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第四章 导数的应用
§7 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍 7.1 函数变化率——边际函数 设函数
()x f y =可导，其导函数()x f '也称为边际函数（marginal function ），记为()x Mf ，即
()()x f x Mf '=.
差
商
()()x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆００称为函数
()
x f 在
()
x x ,x 00∆+（或
()
00x ,x x ∆+）内的平均变化率（average rate of change ），它表示在
()
x x ,x 00∆+（或
()00x ,x x ∆+）内
()x f 的平均变化速度.
函数
()x f 在点
初一英语视频
x x =处的导数
()0x f '称为()x f 在点0x x =处的变化率，也称为()x f 在点
0x x =处的边际函数值，记为()0x Mf ，即()()00x f x Mf '=.它表示函数()x f 在点0x x =处的
变化速度. 由于
()x x f dy y 0∆'=≈∆，当1x =∆时，()0x f y '≈∆.这说明()x f 在点0x x =处，当自变量x 产生一个单位的改变时，因变量y 近似改变()0x f '个单位.以后，在应用问题中解释边际函
金融英语数值的具体意义时我们略去“近似”二字（即直接说成“
()
x f 在点
x x =处，当自变量
x
产生一个单位的改变
时，因变量
y
改变
()
0x f '个单位”）.
下面介绍几种常见的边际函数：
7.1.1 边际成本
设总成本函数（total cost function ）为
()()
x C C x C 10+=，其中
x
为产量，
0C 为固定成本，
()x C 1为可变成本.则平均成本函数（average cost function ）为()()()x
x C C x x C x C 10+==，
边际成本函数（marginal cost function ）为
()x MC ()()[]()x C x C C x C 1
10'='+='=. 【Note 】显然，总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数；总成本、平均成本都与固定成本有关，而边际成本只与可变成本有
关，与固定成本无关.
由于
()()()()()[]x C x C x
1
x x C x x C x C 2-'=-'='
()()[]x C x MC x
1
-=，令()0
x C ='，可得
()C
x MC =，因此产量水
平满足平均成本等于边际成本这个条件时，平均成本最低.
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边际成本（marginal cost ）为总成本的变化率，
()0x C '称为当产量为0x 时的边际成本，记为()0x MC ，它表示当产
量达到
x 时，生产
x 个单位前最后一个单位（即第
strip
x 个单位）产品所增加的成本，或生产
x 个单位后增加的那个
单位（即第
1
x 0+个单位）产品所需的成本.
Example p.97） 设总成本函数()100
x 30x 2.0x 001.0x C 2
4
+++=，求边际成本函
数和
20
x =单位时的边际成本，并且解释后者的经济意义.
解 边际成本函数为()()x C x MC '= 30x 4.0x 004.03
++=，20x =时的边
际成本()30204.020004.020MC 3
+⨯+⨯= 70=，它表示的是生产第20个或第21个单位产品时所花费的成本为70.
Example p.97） 某工厂日产能力最高为
1000吨，每日产品的总成本C （单位：元）是日产量q （单位：吨）的函数
()q 50q 71000q C ++=，
[]
1000,0q ∈.求①生产
100
吨总成
本及每吨成本.②由生产100吨改变到
zero是什么意思225吨时，总成本的平均变化率.③当日产量100
吨时，总成本的变化率. 解
①
当
日
产
量
100
吨时，
总
成
本
为
()2200
1005010071000100C =+⨯+= （元）.平均成本为
()()100100C 100C = 22100
2200
==（元/吨）.
②如果q 由100
改变到225，则
125
100225q =-=∆（吨），而与此相
应
的
总
成
本
的
增
量
为
C
∆
()()112522003325100C 225C =-=-= (元).于是总成本的平均变化
率为
9125
1125
q C ==∆∆（元/吨）.
③
()()q
25
7q C dq q dC +='=，所以
()5
.9100
25
surges7100C =+='（元/吨），它表示日产量为
100
吨时，总成本的变化
率.
7.1.2 边际收益
设总收益函数（total revenue function ）为
()
x R R =，其中
x1636
为产量.则平均收益函数（average revenue function ）
为
()()x
x R x R =
，它表示在产量为
x
的水平时每生产（或出售）单位产品所得到的收入，即单位商品的售价.边际
收益函数（marginal revenue function ）为()
x R MR '=，它表示在产量为
x
的水平时，再生产（或出售）一个单
位产品所得到的收入. 如果用
P
表示商品价格，
Q
表示商品量（销量），价格
P
可以表示为商品量
Q
的函数
()
Q f P =，则总收益
函
数为
()()
Q f Q P Q Q R ⋅=⋅=，平均收
益
杭州服装设计学校函
数为
()()()P Q f Q
Q f Q Q R Q R ==⋅==，而边际收益函数为
()()()[]
'
⋅='=Q f Q Q R Q MR
()()()()Q R Q Q R Q f Q Q f '⋅+='⋅+=.
Example p.98） 设某种产品的价格P 与销售量
Q 的关系是20
Q
10P -=（元），求销售量分别为80和
八上英语单词表
150
单位时的边际收益.
解 总收益函数为
()Q 20Q 10Q P Q R ⎪⎭⎫ ⎝
mester是什么意思⎛
-=⋅=
20
Q Q 102
-=.边际收
益函数为
()Q MR
()10Q
1020Q Q 10Q R 2
-
='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='=.
销售量为
80和
150
单位时的边际收益分别是
()2
10
80
1080MR =-=（元/单
位），
()1015010150MR -
=
5
-=（元/单位）.
【Note 】从Example
80，再多销售一个单位产品，将增加
2
元的收入；销售量为
150
单位时，再多销售一个单位产
品，将减少5
元的收入.因此，可以根据边际收益来确定在某个销售水平时，再销售产品是否在经济上合算.
7.1.3 边际利润 设总成本函数为
()x C ，总收益函数为()x R ，则总利润函数（total profit function ）为()()()x C x R x L -=，
其中x 为产量.平均利润函数（average profit function ）为
()()()x C x R x L -=，边际利润函数（marginal profit
function ）为
()()()()()()x MC x MR x C x R x L x ML -='-'='=，即边际利润为边际
收益与边际成本之差.
Example p.99） 某工厂每月生产
x 百吨的总成本函数为
()x C
3
2
x 31x 7x 11140+-+=（万
元），而得到的总收益为()2
x x 100x R -=（万元）.试求产量为
1000
吨时的边际成本、边际收益与边际利
润. 解
边
际
成
本
函
数
为
()()x C x MC '=
232
x x 14111x 31x 7x 11140+-='
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+=，边际收益函数为
()()x R x MR '= ()
x 2100x x 1002-='-=，而边际利润函数为
()()()x MC x MR x ML -=
()()11x x 12x x 14111x 21002
2--=+---=.当1000x =吨，即10x =百吨时，边际成本为()7110101411110MC 2=+⨯-=（万元），边际收益为
()
10MR
80
102100=⨯-=（万元），边际利润为
()()()718010MC 10MR 10ML -=-= 9=（万元）.
dash
【Note 】 由Example 10
，边际收益大于边际成本，即边际利润大于零，此时再增加一百吨产品，收入将增加
80
万元，而
成本只增加
71
万元，也就是将获得利润
9
万元，因此，当产量为
10
百吨时，再增加产量是合算的.
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一般地，如果边际收益大于边际成本，即
()
x MR ＞
()
x MC ，边际利润
()()()x MC x MR x ML -=＞0，那么增加产量是可获利的；反之，如果边际收益小于边际成本，即()x MR ＜()x MC ，边际利润()()()x MC x MR x ML -=＜0，那么再增加产量就
要减少利润甚至亏本了.因此可以想象出，企业的最优产量（即获取最大利润的产量）应当是边际收益等于边际成本时的产量. 7.1.4 边际需求
消费者对某种商品的需求是多种因素决定的，商品的价格是影响需求的主要因素，如果不考虑诸如消费者的收入情况、其他代用品的价格等影响需求的因素，那么需求量
Q 就可以表示为价格
P
的一元函数
()P f Q =.
边际需求（marginal demand ）是需求量
Q
对价格
P
的导数，即边际需求
()P f MQ '=. 一般来说，需求函数
()
P f Q =是单调减少函数，因此边际需求
()P f MQ '=＜
.
这样，在价格的某个
水平
0P P =处，如果再提价一个单位，需求将减少()0P f '个单位.
Example p.100） 若需求函数8P 10Q 2-=，则边际需求为4
P
Q MQ -='=.当8P =时，
2MQ 8P -==，它表示价格8P =时，若价格提高（降低）一个单位时，需求将减少（增加）2个单位.
7.2 函数的弹性
在经济生活中，不仅需要研究经济指标（变量）的绝对变化，而且需要研究它们的相对变化. Example p.100） 有两种商品，第一种商品的价格为
10元/单位，第二种商品的价格为
200元/单位，如果这两种商品的价
格都上涨了2
元，则第一种商品的价格相对上涨了%
20，第二种商品的价格相对上涨了%
1.虽然这两种商品价格的
绝对增量是相同的，但对消费者而言，容易接受第二种商品的涨价，而不容易接受第一种商品的涨价. Example p.100） 商品的需求量
Q
是价格
P
的函数，一般情形
Q 是
P
的递减函数.当商品价格为
P 时，销售商为了
获取更大的收益，打算提升%
1，这时，需求量减少的百分数显得格外重要.如果这个百分数过大，即需求量对价格过于敏感，就有可能由于提价而使得销售商的收益减少，在这种情况下，必须考虑提价是否合适.这里涉及的就是函数的相对增量和函数的相对变化率问题.
设
y 是x 的函数()x f y =，则称()()x f x x f y -∆+=∆为函数在点x 处的绝对增量（absolute increment ），而称x ∆为自变量在点x 处的绝对增量.称
()()()x f x f x x f y y -∆+=∆为函数在点x 处的相对增量（relative increment ），称
x x ∆为自变量在
点x
处的相对增量. Definition 4.8（See p.101） 设函数
()
x f y =在点
x
处可导，如果函数相对增量与自变量相对增量之比的极限
