖ．ｏｆＳｃｉ．＆Ｔｅｃｈ．，Ｎａｎｊｉｎｇ２１０００７．Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｓｅｒｖｉｃｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｐａｖｅｍｅｎｔ，ｍａｓｓｄａｔａｏｆｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎａｎｄｔｅｓｔｗｅｒｅａｅｃａ—ｍｕｌａｔｅｄ．ＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔＯｔｈｅｄａｔａｐｒｏｖｉｄｅｄｂｙｔｈｅ４”ＮａｔｉｏｎａｌＰｏｓｔ—ｇｒａｄｕａｔｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＣｏｎｔｅｓｔｉｎＭｏｄ—ｅｌｉｎｇ，ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｑｕａｌｉｔｙｉｎｄｅｘｅｓｏｆｐａｖ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｓｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅ；ｄａｔａｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｇｒｅｙｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ；Ｆｔｅｓｔ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｍｏｄｅｌｉｎｇ
沥青路面具有良好的行车舒适性和优异的使用性能，建设速度快，维修方便，是高等级公路建设的首选材料。交通工程和材料工程界很早即对混合料诸参数对路面性能指标的影响进行了研究。但由于试
验技术和数据处理方法的限制，早期的试验多是针对某单一参数的研究，缺乏对沥青混合料诸多参数与路面性能指标之间关系的总体认识。
收稿日期：２００８—０６—２０．
作者简介：范鹏贤（１９８３一）．男。博士生．
联系人；王明洋，教授．博士生导师；研究方向：岩石力学、武器效应及其防护；Ｅ—ｍａｉｌ：ｗｍｙｒｆ＠１６３．ｃｏｒｎ．
经过二十几年的发展，研究人员为延长高速公路路面寿命，提高路面使用性能做了大量的试验和调查研究，积累了一批宝贵的数据，如何将不同研究者不同实验对象的数据综合利用，成为公路工程界的迫切需要解决的问题。目前已有学者使用灰色理论［１］对部分路面使用性能进行评估和预测Ｅｚ，ｓ］，但总体来讲，研究尚处于起步阶段。对多次试验积累的数据进行的分析尚未见于文献。
由于影响因素很多，对已有的试验、检测数据进行综合分析具有很大难度。亟需解决的问题包括路面性能指标（冻融劈裂强度比尺ＳＴ，浸水马歇尔稳定
genuine什么意思万方数据
７０解放军理工大学学报（自然科学版）第１０卷
度比Ｓ。，均为反映混合料抗水损害性能的指标；动稳定度５Ｄ，反映混合料的高温性能；弯拉应变Ｓｒｒ，反映混合料的低温变形能力）和影响高速公路路面性能的混合料诸参数之间的关系，以及如何建立描述它们之间关系的数学模型。
为了从繁杂的数据中提取有用的信息，本文从数学的角度对混合料诸参数和路面性能指标之间的关系建立模型，并利用第四届全国研究生数学建模大赛提供的试验观测数据通过模型找到影响路面性能的主要因素。
１数据的简化和参数的优选
问题给出的对路面质量有较大影响或有影响的因素很多，在考察它们对路面质量的影响时，如果全部纳入考察范围，将大大增加工作量，有必要对题给的诸多因素进行筛选和简化。
筛选和简化的主要原则为：成人英语怎么说
（１）保留的参数应相互独立；
（２）保留的参数应能全面反映沥青混合料基本的和重要的信息；
（３）优先保留可直接测量的或可由直接测量数据简单换算得到的参数；
（４）优先保留数据量较大的参数。
１．１筛孔通过率数据的简化
按照胶浆理论，沥青混合料是由矿质骨架和沥青胶结物构成的，具有空闾网络结构的多相分散体系。不同分散系所占的比例对混合料性质有很大影响。一般认为４．７５ｍｍ是粗细集料的分界点，它反映了粗细集料的比例，决定混合料的结构特点，而０．０７５ｍｍ筛孔通过率是细集料和矿粉的分界点，它决定了微分散系的比例，其他孔径的筛孔通过率虽有一定参考价值，但对沥青路面的结构性特征没有重要影响。
综合考虑，选择４．７５ｍｍ筛孔通过率和０．０７５ｍｍ筛孔通过率作为表征集料级配的参数。
１．２混合料参数的优选
根据相关的定义可知，粉胶比、油石比和０．０７５ｍｍ筛孔通过率是直接相关的，饱和度可由空隙率和矿料间隙率唯一决定，毛体积密度可以由油石比和集料特性确定，矿料间隙率、油石比和孔隙率之间存在着确定的函数关系，最大理论密度是油石比的函数，又由压实度的定义Ｇ＝１００—ｙ。可知，压实度和空隙率ｙ是线性负相关的。
上述诸参数之间互相制约，互相影响，存在着各种函数关系，根据前文所述的参数优选原则，最终选
取油石比、４．７５ｍｍ筛孔通过率、０．０７５ｍｍ筛孔通过率、空隙率和最初压实度五组数据作为主要影响因素，建立数学模型，重点考察它们对各路面性能指标的影响。
２指标与诸参数的灰关联分析
２．１灰关联分析的基本步骤
２个系统或２个因素之间关联性大小的度量称为关联度。关联度描述了系统发展过程中，因素之间相对变化的情况，也就是变化大小、方向、速度等的相对性。如果两者在发展过程中，相对变化基本一致，则认为两者关联度大；反之，两者关联度就小‘¨。
灰关联分析时，由于系统中各因素的物理意义不同，导致数据的量纲或量级不一定相同，为了便于分析，保证各因素具有等效性和同序性，需要对原始数据进行处理，使之无量纲化和归一化。常用的数据变化方法有：初值化处理、均值化处理、区间值化处理和归一化处理。在进行灰关联分析时，需对路面性能指标数列进行均值化处理。
灰关联分析的基本理论可参考文献［４～６］，步骤如下：
（１）确定参考数列：
Ｘ。＝｛Ｘ。（点）Ｉｋ＝１，２，…，以｝，
确定比较数列：
Ｘｉ＝｛Ｘｆ（愚）ｌｋ＝１，２，…，九）（ｉ＝１，２，…，优）。
（２）将上述数列初值化处理，得到变换后的数列：
参考数列Ｙｏ一－－－ｔｋＸｏ（ｋ）Ｉ忌＝１，２，…，升ｌ，
参考数列忌。１’ｚ’…川，，
比较数列ｙｉ：ｔｋＸｊ（ｋ）Ｉ七＝１，２，…，以ｌ，
比较数列ｙｌ＝扣１’２’…川Ｊ｝’
ｉ一１，２，…，ｍ。
（３）各时刻（指标和空间）比较数列与参考数列的关联系数：
ｒａｉｎｍｉｎＡｆ（正）＋ＪＤｍａｘｍａｘＡｆ（愚）铴‘２—１丽丁Ｆ两五■面磊取矿’式中，△（忌）＝ＩＹ。（志）～ｙｊ（是）ｌ；ｐ为分辨系数，一般Ｐ∈（ｏ，１），通常取值为０．５；ｍｉｎｍｉｎ△（矗）为两级最小差；ｍａｘｍａｘ△（走）为两级最大差。
（４）求关联度，＇ｔｏｉ＝ｉ１∑亭。；（点）。
万方数据
增刊范鹏贤，等：沥青混合料诸参数对性能指标影响的数学建模７１
（５）排出关联序：Ｘｉ与Ｘ。的关联度ｒｆ越大，Ｘｉ与Ｘ。发展趋势越接近，Ｘｉ对Ｘ。的影响越大。
根据以上灰关联分析理论和方法，研究了５个参数对路面各性能指标的影响程度。
brando路面的性能指标有４个，可分为３类，分别是抗水损害性能、高温性能和低温性能，影响沥青路面性能的参数有５个，它们依次是油石比、集料的４．７５ｍｍ筛孔通过率尸４．７５、０．０７５ｍｍ筛孔通过率Ｐ。。７５、空隙率和最初状态的压实度。
２．２分析结果
分别以４个路面性能指标为参考数列，５个混合料参数分别做均值化处理，通过灰关联分析，得到５个混合料参数和路面性能指标之间的关联度。结果如表１所示。
表Ｉ诸参数和路面性能指标的关联度
Ｔａｂ．１Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｖｅｄｅｇｒｅｅｓｂｅｔｗｅｅｎｐａｖｅｍｅｎｔｑｕａｌｉｔｙｉｎ－ｄｅｘｅｓａｎｄａｓｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
从表中可以看出：对于路面抗水损害性能，关联度最大的参数是最初状态的压实度和空隙率。其他３个参数关联度大小相当，相对较小；对于路面高温性能，油石比和粗集料比例与车辙的关系最密切，但其他３个参数与动稳定度的关联度也相差不大；对于路面低温性能，关联最大的参数是最初状态的压实度，其次为空隙率、粗集料比例和油石比，矿粉的影响较小。
道路材料领域的研究表明［７￣１¨：影响沥青路面抗水损害性能的主要因素是空隙率以及集料和沥青问的粘结性能；影响路面高温性能的主要因素是粗集料的摩擦嵌挤作用和适当的油石比；影响路面低温性能的主要因素则主要是沥青本身的性质，空隙率也有一定的影响。本文采用灰关联分析法确定的主要影响因素与已有的研究成果是吻合的。
３回归模型的建立和求解
３．１回归模型及回归参数
灰关联分析法只能对各因素对沥青路面性能指标的影响做定性判断，要想得到它们之间的数量关系，需要对沥青混合料参数和路面性能指标进行回归分析。
分析中采用多元非线性回归模型，根据灰关联分析的结果，视情况选择参数。对于影响因素影响较小的因素，可以暂不纳入，根据Ｆ检验的结果再引进新的解释变量。本文回归分析时采用５个参数，再通过淘汰分析法剔除多余的解释变量。
数据首先用标准化方法处理，采用以下多元二次多项式回归模型，其函数形式可表示为：
ｙ＝口０＋∑ＱｉＸｉ＋∑尼ｚ；＋∑∑％ｘ，ｘｊ，
ｊ—ｉ＋１
式中：嘶，（ｉ一０，１，２，…，ｎ），屈，（ｉ＝１，２，…，咒），以ｉ，（ｉ＝１，２，…，以；歹＝ｉ＋１，…，Ｔ／）均为回归模型参数，Ｙ为性能指标，ｚ；为影响因素，ｉ＝１～５时，五依次代表油石比、集料的４．７５ｍｍ筛孔通过率、集料的０．０７５ｍｍ筛孔通过率、空隙率和最初状态的压实度。
利用上述回归模型及Ｏｒｉｇｉｎ７．５的求解功能，得到各性能指标与沥青混合料诸参数间的回归分析结果，如表２所示。
表２路面性能指标与沥青混合料诸参数问的回归模型参数计算值
Ｔａｂ．２Ｐａｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｓｏｆｔｈｅｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌｂｅｔｗｅｅｎｑｕａｌｉｔｙｉｎｄｅｘｅｓｏｆｐａｖｅｍｅｎｔａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆ
ｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅ
万方数据
７２解放军理工大学学报（自然科学版）第ｌｏ卷
３．２回归模型的显著性检验
回归模型只是未知真实模型的一个近似展开式，其是否合适，应该通过检验做出评价。
从统计学的角度来讲，有２个问题需要检验：
（１）问题的显著性检验：即因变量Ｙ与自变量ｚ之间是否存在函数关系；
（２）回归的拟合不佳检验：模型作为真实模型的近似展开式，是否需要更高阶展式来拟合。
以上２个检验都要用到Ｆ统计量。具体的Ｆ检验参见相关文献Ｉ－４Ｊ，本文只给出几个关键性定义：残差平方和：ｓｎ。＝∑（ｙＪ一多，）２，自由度为＾。＝咒一Ｐ（以为试验次数，户为回归
模型中展开函数个数）；回归平方和ＳＲ＝芝：（为一了）２，自由度为厶＝户一１；总平方和Ｓ丁＝Ｓ一＋Ｓｎ。，其自由度为＾＝咒一１。
回归平方和在总平方和中所占的份额Ｒ２＝５Ｒ／Ｓ丁称为复相关系数，可用来评价回归模型的显著性水平。平方和Ｓ除以相应的自由度，称为均方，记为Ｍ。Ｆ（ｆＲ＾）＝甏＝端（１）Ｆ是一个统计量，给定自由度厶、，Ｒ。及显著性水平口，可从Ｆ分布的统计表中查出一个Ｆ值，记为Ｆ。（厶，＾。）。若Ｆ（＾，Ａ）＞凡（厶，＾），则认为回归模型在口水平下是显著的，参数之间存在显著的函数关系。
根据表２中的回归系数和式（１），计算可得各指标的显著性指标Ｆ（＾，＾。），计算结果列于表３。通过查表可得Ｆ。．。５（＾，＾。）＝１．７５。
表３各指标回归模型的显著性检验
Ｔａｂ．３Ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｔｅｓｔｏｆｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌｓ
从表３中数据可知，对浸水马歇尔稳定度比Ｓ。和动稳定度ＳＤ，有Ｆ（厂Ｒ，氏）＞Ｆ００５（＾，＾。），认为模型在口＝０．０５显著性水平下与影响因素之间存在显著的函数关系；对冻融劈裂强度比尺ｓＴ和弯拉应变Ｓｒｒ，有Ｆ（＾，厂Ｒ。）＜Ｆ。。。（＾，＾。），认为模型在口＝０．０５显著性水平下与影响因素之间不存在显著的函数关系。
显著性检验的结果说明，冻融劈裂强度比尺。Ｔ和弯拉应变ＳＦＴ与选取的５个混合料参数关系不是很密切。动稳定度ＳＤ和５个混合料参数之间的函数关系相对显著。
３．３模型的求解
评价一个解释变量在模型中的重要性可用偏回归平方和来衡量。给定一组解释变量后，可以计算残差平方和，现在假定剔除其中一个解释变量，同样可以计算残差平方和，新的残差平方和比原来的残差平方和要大，其增加值称为相应解释变量的偏回归平方和。
ｉＥｓ产＝岛２／ｃＪ，，歹＝１，２，…，Ｐ为第歹个解释变量的偏回归平方和。其中岛为第歹个回归系数估计值，Ｃ』，为ｘ’Ｘ逆矩阵中的第．『对角元素。从给定的户个解释变量中剔除一个解释变量的原则是：从Ｓ』中找出最小的偏回归平方和，不妨记为Ｓｃ跏
Ｃ
令Ｆ（１，＾。）＝茜｝，（２）
ＪＹＪ［ｕ
Ｃ
若Ｆ（１，＾。）＝茜｝＜Ｆ。（１，厂Ｒ。）则将这个解释
』ｒＩｕＲｏ
变量除去，反之则该变量不能去除。
浸水马歇尔稳定度比、动稳定度２个性能指标和沥青混合料诸参数之间的函数关系是显著的，需要对回归模型进行进一步的选择。
表４动稳定度回归模型选择步骤
Ｔａｂ．４Ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｏｆｍｏｄｅｌｓｅｌｅｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｙｎａｍｉｃ
ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
模型选择采用淘汰法，利用Ｍａｔｌａｂ７．０自编程序进行运算。浸水马歇尔稳定度比和动稳定度两个回归模型的求解过程类似，在此仅以表格的形式列出关于动稳定度ＳＤ的模型的计算参数淘汰过程如
万方数据
years ago什么意思
增刊范鹏贤，等：沥青混合料诸参数对性能指标影响的数学建模７３
表４所示。
经过淘汰法处理以后，得到动稳定度与沥青混合料诸参数之间的函数关系为：
Ｙ＝（１．７＋１．２Ｘ１—５．４ｘｌｚ２—０．３ｘｌＸ３＋７．７锄ｚ３）×１０一。（３）函数式（３）表明，沥青混合料的动稳定度只与Ｘ。、ｚ：、ｚ。有关，即油石比和集料的级配。这与相关领域的研究成果是一致的。
４结语
通过对４个路面性能指标和沥青混合料诸参数之间的关联分析，建立了一个基于灰色理论和多元回归分析的数学模型，通过数学模型对大量的观测、实验数据进行了处理，确定了沥青混合料诸参数对路面各种性能指标的影响程度大小。
分析表明：影响路面抗水损害性能最大的是空隙率；影响路面高温性能的主要参数有粗集料筛孔通过率、油石比和空隙率；影响路面低温性能的主要参数是油石比。冻融劈裂强度比和弯拉应变与混合料诸参数之间的函数关系不明显，浸水马歇尔稳定度比和动稳定度与沥青混合料诸参数的函数关系较明显。以动稳定度为例，对非线性回归模型进行了求解，给出了具体的函数形式。
该数学模型综合利用了灰色理论、非线性回归分析和Ｆ检验理论，不仅分析结果与相关领域的研究成果符合良好，而且分析过程明晰，计算量不大，对具有大数据量和影响因素不确定的相关问题具有较强的实用性。
本论文在第四届研究生数学建模大赛中荣获全国一等奖，具有一定的推广应用价值，经过适当修正后，可在土力学试验、混凝土性能试验等试验数据的处理中得到应用。
参考文献：
［１］易德生，郭萍．灰色理论与方法［Ｍ］．北京：石油工业出版社，１９９２．
［２］王国晓，安景峰，陈荣生．灰色理论在路面使用性能预测中的应用［Ｊ］．公路交通科技，２００２，１９（３）：１６—１９．
ＷＡＮＧＧｕｏ—ｘｉａｏ，ＡＮＪｉｎｇ—ｆｅｎｇ，ＣＨＥＮＲｏｎｇ—ｓｈｅｎｇ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｇｒａｙｓｙｓｔｅｍｉｎｆｏｒｅｃａｓｔｏｆｐａｖｅ—
ｍｅｎｔｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｗａｙａｎｄＴｒａｎｓ—
ｐｏｒｔａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈａｎｄＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，２００２，１９（３）：
１６．１９．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）．
［３］王鹏，黄晓明，曾凡奇．灰色关联分析法在沥青低温性能指标中的应用［Ｊ］．北京建筑工程学院学报，
２００６，２２（ｏｉ）：２９—３３．
ＷＡＮＧＰｅｎｇ，ＨＵＡＮＧＸｉａｏ－ｍｉｎｇ，ＺＥＮＧＦａｎ－ｑｉ．
Ｔｈｅｏｒｙｏｆｇｒｅｙｒｅｌａｔｉｏｎｄｅｇｒｅｅａｐｐｌｉｅｄｉｎｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ
ｉｎｄｅｘｏｆａｓｐｈａｌｔｂｉｎｄｅｒｓａｔｌｏｗｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒ－
ｎａｌｏｆＢｅｉｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｒｃｈｉ—
ｔｅｃｔｕｒｅ．２００６，２２（０１）：２９—３３．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）．
［４］腾加俊，沈锦仁．数学建模［Ｍ］．南京：南京出版社，２００３．
［５］ＳＴＥＶＥＮＣＣ，ＲＡＹＭＯＮＤＰＣ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｆｏｒｅｎｇｉｎｅｅｒｓ（ＴｈｉｒｄＥｄｉｔｉｏｎ）［Ｍ］．Ｃｏｌｏｒａｄｏ：ＭｃＧｒ—
ｒａｗ—ＨｉｌｌＣｏｍｐａｎｉｅｓ，Ｉｎｃ，２０００．
mul［６］ｗＵＷａｎｎ，Ｙｉｈ，ＣＨＥＮＳｈｕｏ—Ｐｅｉ．ＡｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｕｓｉｎｇｔｈｅｇｒｅｙｍｏｄｅｌＧＭＣ（１，ｎ）ｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅ
you jumpｇｒｅｙｒｅｌａｔｉｏｎａｌａｎａｌｙｓｉｓ：ａｓｔｕｄｙＩｎｔｅｒｎｅｔ
ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００５，１６９（０１）：１９８－２１７．
［７３朱洪洲，何疮益，吴国雄，等．基于高温性能的沥青混合料组成结构优化口］．华中科技大学学报：城市科学
版，２００６，２３（２）：３８—４０．
ＺＨＵＨｏｎｇ—ｚｈｏｕ，ＨＥＺｈａｏ－ｙｉ，ＷＵＧｕｏ－ｘｉｏｎｇ．Ａｓ－
高中课本ｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅｃｏｎｓｔｉｔｕｅｎｔｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｂａｓｅｄｒｕｔ—ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅｐｒｏｐｅｒｔｙ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕａｚｈｏｎｇＵｎｉｖｅｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＵｒｂａｎＳｃｉｅｎｃｅ
Ｅｄｉｔｉｏｎ），２００６，２３（２）：３８－４０．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）．
［８］黄晓明，朱湘．沥青路面设计［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２００２．
［９］ＫＲＩＳＨＮＡＮＪＭ，ＲＡＪＡＧＯＰＡＬＫＲ．Ｏｎｔｈｅｍｅ－ｃｈａｎｉｃａｌｂｅｈａｖｉｏｒｏｆａｓｐｈａｌｔ［Ｊ］．ＭｅｃｈａｎｉｃｓｏｆＭａｔｅｒｉ。
ａｌｓ，２００５，３７（１１）：１０８５一１１００．
［１０］ＳＨＥＮＯＹＡ．Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｏｆｈｉｇｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｒｈｅｏｌｏｇｉ．ｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆａｇｅｄａｓｐｈａｌｔｓｆｒｏｍｔｈｅｆｌｏｗｄａｔａｏｆ
ｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｕｎａｇｅｄｓａｍｐｌｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｎｄ
ＢｕｉｌｄｉｎｇＭａｔｅｒｉａｌｓ，２００２，１６（０８）：５０９—５１７．
［１１］詹小丽，张肖宁。谭忆秋，等．改性沥青低温性能评价指标研究［Ｊ］．公路交通科技２００７，２４（０９）：４２—４５．
ＺＨＡＮＸｉａｏ－ｌｉ，ＺＨＡＮＧＸｉａｏ－ｎｉｎｇ，ＴＡＮＹｉ—ｑｉｕ。ｅｔ
ａ１．Ｓｔｕｄｙｔｈｅｌｏｗｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｅｖａｌｕａ．
ｔｉｏｎｉｎｄｅｘｅｓｏｆｍｏｄｉｆｉｅｄａｓｐｈａｌｔ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈ．
ｗａｙａｎｄＴｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈａｎｄＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ．
２００７，２４（０９）：４２—４５．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）．
（责任编辑：汤雪峰）
万方数据
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