單元43：條件期望值
(課本x5.11)
條件期望值的定義方式與單變量期望值相同，只不過是將邊際機率密度函數(或機率質量函數,marginal pdf，或pmf)換成條件機率密度函數(或條件機率質量函數, conditional pdf，或pmf)，如下述.
定義.若雙變量隨機變數
(Y1;Y2)$joint pdf f(y1;y2)
則給定Y2=y2,g(Y1)的條件期望值(conditional
expection)
E[g(Y1)j Y2=y2]def=Z I
I
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g(y1)f(y1j y2)dy1
其中f(y1j y2)為給定y2,Y1的conditional pdf，亦即,
f(y1j y2)=f(y1;y2) f2(y2)
且
f2(y2)=Z Irectangle怎么读
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f(y1;y2)dy1
為Y2的marginal pdf.
若雙變量隨機變數
(Y 1;Y 2)$joint pmf p (y 1;y 2)
則給定Y 2=y 2,g (Y 1)的條件期望值
E [g (Y 1)j Y 2=y 2]def =
X
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y 1
g (y 1)p (y 1j p 2)
其中p (y 1j y 2)為給定y 2,Y 1的conditional pmf，亦即,
p (y 1j y 2)=
p (y 1;y 2)
p 2(y 2)
且
p 2(y 2)=
X
y 1
p (y 1;y 2)
為Y 2的marginal pmf.
例1.設(Y 1;Y 2)的joint pdf
f (y 1;y 2)=
(
1=2;0 y 1 y 2 2
0;
其它試求E (Y 1j Y 2=1:5).
<；解>(1)求f (y 1j y 2)：首先,joint pdf f (y 1;y 2)
在區域
R :
(
0 y 2 20 y 1 y 2
上取值12，其它地方取值0，故對於0 y 2 2,
f 2(y 2)=
Z I
I
twerkf (y 1;y 2)dy 1=Z y
20
12dy 1
=
12y 1 y 20=12y 2當y 2<0或y 2>2時,
keep的用法
f 2(y 2)=
Z I
I
0dy 1=0
所以,Y 2的marginal pdf
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f 2(y 2)=
(
12y 2
;0 y 2 2
0;
其它
又conditional pdf f (y 1j y 2)只定義在f 2(y 2)=0treval
時，故當0<y 2 2，給定Y 2=y 2,Y 1的conditional pdf
f (y 1j y 2)=
f (y 1;y 2)
f 2(y 2)
=
8
<:1=2y 2=2=1y 2;0 y 1 y 20y 2=2
=0；其它當y 2 0或y 2>2時，因為f 2(y 2)=0，故conditional pdf f (y 1j y 2)未定義.
(2)由條件期望值的定義，對任意的0<y 2 2,
E (Y 1j Y 2=y 2)=
Z I
I y 1f (y 1j y 2)dy 1
uji=
Z y
20
y 1
1
y 2!
dy 1=
1y 2¡12y 21
y 2y 1=0=
1y 2
¡12y 22=12
y 2其中第二個等號成立乃因為前一式中conditional pdf
f (y 1j y 2)僅在0 y 1 y 2上取值1y 2
，其它地方的取值為0所致.因此，給定Y 2=1:5時,Y 1的條件期望值
E (Y 1j Y 2=1:5)=E (Y 1j Y 2=y 2)
y 2=1:5
=12y 2
y 2=1:5
=1:52
=:75
註1.給定Y 2=y 2,E (Y 1j Y 2=y 2)本身就是一個
y 2的函數，如上例的
E (Y 1j Y 2=y 2)=1
2
y 2
因此，考慮Y2的所有可能值時，可視條件期望值
either的用法E(Y1j Y2)
為隨機變數Y2的函數，如上例的
E(Y1j Y2)=1 2 Y2
故E(Y1j Y2)亦為一隨機變數，其期望值與變異數如下述的二定理.
定理5.14.令Y1與Y2為二隨機變數，則
E(Y1)=E[E(Y1j Y2)]
亦即，給定任一固定的隨機變數Y2時,Y1的條件期望值的期望值等於Y1的(無條件)期望值.
註.等號右邊內層的期望值是給定Y2，針對Y1的條件分布求Y1的期望值，亦即，先求
E(Y1j Y2=y2)=Z I
I
y1f(y1j y2)dy1
得一y2的函數，再將y2換成Y2.外層的期望值是針對Y2的分布求隨機變數E(Y1j Y2)(一Y2的函數)
的期望值，亦即,
E[E(Y1j Y2)]=Z I
I
E(Y1j Y2=y2)f2(y2)dy2
