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基于广义S变换的地震高分辨率分析
刘继承，常正胜
（大庆石油学院，黑龙江 大庆 １６３３１８）
摘 要：Ｓｔｏｃｋｗｅｌｌ等人提出的Ｓ变换虽然与Ｆｏｕｒｉｅｒ谱能保持直接联系，但是Ｓ变换中的基本小波不适用于地震资料处理，通过对Ｓ变换加以推广得到广义Ｓ变换。本文研究广义Ｓ变换在地
震高分辨处理中的应用，并利用广义Ｓ变换进行地震高分辨率剖面处理。仿真实验和实际资料的处理对比结果均表明广义Ｓ变换在地震高分辨处理方面的可行性和有效性。
关键词：Ｓ变换；广义Ｓ变换；地震信号；高分辨率分析
中图分类号：Ｏ１７４．２２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３－７２４１（２００９）１０－００５６－０５
Study on High-Resolution Seismic Bad on
Generalized Stransform
LIU Ji-cheng, CHANG Zheng-sheng
( DaQing Petroleum Institute, Daqing 163318 China )
Abstract: S transform (ST) is propod by Stockwell et al. It is a the unique transform that provides frequency-dependent resolution while maintaining a direct relationship with the Fourier spectrum. This feature is very important for applications. However, the ST can’t work well for ismic data analysis. So it is a necessary to develop or improve S transform, which are called generalized S tran
sform (GST).In this paper, generalized S transform is rearched in the ismic high-resolution processing, and u generalized S transform to deal with high-resolution ismic profiles. Simulation experiments and real data processing results show that generalized S transform is feasibility and effectiveness in the ismic high-resolution processing.
Key words: S transform; generalized S transform; ismic signal; high resolution analysis
１ 引言
Ｓｔｏｃｋｗｅｌｌ等提出的Ｓ变换是以Ｍｏｒｌｅｔ小波为基本小波的连续小波变换的延伸。在Ｓ变换中，基本小波是由简谐波与Ｇａｕｓｓｉａｎ函数的乘积构成的，基本小波中的简谐波在时间域仅作伸缩变换，而Ｇａｕｓｓｉａｎ函数则进行伸缩和平移。这一点与连续小波变换不同．在连续小波变换中，简谐波与Ｇａｕｓｓｉａｎ函数进行同样的伸缩和平移。与连续小波变换、短时Ｆｏｕｒｉｅｒ变换等时间－频率域分析方法相比，Ｓ变换有其独特的优点，譬如：信号的Ｓ变换的时－频谱的分辨率与
系，基本小波不必满足容许性条件等等。２ S变换
Ｓｔｏｃｋｗｅｌｌ的Ｓ变换表述如下：
设函数()R
L
t
h2
)
(∈ （()R
L2表示能量有限函数空间）），()t h的Ｓ变换定义为：
{}
22
()
(,)()exp2
2
2
f t f
S f h t i ft dtcontour
τ
τπ
π
∞
−∞
−−
=−
∫
（１）在Ｓ变换中，基本小波函数为：
())
2
2
specialforcexp(
2
12
t
i
t
bill gates
t
wπ
π
−
−
= （２）定义
()
−
=
−ft
i
f
f
t
w
t
f
π
π
2
2
exp
2
2
2
()()ft
i
t
g简单易懂的英文小说
f
π2
exp−
=
（３）
其中：
()
=−2
exp
2
2
2
f
f
t
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g t
f
π
（４）
τ均为实数。
（１）式可写为：(){}∫∞
∞−−−=dt
ft i t g
t h f
S f
πττ2exp
)
()(, （５）
记高斯函数为：
−=
2exp 2)
(2
2f t f
t g π （６）
()t h 的Ｓ变换谱与其Ｆｏｕｒｉｅｒ变换谱有如下关系：
()f
h d f =∫τπ),S( （７）
这里，()f h 表示()t h 的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。Ｓ变换的逆变
换为
()()df
ft i d f S t h πττπ
2exp }),({21∫
∫
∞
∞
−∞
∞
−=
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（８）
由于Ｓ变换中的基本小波是固定的，使其应用范围受到限制。在地震资料处理中，准确的确定反射界面的位置是十分重要的。用Ｓ变换进行薄层探测，效果不是很令人满意。因此，有必要对Ｓ变换加以发张和推广。
３ 广义S 变换
在实际地震记录中，不同地区、不同时间采集的地震记录，记录的幅值是不同的，地震震源激发的地震子波能量延迟也不同。并且，随着地震波传播距离的增大，其能量和频率随之衰减。针对地震信号的这些特点，把基本小波推广为：
()()[
]ft
f i t A t w 02
2exp πβ
α−−−= （９）
式中，Ａ为基本小波的振幅，α为能量衰减率（α＞０），β为能量延迟时间，0f 为基本小波的视频率，定义
()()[]
t f i ft f A t w f 02
2exp πβα−−−=()()ft f i t g t 02exp π−=（１０）
其中()()[]
2exp βα−−=ft f A t g f 定理１：设()R L t h 2)(∈，()t w 由（９）式给出，()t h 相对于()t w 的广义Ｓ变换定义为：
(){}∫∞
∞−−−=dt
ft f i t h t g f
S f 02exp )()(,πττ （１１）old bird
则广义Ｓ变换的反变换公式为：
()t f y A IFT f f t h
=
)(100πα
（１２）式中，ＩＦＴ表示逆Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。
)(f y 由下式定义：()())(ˆ
,0ff h A
d f S f
y α
πτ
τ==∫∞
∞− （１３）h
ˆ表示h 的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。更进一步我们可以对定理１中的基本小波加以推广，有如下结果：
定理２：设
()
R L
t h 2
)(∈，取基本小波为：
()(){}
t f i t A t w k k k
k 02
2exp πβα−−−=
∑
()[]
t
f i t
g 02exp π−= （１４）
这里
()()
2
exp k k k t A t g βα−−=()t h 相对于()t w 的广义Ｓ变换定义为：
()()[]dt
ft f i t h t g
d f S f
02exp )(,πτττ−−=∫
∫∞
∞
− （１５）
()()()t f y IFT A f f t h 1
00=
（１６）
其中：()()f f h a A f y k
k
k
0ˆ
=∑
π
，
∑=
k k
k
a A
A π。
广义Ｓ变换高斯函数为：
(
)
{}()[]
−−+=
2
2
2
,,,exp 2)(HY
F
HY B HY
Folivetti
HY B HY f t X f f
t g λγγ
πγγπ （１７）
４ S 变换及广义S 变换用于地震高分
辨率相应分析
４．１ 仿真实验
为了更好的系统的研究广义Ｓ变换在地震高分辨处理方面的能力，首先从理论上分析广义Ｓ变换对时频
进行分析的能力。图１（ａ）为合成信号是由１０ＨＺ，３０ＨＺ，５０ＨＺ的三个信号组合形成，对该合成信号进行广义Ｓ变换，得到图１（ｂ）为合成信号
的广义Ｓ变换的时－频
图１（a ） 合成信号)
天动
(t h 图１（b ） )(t h 的广义S 变换
图，从图中可以很清楚的看出，它不仅具有很好的时间分辨率，而且具有很高的频率分辨率。广义Ｓ变换进行时频分析的有效性表明了，它可以作为一种有效地工具用于地震的高分辨处理。
Ｒｉｃｋｅｒ子波在地震资料分析中是很常用的地震子波，为了清楚的比较Ｓ变换及广义Ｓ变换的频率分辨率，产生一道由不同频率（１０ＨＺ，２０ＨＺ，３０ ＨＺ，４０ ＨＺ，５０ ＨＺ，６０ＨＺ）及位Ｒｉｃｋｅｒ小波生成的信号，通过Ｓ变换和广义Ｓ变换进行不同频率分辨率对比演示（如图２所示）。
由图２可见，两种变换均具有较高的精度。为了对比分辨率，同时给出了Ｓ变换及广义Ｓ变换中对比相应分量可见，当频率较高时，Ｓ变换的能量分布曲线发生畸变，而广义Ｓ变换的能量分布曲线有很好的局部化特性。由于，广义Ｓ变换基函数的调幅部分包含频率因子，对信号的高频成分有相对的补
偿作用，应用广义Ｓ变换对地震道进行时频分析，能够单独突出其高频段的能量，因此，广义Ｓ变换较Ｓ变换有更好的分辨率。
ａ） 广义Ｓ变换地震高分辨处理检测应用实例
为了进一步比较二者对地震高分辨检测能力，设计一个合成地震信号模型（如图４所示），用主频分别为１Ｏ，３０和５０Ｈｚ的Ｒｉｃｋｅｒ子波分量（如图３（ａ）所示）叠加而成的一维复杂地震记录模型。图３（ｂ）是Ｓ变换分析的结果，窗口函数选取（６）式定义的高斯函数，从变换结果来看，Ｓ变换能较好的反映局部特征，分辨率能随频率调节，但由于窗口形态不变，地震信号模型的时频分布不太理
马克吐温名言
想。图４（ｂ）是广义Ｓ变换分析的结果，窗口函数选取（１７）
式定义的高斯窗函数，其中8.1=
B
HY
γ，8.0=F
HY
γ，图２（a） 合成信号
图２（b） S变换
图２（c） 广义S变换
图３ 合成地震记录模型及其S变换时频谱
2
2
161
∆=t HY
λ，从变换结果来看广义Ｓ变换能很好的
反映局部特征，不但分辨能力能随频率调节，而且窗口的形态任意改变，突出对反射系数的检测能力，分辨率极高，广义Ｓ变换谱中很清晰地显示出了地震信号模型的时频分布，时频谱中能量最大的区域对应的时间与时域信号波峰中心出现的时间也是一致的，它对应于地震波反射的出现时间。由此可看出广义Ｓ变换所具有的良好的时频的聚集性能和提供的高质量的时频谱信息在提高地震资料的分辨率，改善地层结构的可视化，地层（尤其是薄层）的厚度估计，噪声压制以及油气的直接显示等方面都可获得较深入的应用。
前面仿真实验中，我们使用的地震子波均是Ｒｉｃｋｅｒ子波，在上述仿真实验中，我们可以精确地确定厚度为
8
λ（λ为地震波长）的薄层中反射界面位置，
Ｒｉｃｋｅｒ子波的波峰及波谷较大，而在实际记录中子波振荡周期数较多，而且主极和次极大幅度差别较小，这些就增大了薄层探测的难度。
ｂ） 实际资料处理
利用广义Ｓ变换的高频信息指示薄层顶底界面的信息，研究出基于广义Ｓ变换的高分辨率的剖面，主要步骤如下：（１）计算单道地震记录的广义Ｓ变换；（２）特定某一高频率值，提取其单频曲线，拾取其峰值，这样就得到了薄层的顶底界面位置；（３）循环计算所有的道，
则得到所有薄层顶底界面的位置信息的剖面。对大庆油田某地区的一条过井剖面进行了基于广义Ｓ变换的
图４ 合成地震记录模型及其广义S 变换时频谱
图５（a ） 原始地震剖面
图５（b ） 基于广义S 变换的高分辨率剖面
主频率分析，实际地震剖面如图６所示，对比这２张剖面可以清楚的看出，图５（ｂ）拓展了地震记录的主频，有效地提高了分辨率，在图５（ａ）中，由于地震波的频率较低，同向轴出现调谐的现象，但是在图５（ｂ）中，由于地震波主频的提高，同向轴式非常清晰的。随着频率的不断增大，高频信息在各瞬时频率剖面得以显示，重构后的地震剖面信噪比和分辨率也会得到明显的改善。在图中可以清晰地看出，由于采用广义Ｓ变换进行计算，计算得到的主频率剖面具有很高的纵向分辨率。
６ 结束语
广义Ｓ变换理论是在小波变换和Ｓ变换基础上发展起来的一种处理技术。本文讨论了广义Ｓ变换用于地震高分辨率研究的方法可行性和有效性。该方法基于Ｓ变换的时频局部化得思想，采用可灵活选择窗函数的广义Ｓ变换。广义Ｓ变换具有较好的时频分析效果，并且可以根据实际地震资料，选取合适的基本小波进行计算，方法灵活。在地震高分辨处理中的应
