meiji2007年第26卷2月第2期机械科学与技术
MechanicaI science and TechnoIogy February VoI.262007No.2
收稿日期：2006
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基金项目：教育部高校优秀青年教师教学科研奖励计划项目资助
作者简介：李 涛（1978-），男（汉），山东，博士研究生，xiaoIide@126.
com
李 涛
Doo-sabin 细分曲面的圆角算法
李 涛，周来水
（南京航空航天大学CAD /CAM 工程研究中心，南京 210016）
摘 要：给出了常用旋转曲面的细分表示方法并以此提出了Doo-sabin 曲面的圆角算法。首先根据给定的圆角值插入圆角线并重新进行特征标识和权值分配，产生新的控制网格，再用改进的Doo-sabin 模式细分，从而生成有圆角特征的细分曲面。即使多条圆角边交于一点且采用不同的圆角值，也能得到!1连续的过渡曲面。本算法可以实现多面体曲面的等半径圆角过渡；对一般曲面，也可以取得较好的过渡结果。
关 键 词：圆角值；圆角边；Doo-sabin 细分曲面
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1003-8728（2007）02-0177-04
百万瓦特
Fillet Operations with the Doo-Sabin Subdivision Surface
Li Tao ，Zhou Laishui
（CAD /CAM Engineering Rearch Center ，Nanjing University of Aeronautics &Astronautics ，Nanjing 210016）
Abstract ：The paper prented a subdivision reprentation method for common surfaces of revoIution and then pro-pod the fiIIet operations for the Doo-sabin subdivision surface.First ，it generated a new controI mesh by inrting
fiIIet Iines according to given fiIIet vaIues and by reassigning sharp features and retting weights ；then it ud the improved Doo-sabin subdivision modeI to generate subdivision surfaces with fiIIet features.Despite the facts that many fiIIet edges may meet at a vertex and that different fiIIet vaIues may be adopted ，the paper stiII obtains round surfaces with !1continuity.The operations can round poIyhedraI surfaces with fiIIets of constant radius ；they aIso have fairIy good round effect on other types of surface.
Key words ：fiIIet vaIue ；fiIIet edge ；Doo-sabin subdivision surface 细分是当今人们广泛研究的曲面造型方法之一，它克服了NURBs 只能定义于四边域的局限性，因为算法简单、高效、造型能力强等优点而倍受青睐。近年来，人们对细分算法进行了广泛的研究，使其无论在理论上还是应用中都得journey
到了迅速的发展。一方面，提出了许多细分模式和有关细分的算法，连
续性理论也不断完善
［1］
；另一方面，细分技术已经成功地应用于Maya ，softlmage 等造型软件。由于大
多细分格式，如CatmuII-CIark ［2］，、Doo-sabin ［3］
等最
初是定义在封闭网格上的，不能生成边界、折痕、角点等尖锐特征，文献［4，5］分别对其作了改进，使之可以构造有特征的开曲面，扩大了细分的造型能力。然而在CAD 工程应用中，
更多的情况是要把尖锐特征平滑过渡，这不仅可以改善产品零件的外观，而且可以提高它们的安全性、强度和可加工性。关于细
分曲面的过渡，
Dero 等［6］
讨论了基于混合细分的半尖锐特征生成方法，在开始的几步先用尖锐规则细分，然后再用光滑规则细分，从而生成光滑的过渡
曲面；Xu 等［7］
提出了基于初始控制网格拓扑分裂的
细分曲面圆角算法，首先根据用户提供的圆角值把相应网格面分为多个子网格面，然后对分裂后的网
格面进行Doo-sabin 细分［3］，由于特征边处的过渡
曲面是二次B 样条曲面，
在圆角线附近会嵌入平面，因此对一般曲面的过渡效果不佳。上述两种方法都是基于控制网格拓扑分裂的的细分曲面圆角过渡，即使对简单的多面体曲面，也不能实现等半径过渡，迄今为止作者也没有见到其它相关的文献。这一方面是由于细分曲面的等距、求交、裁剪等理论的
研究还不成熟
［1］
，
难以真正走向实用；另一方面，关于旋转面的细分表示，虽然Morin 等［8］
做过相应的
机械科学与技术第26卷
探索，但该算法凸包性太差，不便于表示部分旋转
面。作者［5］通过推广准均匀二次B 样条的节点插
入算法提出了改进的DOO-sabin 细分模式，可以生成尖锐特征并借助权因子方便地表达各种二次旋转曲面。同时，直接利用细分曲面灵活的造型功能设计符合要求的曲面，从而尽量避免复杂的裁剪运算是人们构造细分算法的主要目的之一。因此，本文仍基于控制网格拓扑分裂的方法探讨细分曲面的圆角算法，由于进行了特征标识并采用改进的DOO-sa-bin 模式，可以对多面体曲面等半径过渡；同时，对一般曲面的过渡也不会出现局部平坦区域的现象。因为避免了细分曲面的等距、求交、裁剪等运算，本文的算法实现起来非常简洁、高效。l DOO-sabin 细分模式
l.l 无特征的DOO-sabin 细分模式
文献［3］给出了第一个对偶细分模式———DOO-sabin 模式。每细分一次，各顶点在与其关联的面中都产生新顶点。每个面的新顶点依次相连得到新面面；每条边的端点在其左、右面的新顶点依次相连得到新边面；把每个顶点在其关联面的新顶点依次相连得到新点面。新顶点的计算公式为
V'i =
z n
j =l
!i ，j V j
式中：
!i ，j =
3+2cOS （2!（i -j ）/n ）
4n i 一j
n +54n
{
i =jultimate
i =l ，2，…，n ，n 为面的边数，其细分模板如图l 所示。
l.2 带尖锐特征的DOO-sabin
模式
图l DOO-sabin 曲面内顶点细分模板
文献［3］没有考虑边界、折痕等尖锐特征，因此具有很大的局限性，作
者［5］对此作了改进，通过
改变特征面处的细分规则来生成折痕、角点等尖锐特征。特征面的细分
模板如图2所示，其中，加粗边为特征边。关于特征面有以下约定：同一个面内最多含有两条特征边，如果确有两条，必为相邻特征边，其交点为角
点，该特征面称为角点面。l.3 常用旋转曲面片的细分表示
上述改进的DOO-sabin
细分模式是二次准均匀
图2 特征面的细分模版
图3 用准均匀二次NURBs 曲线表示圆弧
B 样条曲面在任意拓扑上的推广，而工程技术中常用的圆弧大多是采用有重节点的二次NURBs 曲线，因此，借助权因子可以精确地表示旋转曲面。如图3是圆心角小于l80 的圆
弧曲线的二次NURBs 表示的控制顶点和权因
子［9］
。将其推广到张量积
的形式，很容易得到旋转曲面的细分表示。
图4给出了用改进的DOO-sabin 模式表示的部分圆柱面和部分圆环面，其中，矩形点表示角点，圆形点表示一般边界点，各边的夹角如图4所示。图4（a ）中中间一列顶点的权因子为Sin "，其余各点为l ；图4（c ）中角点的权因子为l ，一般边界点的权因子为Sin "或Sin #（取决于所对应的夹角），中间内顶点的权因子为Sin "·Sin #
。
图4 用改进的DOO-sabin 模式表示的旋转面
8
法语翻译器
7l
第2期李 涛等：DOO-sabin 细分曲面的圆角算法
2 DOO-sabin 曲面的圆角过渡算法
首先给出后面常用的一些基本概念或术语。需要过渡的网格边称为圆角边，圆角线是指过渡曲面的控制网格面与原网格面的交线。本文约定初始网格面均为平面四边形，圆角线平行于圆角边。圆角值是指圆角边与圆角线的距离。过渡曲面用有
特征的DOO-sabin 曲面［5］
来表示，新插入的圆角线
都标记为特征边。控制顶点的价是指与该顶点相连的边的条数。价为4的内顶点称为正则点，价非4的内顶点称为奇异点。如果相邻圆角边的公共端点为正则点，则称之为属于同类的圆角边，该公共端点称为圆角边点，规定所有同类圆角边的圆角值必须相同，如果圆角边的端点为边界点，也称其为圆角边点；如果相邻圆角边的公共端点为奇异点，则称之为属于不同类的圆角边，该公共端点称为圆角角点，不图5 圆角边与圆角线
同类圆角边的圆角值可以不同。如下面图5所示，设加粗的边AB 、BC ；AD 、DE ；AF 、FG 为圆角边，两边的细虚线为圆角线，B 、D 、F 是价为4的圆角边点，价为
3的奇异点A 是圆角角点，AB 与BC ；AD 与DE ；AF 与FG 分别是同类圆角边，其圆角值相同；AB 、AD 、AF 是不同类的圆角边，
其圆角值可以不同。
图6
圆角边左/右面的拓扑分裂chandelier
首先由用户选取圆角边并指定圆角值，当圆角边的对边是特征边或者也是圆角边时，插入圆角线后会在同一面中出现两条不相邻的特征边，这违背了文献［5］中关于同一特征面内最多有两条相交的特征边的规定，这时需插入一条内部边以解决上述矛盾。如图6所示，其中，加粗的实线为特征边，加粗的虚线为圆角线，细虚线为插入的内部边，点划线为圆角边。图6（a ）~图6（f ）分别给出了圆角边的
对边为特征线、圆角边、同一面内有四条圆角边和两条相邻的圆角边时的面分裂情况。2.l 算法步骤
（l ）初始预分裂。根据圆角边的对边是否为特征边或圆角边，按照图6细虚线所示对部分控制网格作l-2或l-4分裂，这些新插入的边均标记为内部边。为简单计，假定所有圆角值都小于圆角边邻边边长的一半，故初始预分裂可以做简单的中点二分。权因子的计算方法相同。
（2）插入圆角线。经过初始预分裂以后，所有圆角边的对边均为内部边，这时可以插入所需要的圆角线。如果圆角边的两个端点都不是圆角角点，则圆角线端点的位置可以根据圆角值直接计算，权因子保持不变。设圆角边点原来的权因子为w ，如果该点为边界点，设该圆角边的左右面的夹角为2!l ，
则其权因子更新为w sin !l ；如果该圆角边点为内顶点，设与其相连的另一圆角边的左右面的夹角为2!2，则其权因子更新为
w （sin !l +sin !2）
2
。如果圆角边的一个端点是
圆角角点，则该圆角边在此端点处的两个左右邻边也都是圆角边，且其圆角值可能不同，此时取较大的圆角值计算可以得到较好的过渡效果。如图5所示，当圆角边AD 的圆角值大于圆角边AB 的圆角值时，可以取AD 的圆角线与边AF 的交点H 作为最终的新顶点。设圆角角点的价为I ，权因子为w ，与其相邻的圆角边左右面的夹角分别为!l ，!2，…，!I ，则圆角角点处的权因子更新为l I z I
i =l （sin !i ）2
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w 。其它各顶点的位置及权因子保持不变。
（3）对插入圆角线以后的网格面根据需要作l-2或l-4分裂，如图6加粗虚线所示。所有新插入的圆角线均标记为折痕边，原来的圆角边都标记为内部边，所有顶点和面的类型根据文献［5］中的定义重新调整。
（4）用改进的DOO-sabin 模式
［5］
细分分裂后的控制网格。
2.2 算法分析
因为约定初始网格面为平面四边形，虽然嵌入的圆角线标记为特征边，但极限曲面在特征边处与初始控制多边形相切，故所得到的曲面整体是G l 连续的。文献［7］直接对分裂后的网格用原始的DOO-sabin 模式进行细分，
虽然极限曲面也具有G l 连续性，但其过渡曲面是二次均匀B 样条曲面，由于圆角线嵌入在网格面的内部，过渡后的曲面会出现局部平面的现象。为了便于显示，以曲线为例加以说明。图7（a ）为含有角点的二次B 样条曲线，图7
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（b ）为二次准均匀B 样条曲线，过渡比较平滑，图7（c ）为二次均匀B 样条曲线，因为有3个控制顶点
共线而潜入了直线段。
图7 两种过渡方法的比较
根据细分原理和权值分配，对多面体曲面的棱边，过渡面显然是等半径的，此时圆角值可以转化为过渡半径信息输入。在某些特殊情形下，如一般旋转面与平面相交，如果旋转轴与平面垂直或具有其它某些对称性质，如插入圆角线后得到形如图4（c ）所示的控制网格，则此时的过渡面也是等半径的。对通常的曲面而言，过渡面一般不是等半径的，甚至垂直截面线不是圆弧。3
实例与比较
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图8 多面体的圆角过渡
图8给出了含有奇异点的多面体曲面的圆角过渡，图8（a ）是初始控制网格，其中含有价为3和6的角点，图8（b ）是图8（c ）细分前初始分裂的网格图，图8（c ）、图8（d ）中各圆角边的圆角值相等，图8（e ）、图8（f ）中各圆角边的圆角值不完全相等。由图例可见，无论圆角值是否相等和有多少条圆角边交于一点，本文的方法都可以实现角点处的平滑过渡。图9是对部分圆柱面与平面交线处的过渡，图9（a ）、图9（b ）为过渡前后的曲面，因为圆角边的左右面夹角相等，故过渡曲面是圆环面。图10是一般的曲面过渡，图10（a ）是保持6条尖锐边的细分结果，图10（b ），图10（c ）是用文献［7］和本文方法得到的结果。比较可见，用本文的方法过渡更加平滑，不会出现局部平面区域，
曲面品质更好。
谷歌中英文在线翻译图9
柱面与平面的过渡面
图10 曲面的过渡
4 结束语
通过在控制网格面内嵌入新的网格线并利用改进的Doo-Sabin 模式，实现了带圆角特征的细分曲面构
造。利用细分任意拓扑性的优势，可以简单地实现角点处的G 1过渡，这在传统上是难以做到的。对常用的多面体曲面，可以精确地等半径过渡；实例表明，对一般曲面，也可以得到较好的过渡效果。
进一步的工作是考虑如何实现一般细分曲面的等半径过渡及如何实现对过渡半径的有效控制，或者设计基于等距、求交、裁剪等运算的过渡算法。这有待于对细分算法作更加深入地研究。
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81
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