空间直⾓坐标转换之仿射变换（转）
空间直⾓坐标转换之仿射变换
□/3Echo
⼀、引⾔
⼯作开发中常常会遇到坐标系转换的问题，关于如何实现不同坐标系之间的转换的论述⾮常之多，基于实际应⽤项⽬，⼤都提出了⼀种较好的解决⽅法。两年前，我也从⽹上下载了⼀篇⽂章——《坐标系转换公式》（青岛海洋地质研究所戴勤奋译），⽂中对各种变换模型都有详细的描述，如莫洛⾦斯基-巴德卡斯转换模型、赫尔黙特转换模型、布尔莎模型以及多项式转换，算是⼀篇⽐较全⾯介绍坐标系转换⽅⾯的⽂章。
i3d我想⼤家对常⽤转换模型的理解⽅⾯⼀般不会有⼤太困难，如果基于当前流⾏GIS平台（如超图、ArcGIS、MapInfo）的基础上作⼆次开发，我想也不会有什么困难，只要找准了它们提供的接⼝，理顺⼀下思路，我们也能实现⽤户提出的需求。但是对于内核算法、参数求解的过程我们却⼀⽆所知，很多时候我们⾃⼰觉得解决了这个问题，也就不会太去关注底层实现的算法问题了。不过，说实话要去真正弄清楚各个模型之间的关系确实是⼀件头痛的事情，没有⼀定的数学功底还真的是不知道它在说些什么。
⼆、仿射变换
仿射变换是空间直⾓坐标变换的⼀种，它是⼀种⼆维坐标到⼆维坐标之间的线性变换，保持⼆维图形的“平直线”和“平⾏性”，其可以通过⼀系列的原⼦变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
此类变换可以⽤⼀个3×3的矩阵来表⽰，其最后⼀⾏为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这⾥原坐标和新坐标皆视为最末⼀⾏为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：
[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02]
[y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12]
[1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]
⽤代数式表⽰如下：
x’ = m00*x+m01*y+m02；
y’ = m10*x+m11*y+m12；
如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：
其⽰意图如下：
⼏种典型的仿射变换：
1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)
平移变换，将每⼀点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：
[ 1 0 tx ]
[ 0 1 ty ]
[ 0 0 1 ]
（译注：平移变换是⼀种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产⽣形变的理想物体，平移当然不会改变⼆维图形的形状。同理，下⾯的“旋转变换”也是刚体变换，⽽“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。）
2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)
缩放变换，将每⼀点的横坐标放⼤（缩⼩）⾄sx倍，纵坐标放⼤（缩⼩）⾄sy倍，变换矩阵为：
[ sx 0 0 ]
[ 0 sy 0 ]
[ 0 0 1 ]
3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)spg
剪切变换，变换矩阵为：
[ 1 shx 0 ]
[ shy 1 0 ]
[ 0 0 1 ]
相当于⼀个横向剪切与⼀个纵向剪切的复合
[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ]
[ shy 1 0 ][ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]
（译注：“剪切变换”⼜称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边⼩商店那种铁拉门都见过吧？想象⼀下上⾯铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。）
4.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)
旋转变换，⽬标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：
[ cos(theta) -sin(theta) 0 ]
[ sin(theta) cos(theta) 0 ]
[ 0 0 1 ]
5.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)
旋转变换，⽬标图形以(x, y)为轴⼼顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：
[ cos(theta) -sin(theta) x-x*cos+y*sin]
[ sin(theta) cos(theta) y-x*sin-y*cos ]
[ 0 0 1 ]
相当于两次平移变换与⼀次原点旋转变换的复合：
[1 0 -x][cos(theta) -sin(theta) 0][1 0 x]
[0 1 -y][sin(theta) cos(theta) 0][0 1 y]
[0 0 1 ][ 0 0 1 ][0 0 1]
三、仿射变换四参数求解
A、C#⾃定义函数实现求解：
1、求解旋转参数Rotaion:
1///<summary>
2
3///获取旋转⾓度
4
5///</summary>
6
7///<param name="fromCoordPoint1">源点1</param>
8
9///<param name="toCoordPoint1">⽬标点1</param>
10
11///<param name="fromCoordPoint2">源点2</param>
12
13///<param name="toCoordPoint2">⽬标点2</param>
14
15///<returns>返回旋转⾓度</returns>
16
17private double GetRotation(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1,CoordPoint fromPoint2,CoordPoint toPoint2)
18
19 {
20
21double a = (toPoint2.Y - toPoint1.Y) * (fromPoint2.X - fromPoint1.X) - (toPoint2.X - toPoint1.X) * (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y); 22
23double b = (toPoint2.X - toPoint1.X) * (fromPoint2.X - fromPoint1.X) + (toPoint2.Y - toPoint1.Y) * (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y); 24
25
26
27if (Math.Abs(b) > 0)
28
29return Math.Tan(a / b);
30
31el
32
33return Math.Tan(0);
34
35 }
36
37
2、求解缩放⽐例参数(Scale):rocket
1///<summary>
2
宫保鸡丁英文3///获取缩放⽐例因⼦初1英语作文
4
5///</summary>
6
7///<param name="fromCoordPoint1">源点1</param>
8
9///<param name="toCoordPoint1">⽬标点1</param>
10
11///<param name="fromCoordPoint2">源点2</param>
12
13///<param name="toCoordPoint2">⽬标点2</param>magnificent
14
15///<param name="rotation">旋转⾓度</param>
16
17///<returns>返回旋转因⼦</returns>
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19private double GetScale(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1, CoordPoint fromPoint2, CoordPoint toPoint2, double rotation) 20
21 {
22
23double a = toPoint2.X - toPoint1.X;
24
25double b = (fromPoint2.X - fromPoint1.X) * Math.Cos(rotation) - (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y)*Math.Sin(rotation);
26
27if (Math.Abs(b) > 0)
28
29return a / b;
30
31el
32
33return0;
34
35 }
36
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3、求解X⽅向偏移距离参数（XTranslate）:
1///<summary>
2
3///得到X⽅向偏移量
4
5///</summary>
滞留是什么意思6
7///<param name="fromCoordPoint1">源点1</param>
8
9///<param name="toCoordPoint1">⽬标点1</param>
10
11///<param name="rotation">旋转⾓度</param>
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13///<param name="scale">缩放因⼦</param>
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15///<returns>返回X⽅向偏移量</returns>
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17private double GetXTranslation(CoordPoint fromPoint1,CoordPoint toPoint1,double rotation,double scale)
18
19 {
20
21return (toPoint1.X - scale * (fromPoint1.X * Math.Cos(rotation) - fromPoint1.Y * Math.Sin(rotation)));
22
23 }
24
25
4、求解Y⽅向偏移距离参数(YTranslate):
1///<summary>
2
3///得到Y⽅向偏移量
4
5///</summary>
6
7///<param name="fromCoordPoint1">源点1</param>
8
9///<param name="toCoordPoint1">⽬标点1</param>
10
11///<param name="rotation">旋转⾓度</param>
师者所以传道授业解惑也12
13///<param name="scale">缩放因⼦</param>
14
15///<returns>返回Y⽅向偏移量</returns>
16
17private double GetYTranslation(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1, double rotation, double scale)
18
19 {
20
21return (toPoint1.Y - scale * (fromPoint1.X * Math.Sin(rotation) + fromPoint1.Y * Math.Cos(rotation)));
22
23 }
B、C#+AE求解：
1///<summary>
2
3///从控制点定义仿射变换程式
4
5///</summary>
6
7///<param name="pFromPoints">源控制点</param>
8lamp怎么读
9///<param name="pToPoints">⽬标控制点</param>
10
11///<returns>返回变换定义</returns>
12
13private ITransformation GetAffineTransformation(IPoint[] pFromPoints, IPoint[] pToPoints)
14
15 {
16
17//实例化仿射变换对象
18
19 IAffineTransformation2D3GEN tAffineTransformation = new AffineTransformation2DClass(); 20
21//从源控制点定义参数
22
23 tAffineTransformation.DefineFromControlPoints(ref pFromPoints, ref pToPoints);
24
25//查询引⽤接⼝
26
27 ITransformation tTransformation = tAffineTransformation as ITransformation;
28
29return tTransformation;
30
31 }
四、空间对象转换
求出参数后，再利⽤公式对相应坐标点进⾏转换是⼀件相对简单的事件了。
⽰例代码：
1///<summary>
2
3///转换空间点
4
5///</summary>
6
7///<param name="pPoint">点</param>
8
9///<returns>返回转换后的点</returns>
10
11private IGeometry TransformPoint(IPoint pPoint)
12
13 {
14
15//********************************************
16
17 //说明：采⽤相似变换模型（四参数变换模型）
18
19 // X= ax + by + c
20
21 // Y=-bx + ay + d
22
23 //*********************************************
24
25double A = this.m_Scale * Math.Cos(this.m_RotationAngle);
26
27double B = this.m_Scale * Math.Sin(this.m_RotationAngle);
28
29 IPoint tPoint = new PointClass();
30
31 tPoint.X = A * pPoint.X + B * pPoint.Y + this.m_DX;
32
33 tPoint.Y = B * (-1.0) * pPoint.X + A * pPoint.Y + this.m_DY;
34
35return tPoint;
36
37 }
brace
