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兵工自动化
Ordnance Industry Automation
2019-04
38(4)
doi: 10.7690/bgzdh.2019.04.007
基于FDOA的无源定位算法研究现状与展望
李明哲1，李小将1，李志亮2
(1. 航天工程大学宇航科学与技术系，北京101416；2. 航天工程大学航天信息学院，北京101416)
摘要：为更好地解决在时间和方向测量精度低的情况下，仅利用到达频差(frequency difference of arrival，FDOA)进行定位求解的问题，对基于FDOA的无源定位算法现状和发展方向进行分析。在阐述FDOA无源定位基本原理的基础上，分析了定位问题的本质和定位算法的分类方法，结合基于定位观测
量数据的定位算法和接收信号直接定位法的国内外研究现状，分析了FDOA无源定位算法存在的问题，指明了基于FDOA的定位算法的未来研究方向。该研究可为基于FDOA定位算法的研究提供参考依据。
关键词：FDOA；无源定位；定位算法；直接定位
中图分类号：TP302.7 文献标志码：A
Rearch Status and Prospect of Passive Localization Methods Bad on
Frequency Difference of Arrival
Li Mingzhe1, Li Xiaojiang1, Li Zhiliang2
(1. Department of Aerospace Science & Technology, Aerospace Engineering University, Beijing 101416, China;
2. School of Aerospace Information, Aerospace Engineering University, Beijing 101416, China)
Abstract: In order to better solve the problem of passive localization using frequency difference of arr
ival (FDOA) only, in the ca of low time and direction measurements precision, the rearch status and development direction of passive localization methods bad on FDOA are analyzed. On the basis of expounding the basic principles of FDOA passive localization, the nature of localization problems and the classification of localization methods are analyzed. The problems in the localization methods using measurement data and the direct position determination methods using received signals are analyzed respectively, through the summary and comparison of rearch status at home and abroad, and the future rearch directions of the FDOA-bad localization methods are pointed out. This study can provide reference for the rearch of passive localization methods bad on FDOA.
Keywords: FDOA; passive localization; localization method; direct position determination
0 引言
无源定位指侦察设备不向被探测目标发射无线电信号，只是通过接收电磁波信号对目标定位的一项技术[1]，一般可分为基于目标自身辐射信号的辐射源定位和基于第三方辐射信号的外辐射源定位。前者通过接收目标自身辐射的信号实现定位，后者通过外辐射源对目标进行照射，接收目标的散射信号，对目标实现定位[2]。文中定位特指获取目标的位置和速度信息。无源定位的主要侦察设备为无源雷达，
相比有源雷达，它的主要优点是：1) 不需要主动发射脉冲，反侦察能力强，雷达本身的安全性较高；2) 只负责接收信号，可以全时工作，不受发射机静默周期的限制；3) 绝大多数的隐身技术和有源干扰技术针对有源雷达，减小目标在特定方向的雷达散射面积或信噪比，而无源雷达可以在对方不知道的情况下进行探测和定位，故其性能更加稳定；
4) 对于采用第三方辐射源方式的无源定位，即使在目标电磁静默的情况下仍可正常侦察[3]。综上所述，与传统有源定位相比，无源定位的方式更加安全且可以实现更好的定位效果。近年来，许多国家研制了无源定位系统，如捷克的VERA-E电子情报和无源空中监视系统、俄罗斯VEGA85V6-A三坐标无源定位系统、乌克兰“恺甲”空情监视定位系统、美国洛克希德·马丁公司研制的“沉默哨兵”被动探测系统、以色列的EL-L8300和EL-L8388无源定位系统、德国EADS防务电子公司的“FELS快速辐射源定位系统”等[4]。
无源定位从体制上可以分为基于到达角度的定位[5]、基于到达时差的定位[6]、基于到达频率的定位[7-8]和基于多种定位观测量[9]的联合定位。其中，基于到达频差(frequency difference of arrival，FDOA)
1
收稿日期：2018-12-16；修回日期：2019-01-14
基金项目：“高分专项”青年创新基金(GFZX04061502)
作者简介：李明哲(1990—)，男，黑龙江人，博士，从事运动目标无源定位系统研究。
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李明哲等：基于FDOA 的无源定位算法研究现状与展望
第4期 定位具有独特的意义：一方面由于多普勒频差中包
dangerous
含了目标速度的信息，可以通过多个接收机的FDOA 数据快速地获取目标的位置和速度；另一方面，当接收信号为窄带信号[10]、点频信号[11]，或目标为高重频、高机动目标[12]时，TDOA 测量误差很大甚至不能测量，而FDOA 可以精确测量，此时若能仅用FDOA 定位可有效解决这些问题，并且不会出现类似于TDOA 定位的模糊问题[9]。笔者在分析基于FDOA 无源定位问题描述和方法分类的基础之上，梳理了基于FDOA 定位算法的相关研究成果，指出需要进一步解决的问题。
1 基于FDOA 无源定位问题分析
基于FDOA 的无源定位本质上是一个复杂非线性模型的求解问题。以下先从基于辐射源的定位和基于外辐射源2个方面对这一问题进行描述，而后对几种常用的定位算法进行分类分析。 1.1 问题描述
日常生活英语单词FDOA 在基于辐射源的定位和基于外辐射源的定位中具有不同的含义：在基于辐射源定位中，到达频差指2个接收机接收到的目标信号频率差值；在基于外辐射源定位中，到达频差指每个接收机接收到的外辐射源信号频率与目标反射信号频率的差值。基于FDOA 定位原理如图1、图2所示。图1中目标(辐射源)P 的速度为P v ，信号到达接收机R 1和R 2的频率分别为1f 和2f ，两接收机间到达频差FDOA=1f -2f ；图2中外辐射源T 的速度为T v ，目标P 的速度为P v ，外辐射源信号到达接收机R 的频率为T f ，信号经目标到达接收机的频率为P f ，接收机处的到达频差p T FDOA f f =-。在实际定位时，可以通过匹配滤波法或互相关法[13-14]
获得
FDOA 数值。
图1 基于辐射源的FDOA 定位原理
图2 基于外辐射源的FDOA 定位原理
如图1所示的基于辐射源的FDOA 运动目标定位，设在t 时刻，目标P 坐标为(,,)x y z =x 、速度为v ，发射信号波长为λ，接收机R 1坐标为
R1R1R1R1(,,)x y z =x 、速度为R1v ，接收机与目标的距离为R1r ，接收机R 2坐标为R 2R 2R 2R 2(,,)x y z =x 、速度为R 2v ，接收机与目标的距离为R 2r ，则其对应的
FDOA 值可表示[4, 15]为：
严慧晶()()()()()()()()()()()R1R1R1R 2R 2R 21辐射源。t t f t r t t t r t λ⎛--=- ⎝
⎫--⎪⎪⎭
yinjingx x v v x x v v
日本酒文化
(1) 如图2所示的对于外辐射源FDOA 运动目标定
位，设在t 时刻，外辐射源T 坐标为T T T T (,,)x y z =x 、速度为v T ，发射信号波长为λ，接收机R 坐标为
R R R R (,,)x y z =x 、速度为v R ，目标P 坐标为(,,)x y z =x 、速度为v ，目标与外辐射源的距离为T r ，目标与接收机的距离为R r ，则其对应的FDOA 值可表示[16
-17]
为：
()()()()()()()()()()()
R R R T
T
T 1+t t f t r t t t r t λ⎛--=
⎝
⎫
--⎪⎪
⎭
外辐射源。
x x v v x x v v (2)
无论是对于辐射源FDOA 定位还是外辐射源FDOA 定位，每一个到达频差都对应一个目标位置和速度的复杂非线性方程，而这个方程与FDOA 测量值、辐射信号波长、各个接收机(包括外辐射源)位置速度参数和各项系统误差(包括外辐射源与接收机的位置速度误差、FDOA 测量误差等)有着密切的关系。当有多个接收机同时工作(或足够多次的FDOA 测量)时，则可以联立多个以上的非线性方程对目标位置和速度进行求解，进而实现运动目标定位；因此，基于FDOA 无源定位问题的本质就是一
·30·兵工自动化第38卷
个复杂非线性方程组的精确求解问题，其对应的方法称为无源定位算法。
1.2 方法分类
基于FDOA的无源定位体制下，可以根据信号处理方式的不同分为基于定位观测量数据的定位算法和基于接收信号的直接定位法。基于定位观测量的定位算法是在已知各个接收机处FDOA的基础上解算目标位置和速度的方法，其中，FDOA是由各个接收机分别(或单个接收机每次)通过多普勒频率测量或信号处理获得，并传送至中心站计算设备(或在单个接收机)上进行定位计算。基于接收信号的直接定位法[18]是指将各接收机或接收机各次接收的信号经过预处理后，统一传输至中心站处理设备上或在单个接收机上进行处理，并借助FDOA为中间变量而得到目标位置的定位算法。
目前，仅用基于FDOA的定位算法仍处于起步阶段，这主要是由于FDOA观测方程非线性很强，使得定位求解的问题变得困难。基于此，笔者将分别按照2种不同定位算法进行综述，介绍和比较不同定位算法的优点和不足。
2 基于FDOA的定位算法研究现状
基于定位观测量的定位算法是在已知FDOA的情况下对目标位置和速度进行解算，具体方法可分为搜
索法、迭代法和解析法；基于接收信号的直接定位法主要工作为对已知波形或未知波形接收信号的处理，直接解算目标定位参数。我爱我的祖国演讲稿
2.1 基于定位观测量数据的定位算法
2.1.1 搜索法
搜索法是通过网格划分或智能算法等手段对定位结果进行全局搜索的方法。
1) 网格划分搜索是一种通过全局采样来寻找最优定位解的方法。Y. T. Chan等[19-20]基于多普勒频率和多普勒频率变化率数据，先采用网格搜索的方法来解算目标位置，再基于目标位置采用分类算法得到目标的运动状态。此外，Y. T. Chan[21]还在接收信号信噪比较高的情况下提出一种1维的网格搜索方法，减小了网格搜索的计算量。Y. Kalkan和B. Baykal[22]在Y. T. Chan研究的基础上，将网格划分搜索方法应用于分布式MIMO雷达系统中，指出网格划分越密、发射机和接收机数量越多，则定位结果越准确。张威等[23]则对网格搜索进行了改进，提出了一种最大似然的分步网格搜索方法。其主要思想如图3所示，首先划分网格并计算每个网格交点处FDOA与测量值的差异，得到最大似然的交点后，再减小搜索区域，对局部进行相同的网格划分，然后重复利用以上方法，最后求得满足精度要求的定位结果。该方法求解过程简单，速度较快，但每次网格划分的稠密情况直接影响到该方法是否会陷入局部最优解，网格区域大小的选取无法找到合适的指标。
图3 分步网格搜索原理
2) 智能算法也是一种全局搜索的方法，通过使用和改进智能算法来求解最优定位解，主要包括神经网络、遗传算法、粒子群算法和差分进化算法等。例如：Youngwook Kim等[24]针对以往搜索方法中对初始估计要求较高的问题，提出采用神经网络的方法估计目标定位参数，该项工作取得了DARPA 和海洋研究局(ONR)的支持；曹爱华等针对定位精度不高的问题[25-26]，将差分进化和遗传算法结合起
gentoo
来，在每一代个体进化过程中，先对部分群体进行遗传变异操作，然后对整个群体进行差分进化操作。目前关于智能算法搜索法的相关文献相对较少，这与智能算法计算量大和易陷入局部最优解有关。
综上所述，搜索法的主要优势是原理简单、实现容易，且只要网格设置得足够小、智能算法的个体数和代数足够多，理论上总能找到满足要求的全局最优解，但缺点是计算量大、计算时间长以及计算效率与定位解算精度之间不可调和的矛盾，特别是随着目标问题的复杂程度增加，其效率难以得到保证。
2.1.2 迭代法
迭代法是根据已有的数学物理公式，迭代计算以趋近于真值的重复过程，理论上最后结果可以无限逼近于真实值。
很多学者通过泰勒级数展开(Taylor ries expansion)对定位方程组进行线性近似，再采用迭代算法对目标进行定位。Klaus Becker[27]采用BFGS 算法迭代解算目标定位信息，计算和分析了AOA、FDOA以及AOA与FDOA联合定位效果。Y. T. Chan
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李明哲等：基于FDOA 的无源定位算法研究现状与展望
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第4期 等[28]提出首先用2维网格搜索技术来获得多普勒频
率数据，再通过联合3个或以上接收机得到的多普勒频率，采用Levenberg -Marquard (LM )算法来实现目标的连续定位。郭艳丽等[29]则是应用LM 算法的改进型Levenberg -Marquardt -Fletcher (LMF )算法，实现固定目标的定位。Gauss -Newton 算法是一种定
位解算中最常用到的算法[30-31]，算法流程如图4所示：首先根据经验选定初始值X 0，然后对定位方程组进行泰勒级数展开，并忽略其中包含2阶以上误差的项，得到线性化的定位方程组，再计算定位参数的修正量ΔX ，最后判断偏差是否满足定位精度的需求，若满足则退出迭代，否则重复以上步骤。以上方法都应用泰勒级数展开近似，再通过不同的迭代方法进行求解，也统称为迭代泰勒级数法。
图4 Gauss -Newton 算法流程
张威等[32]在迭代泰勒级数方法基础上着重考虑了地球表面目标存在的球面约束条件，所采用求解思路与李金洲不同。他将每次定位方程组泰勒级数展开的计算结果作为初始值代入地球表面约束方程的泰勒展开式中，用来对定位结果进一步修正，迭代直至满足设定的收敛阈值，即达到一定的定位精度。Ashkan Kalantari [33]开展了基于卫星接收的到达频率对地面干扰源定位的研究，并分析仿真结果，指出增加FDOA 定位方程组方程个数和接收卫星的运行速度，可以分别提高80%和95%的干扰源定位精度。
此外，还有学者采用卡尔曼滤波(Kalman filtering )的方法对非线性定位方程进行定位解算。该方法本质上也是一种迭代求解最优解的方法，不同的是该方法采用时间上的迭代，即通过对多个连续时刻的数据来计算当前和下一时刻的目标位置和速度。刁鸣等[34]研究了以电视信号作为外辐射源，
应用扩展卡尔曼滤波(EKF )进行定位解算的方法，该方法具有一定消除噪声影响的效果，可以实现定位时间小于2 s ，定位精度小于2%。但是EKF 依赖于初始状态估计，存在稳定性差且不容易收敛的问题[35]，田由甲等[36]将修正增益的扩展卡尔曼滤波算法(MGEKF )[37]应用到基于FDOA 的定位解算中，来减弱模型误差对定位效果的影响，提高了定位精度和收敛速度，并通过计算定位精度的几何稀释(geometrical dilution of precision ，GDOP )也称作简化的定位精度，分析了目标处于不同空间位置
时的定位误差分布情况。William H. Wellman 等[38]应用迭代卡尔曼滤波方法，用至少2个分开的传感器获得的FDOA 作为状态变量，并剔除最大误差的测量结果，确定了目标位置和速度。
近年来，一种基于凸优化问题求解的半正定松弛算法(mi definite relaxation ，SDR )发展了起来。
肖扬灿等[39-40]从FDOA 定位的可行性方面开展了相关研究，随后，杜彦伸在其研究的基础上，在接收机静止和运动的条件下，分别提出了一种直接半正定松弛定位算法[41]和一种差分半正定松弛定位算法[42]。这类方法舍弃“秩一约束”，将定位解算问题转化为凸优化松弛问题，再通过SeDuMi [43]或SDPT3等[44]成熟的凸优化求解算法即可解算目标的位置和速度参数，具有定位解算精度高、计算速度较快和计算稳定性较强的特点。但是，该SDP 算法需要初始估计来解决优化问题，如果初值不够准确，则会使得性能下降[45]。
总的来说，迭代法计算得到的结果可以具有很高的精度，其计算量依赖于定位精度的要求和迭代次数的选择，然而其计算量总的来说要远低于搜索法，但该方法最大的难题是迭代初值的选取问题，如果初值选取得不好将会陷入局部最优解中，产生定位偏差，严重影响定位精度。
2.1.3 解析法
解析法是应用数学物理公式，进行一定近似和假设的求解方法。需要说明的是，由于定位方程组是非
线性的，本质上并没有真正的解析方法，但Chan 通过大量仿真发现[46]：虽然通过迭代的方式应用加权最小二乘法可以得到更优解，但只经过一次加权最小二乘法就可以求得足够准确的解，在此基础上，再应用一次加权最小二乘法对参数进行去相关，即可得到无偏的定位解。这就是经典的解析法——两步加权最小二乘法(two -stage weighted least
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squares ，2SWLS )。
李金洲等[47-49]对基于FDOA 的2SWLS 定位算法进行了较为深入的研究。他们分别研究了存在球面约束和不存在球面约束情况下的定位算法：存在球面约束情况下，引入拉格朗日算子，并应用线性修正的最小二乘方法先计算得到拉格朗日算子的值，然后使用Gauss -Newton 方法解决了接收机位置误差的问题；无约束条件下仅用FDOA 定位时，提出了一种考虑接收站位置误差下基于泰勒级数展开近似的定位算法，并在理论上证明了该方法的定位精度能够达到CRLB 。
相较于前2种方法，解析法的优点是计算速度快，且没有迭代法的局部最优解问题，但由于其计算过程中不可避免地忽略了一些限制条件和已知误差，因此定位结果往往存在一定的偏差。
2.2 基于接收信号的直接定位法
基于接收信号的直接定位法在本质上是一种信号处理的方法，相关研究较少。由于传统的定位算
法未考虑目标位置的影响，
A. Amar 和A. J. Weiss [50]提出了基于多普勒频移的直接定位法，该方法无需先估计FDOA 值，而是直接对接收信号进行处理并解算定位参数。设接收信号形式如下：
,2,,,()()e
(),0l k j f t
l k l k k l k r t b s t w t t T π=+≤≤。
(3)
式中：,()l k r t 为第l 个接收机获得的第k 个[]0,T 时间段的信号；,l k b 为当前的路径衰减；()k s t 为这一时间段信号的信号包络；,()l k w t 为高斯白噪声信号；,l k f 为接收到的信号频率且有
()(),,=1l k c k l k f f v μ++。
(4)
式中：c f 为发射信号的固有频率；k v 为发射机自身的频率偏差；,l k μ为多普勒频移。由于实际中，常有,1l k μ 和k c v f ，故式(4)可以简化为
,,=l k k c l k f v f μ+。
(5)
对第k 个[]0,T 时间段采样，设采样点个数为N ，采样间隔为/(1)s T T N =-，则可以将式(3)改写
为矢量形式如下：
,,,,l k l k l k k k l k b =+r A C s w 。
(6) 式中： T
,,,=(0),,(1)l k l k l k r r N ⎡⎤-⎣⎦ r ； (7)
{
},,22(1),=diag 1,e
,,e
c l k s
c l k s
j f T j f N T l k μμππ- A ；
(8)
{}
22(1)=diag 1,e ,,e k s k s j v T j v N T k ππ- C ；
(9) []T
=(0),,(1)k k k s s N - s ；
(10)
多元智能T
,,,=(0),,(1)l k l k l k w w N ⎡⎤-⎣⎦ w 。
(11)
设,l k w 中各项均为方差2
n σ的独立高斯白噪声，
则定位问题可转化为求解以下最大似然函数的极值问题，从而不需单独对FDOA 进行估计。
2
,,,211
1
K L
l k l k l k k k
k l n
L b σ===-
-
∑∑
r A C s 。 (12)
A. Amar 对已知波形和未知波形2种情况进行
了研究，在窄带信号情况下，得到了比基于定位观测量数据定位算法更高的精度。郁涛[51]将基于多普勒频移变化率的直接定位法应用于声纳系统中，给出了利用单个声纳浮标对水下匀速运动目标的定解公式。与已有的必须检测到达航路捷径点时间和频率的方法相比，该方法仅通过对频率的连续3次测量得到频率变化率，即可以计算匀速运动目标的速度矢量和径向距离并定位目标。
pin是什么意思
基于FDOA 的直接定位法以FDOA 为中间变量，直接通过信号处理得到目标位置(速度)，过程中不需先估计FDOA 值，进而免去了估计FDOA 过程中引入的误差，提高了整体的抗噪性能。缺点是需要将各个接收机(或各个时刻)的接收信号全部传输到中心处理设备进行集中处理和计算，对通信和计算能力的需求很高，并且在传输过程中还可能带来附加噪声。
3 问题分析与研究展望
从上述的研究成果可以看出：国内外研究人员在理论和应用方面做了一定的研究，并取得了一些成果。基于定位观测量的搜索法、迭代法、解析法和基于接收信号的直接定位法受到实际中先验条件、
误差大小、硬件设备性能等多方面的影响很大，各种方法有不同的优缺点，工程中需要根据具体定位问题选择合适的方法。
但从基于FDOA 的无源定位算法总体上分析，其相关研究仍相对较少，还存在深入研究的问题，主要包括：
1) 线性化方法的研究。
由于FDOA 与目标位置、运动状态的关系表达式较为复杂，无论是搜索法、迭代法和解析法3种定位算法还是直接定位法，都需要通过对非线性变量泰勒级数展开进行线性化处理，通过忽略2阶误
