２０２０年１２
月第５５卷 第６期
＊广东省深圳市南山区学苑大道１０８８号南方科技大学地球与空间科学系，５１８０５５。Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｎｇｗｅｉ＠ｓｕｓｔｅｃｈ．ｅｄｕ．ｃｎ本文于２０２０年５月４日收到，最终修改稿于同年９月１６日收到。
本项研究受国家重点研发计划项目“宽频带地震动全过程数值模拟预测技术和关键因素研究”（２０１８ＹＦＣ１５０４２０４）
、国家自然科学基金项目“粤港澳大湾区地震灾害主动防御关键技术研究”（Ｕ１９０１６０２）
、深圳市科技计划项目“深圳市深远海油气勘探技术重点实验室项目”（ＺＤＳ
ＹＳ２０１９０９０２０９３００７８５５）和“深海深地资源探测技术系统研发”（ＫＱＴＤ２０１７０８１０１１１７２５３２１）联合资助。·地震模拟·
文章编号：１０００－７２１０（２０２０）０６－１２７１－
１１复频移完全匹配层在复杂速度模型中的应用
杨茜娜① 张 伟＊②③
（①中国科学技术大学地球和空间科学学院，
安徽合肥２３００２６；②南方科技大学地球与空间科学系，广东深圳５１８０５５；③南方科技大学深圳市深远海油气勘探技术重点实验室，广东深圳５１８０５５
）杨茜娜，张伟．复频移完全匹配层在复杂速度模型中的应用．石油地球物理勘探，２０２０，５５（６）：１２７１－１２８１．摘要 地震波数值模拟中因离散网格空间大小有限，
导致计算模型最外层时易产生虚假反射。完全匹配层（ＰＭＬ）方法可有效吸收虚假反射，其中复频移完全匹配层（ＣＦＳ－ＰＭＬ）的吸收效果尤为突出。但前人针对ＣＦＳ－ＰＭＬ参数优化取值问题的研讨大多是基于均匀速度模型，
而实际模拟中面临的更多是具有强非均匀性的复杂模型。为此，基于均匀速度模型参数选取方法，对复杂速度模型的ＣＦＳ－ＰＭＬ参数设置进行了探究。认为参数
kbo
的设置除了与震源和网格性质有关外还同吸收层内的速度值和波长相关，即高度依赖于速度模型；对于复杂速度模型，参数设置的关键在于参考速度的选取，并给出了参考速度的三种实用选取方法。通过对双层、多层及Ｍａｒｍｏｕｓｉ模型进行测试和吸收效果对比，明确了“统一设置为边界介质速度中间值”为最佳的参考速度选取方法，进而总结出完整的复杂速度模型ＣＦＳ－ＰＭＬ优化参数设置方法。关键词 数值模拟 复频移完全匹配层 参数设置 复杂速度模型
中图分类号：Ｐ６３１ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．１３８１０／ｊ
．ｃｎｋｉ．ｉｓｓｎ．１０００－７２１０．２０２０．０６．０１３０ 引言
完全匹配层（Ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒ，ＰＭＬ）被广泛应用于波动传播的数值模拟，以解决数值模型
的边界吸收问题。其初期应用是Ｂéｒｅｎｇ
ｅｒ［１］
在计算电磁学领域提出的一种有效吸收的边界条件。由于ＰＭＬ具有吸收效果好、适用范围广的特点，Ｃｈｅｗ
等［２］将其引入地震波数值模拟。此后，ＰＭＬ在地震
波模拟中被广泛应用［
３－
７］。后续研究发现ＰＭＬ对掠射到吸收层的虚假反射的吸收效果欠佳。在计算电磁学领域，为了增强
对掠射波和非均匀波的吸收效果，Ｋｕｚｕｏｇ
ｌｕ等［８］
提出将ＰＭＬ在复数域的坐标拉伸方程的极点移到非
零区域。在计算地震学领域，Ｆｅｓｔａ等［５］
将基于复频
移的ＰＭＬ应用于地震波数值模拟，证实这样可提
高掠射波的吸收。Ｒｏｄｅｎ等［９］
将这种ＰＭＬ的改进
形式命名为复频移完全匹配层（Ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ－ｓｈｉｆｔｅｄ
ＰＭＬ，ＣＦＳ－ＰＭＬ）。在此基础上，近年也有不少学者对已提出的
ＰＭＬ方法进行对比和改进［１
０－
１２］。李佩笑等［１０］对比分析了非分裂与分裂两种实现方法；廉西猛等［１１］
研讨了多种吸收方式的异同；Ｌｉｕ等［１
２］
剖析了影响衰减的各因子。为了在地震波数值模拟程序中应用ＣＦＳ－
ＰＭＬ，人们研发了多种具体实现形式，包括卷积法ＰＭＬ（Ｃ－
ＰＭＬ）［９，１３］、积分法［１４］
、Ｚ变化法［１５］和辅助微分方程法（ＡＤＥ ＣＦＳ－
ＰＭＬ）［１６－
１７］等。其中ＡＤＥ ＣＦＳ－ＰＭＬ将ＣＦＳ－
ＰＭＬ转换成偏微分方程，可使用与内部相同的数值格式求解，具有实现简单、非分裂形式、不依赖于时间积分格式等优点，获得广
泛应用［
１６－
１７］。实际应用ＣＦＳ－ＰＭＬ需合理设置三个参数：衰减参数ｄ、
频移参数α和坐标实拉伸参数β。ｄ是地震波在ＰＭＬ传播中最主要的衰减因子，表征地震波在ＰＭＬ内传播时的振幅和能量衰减。α使ＰＭＬ
的衰减变成与频率相关，即低频（频率小于α）
是衰减
１２７２
石油地球物理勘探２０２０年
弱→不衰减，高频（频率大于α）是正常衰减。该参数使ＣＦＳ－ＰＭＬ对地震波传播的作用类似于低通滤波器。α的引入尽管破坏了标准ＰＭＬ对所有频段都相同吸收的优异性能，但实际模拟中发现该参数可降低掠射波入射到ＰＭＬ界面时产生的非均匀波［９，１３］。补偿该参数对低频吸收的破坏的一种方案是采用双极点ＣＦＳ－ＰＭＬ［１８－１９］。β使垂向空间长度拉伸β倍，等效于长度不拉伸、但介质变成垂向ＶＴＩ，使掠射波在ＰＭＬ中波前面向界面法线方向弯曲，增大方程中的角度项，增强掠射波吸收效果［１９］。
ＣＦＳ－ＰＭＬ的参数设置包括两个方面：一是参数沿ＰＭＬ的变化形式，即空间分布；二是参数在最内或最外层的最大值。前人对ｄ提出过多种空间分布（函数）形式，如幂函数［３，１３，１６，２０－２１］、对称函数［２２］、正余弦函数［２３－２４］、复合函数［２５－２６］等形式。α、β的空间分布以幂函数形式为主［１３，１６］。
衰减参数最大值ｄ０的取值本质上取决于预期最小反射系数Ｒ，通常采用Ｃｏｌｌｉｎｏ等［３］给出的经验设置。Ｆｅｓｔａ等［５］给出频移参数最大值取值公式α０＝πｆｃ，其中ｆｃ是震源子波中心频率。Ｚｈａｎｇ等［１６］指出β０可允许坐标拉伸后中心波长对应的每波长网格数降为色散误差允许的每波长网格数的一半。
以上各参数的最大值都是基于均匀速度模型设置的。复杂速度模型存在横向和纵向速度变化，对衰减起关键作用的参数ｄ０与吸收层内速度值相关；在复杂速度模型情况下，是按每个点速度值估算参数最大值，还是在整个吸收层按统一参考速度设置衰减参数最大值，尚难觅相关文献报道及对此的系统评估。本文充分调研了复杂速度模型ＣＦＳ－ＰＭＬ参数设置方法，通过对多种复杂速度模型做数值测试，总结出复杂速度模型ＣＦＳ－ＰＭＬ优化取值方案，为ＣＦＳ－ＰＭＬ的实际应用提供参考。
１ ＣＦＳ－ＰＭＬ公式形式和参数取值
１．１ ＡＤＥ ＣＦＳ－ＰＭＬ实现形式
从ＣＦＳ－ＰＭＬ的各种实现方式看，ＡＤＥ ＣＦＳ－ＰＭＬ具有适用于各种时间积分法的优势，本文以ＡＤＥ ＣＦＳ－ＰＭＬ为例介绍ＣＦＳ－ＰＭＬ的实现［１６］。
ＡＤＥ ＣＦＳ－ＰＭＬ主要思想是在吸收边界内对弹性波动方程进行复坐标的拉伸变换，通过引入辅助变量对吸收层内的弹性波动方程做修正从而达到吸
收的目的。下面仅以＋ｘ方向为例进行说明。将实坐标ｘ变换为复坐标珟ｘ，两者间的变换方式为
珟ｘ＝∫ｘ０ｓｘ（η）ｄη（１）式中：ｓｘ（η）表示拉伸方程；η表示ｘ方向积分变量。
不同的拉伸方程对应不同类型的ＰＭＬ。对式（１）等号两边分别求导可得复坐标下的空间导数与实坐标下的空间导数的关系
珟ｘ
＝
１
ｓｘ
ｘ
（２）以二维Ｐ－ＳＶ波波动方程为例，方程如下
ρｖｘ，ｔ＝τｘｘ，ｘ＋τｘｚ，ｚ （３）
ρｖｚ，ｔ＝τｚｘ，ｘ＋τｚｚ，ｚ（４）
τｘｘ＝（λ＋２μ）ｖｘ，ｘ＋λｖｚ，ｚ（５）
τｚｚ＝λｖｘ，ｘ＋（λ＋２μ）ｖｚ，ｚ（６）少年中国说原文翻译
τｘｚ＝μ（ｖｘ，ｚ＋ｖｚ，ｘ）（７）式中：ρ是密度；λ、μ是拉梅常数；ｖｘ、ｖｚ为时间域速度分量；τｘｘ、τｚｚ、τｘｚ为时间域应力分量，下标中逗号后的ｔ、ｘ、ｚ表示对ｔ、ｘ、ｚ的导数。以式（３）为例，将拉伸方程代入得到
ｉωρ＾ｖｘ＝１
ｓｘ
ｘ
＾τｘｘ＋
ｚ
＾τｘｚ（８）
式中：ω是角频率；＾ｖｘ是频率域速度分量；＾τｘｘ、＾τｘｚ是频率域应力分量。不同的拉伸方程对应不同类型ＰＭＬ，对于ＣＦＳ－ＰＭＬ，其辅助方程为
ｓｎ＝βｎ＋
ｄｎ
αｎ＋ｉω
＝βｎ
１＋
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ｄｎ
βｎ
αｎ＋ｉ
熿
燀
燄
燅
ω
（９）
雨声像什么１
ｓｎ
＝
１
βｎ
１
１＋
ｄｎ
βｎ
αｎ＋ｉω
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１
βｎ
１－
ｄｎ
βｎ
αｎ＋ｉω＋
ｄｎ
β
熿
燀
燄
燅
ｎ
（１０）
式中ｎ表示ｘ、ｙ和ｚ中的一个方向，则ｄｎ、αｎ、β
ｎ
分别是对应方向上的衰减参数、频移参数和坐标实拉伸参数。以下简述ＡＤＥ方法实现方式。
式（８）等号右侧代入拉伸方程后的微分项为
１
ｓｘ
＾τｘｘ，ｘ＝１
βｘ
＾τｘｘ，ｘ－１
βｘ
ψ＾τｘｘｘ（１１）其中辅助变量ψ＾τｘｘｘ满足方程
ｄｘ
βｘ
＾τｘｘ，ｘ＝ｉωψ＾τｘｘｘ＋αｘ＋
ｄｘ
β
（）
ｘ
ψ＾τｘｘｘ（１２）将式（１２）代入式（８），可得
第５５卷 第６期杨茜娜，
等：复频移完全匹配层在复杂速度模型中的应用１
２７３ ｉωρ＾ｖｘ＝１βｘ ｘ＾τｘｘ＋ ｚ＾τｘｚ－１β
旁蒂克ｘψ＾τｘｘｘ
（１３）将式（１１）和式（１２）
从频率域转换到时间域，就得到了辅助方程ＣＦＳ－
ＰＭＬ方程ρ
ｖｘ，ｔ＝τｘｘ，ｘ＋τｘｚ，ｚ－１
β
ｘ
－（）１ψτｘｘ
ｘ（１４
）ψτｘｘ，ｔｘ＋αｘ＋ｄｘβ（）
ｘψτｘｘｘ
＝ｄｘβ
ｘτｘｘ，ｘ（１５） 将以上方法用于整个一阶速度—应力方程组就是ＡＤＥ ＣＦＳ－ＰＭＬ的实现方式。１．２ ＣＦＳ－
ＰＭＬ性质分析以沿＋ｘ方向传播的行波（ｔｒａｖｅｌｉｎｇ
ｗａｖｅ）、非均匀波（ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ ｗａｖｅ）两类平面地震波为例，通过二维平面（ｘ，ｚ）波动方程的传播具体分析地震波在ＰＭＬ中的传播和衰减特性。行波可表示为
ｕｔ＝ｕｔ
０
ｅｘｐ［ｉωｔ－ｉ ｋ（＾ｘｃｏｓθ＋ｚｓｉｎθ）］（１６）式中：θ表示行波入射角；ｕｔ
０为行波初始时刻振幅，
上标ｔ表示行波。
平行于介质—ＰＭＬ下界面传播，沿界面法线方向衰减的非均匀波可表示为
ｕｅ
＝ｕｅ
０
ｅｘｐ（－ωξ
珟ｘ）ｅｘｐ（ｉωｔ－ｉ ｋｚ）（１７）式中：ξ是依赖于介质的参数；
ｕｅ
０为非均匀波初始时刻振幅，上标ｅ表示非均匀波。基于式（１）做变换，其实部和虚部分别表示为珘ｘＲ和珘ｘＩ，
即珟ｘ＝∫
ｘ
０
ｓｘ（η）ｄη＝珟ｘＲ＋ｉ珟ｘＩ（１８
）将式（１８）代入式（１
６），则可转化为ｕｔ＝ｕｔ
０
ｅｘｐ（ｋ珟ｘＩｃｏｓθ）ｅｘｐ［ｉωｔ－ｉ ｋ（珟ｘＲｃｏｓθＲ＋ｚｓｉｎθ）］（１９
）再将式（１８）代入式（１７
），可转化为ｕｅ＝ｕｅ
０ｅｘｐ（－ωξ珟ｘＲ）ｅｘｐ（ｉωｔ－ｉωξ
珟ｘＩ－ｉ ｋｚ）（２０
） 从式（１９）、式（２０）可知，复坐标拉伸的虚部珟ｘＩ使行波衰减、实部珟ｘＲ使非均匀波衰减
［１８，２７－
２９］。ＣＦＳ－
ＰＭＬ复拉伸方程对应的实部和虚部分别是珟ｘＲ＝∫ｘ
０β＋αｄα２＋ω（）
２ｄη
（２１）珟ｘＩ＝－∫
ｘ
０ωｄα２＋ω
２ｄη（２２）行波和非均匀波在ＣＦＳ－
ＰＭＬ中的方程分别是ｕｔ
＝ｕｔ
０
ｅｘｐ－ｃｏｓθｖ∫
ｘ０ω２
ｄα２＋ω２ｄ（）
η× ｅｘｐ ｉωｔ－ｉ ｋｃｏｓθ∫ｘ
０β＋α
ｄα２＋ω（
）
２ｄη
－ｉ ｋｚｓｉｎ［
］
θ（２３） ｕｅ＝ｕｅ
０ｅｘｐ（－ωξ
ｘ）× ｅｘｐ ｉωｔ＋ｉξ∫ｘ０ω２
ｄα２＋ω２ｄη
－ｉ（）
ｋｚ×ｅｘｐ－ωξ∫
ｘ０
β－１＋α
ｄα２
＋ω（）２
ｄ［］η（２４
） 从式（２３）、式（２４）易知，ＣＦＳ－
ＰＭＬ存在相应的虚部对行波衰减、相应的实部对非均匀波衰减，吸收效果大大提升。
１．３ 均匀速度模型ＣＦＳ－
ＰＭＬ参数取值由于参数的空间分布形式对结果影响不大，这
里采用最常用的幂函数形式［
１６，２０］ｄ＝ｄ０
Ｄ
（）Ｌ
ｐｄ
（２５
）α＝α０
１－Ｄ
（）Ｌ
ｐ［］α
（２６）β＝１＋（β０
－１）Ｄ（）
Ｌｐ
β
（２７
）
式中：指数ｐｄ通常取２、３、４，现有研究尚未发现这三个不同取值对结果具有本质影响；指数ｐα通常
取１、ｐβ通常取２；ｄ０、α０、β０分别是衰减、频移、坐标实拉伸参数最大值；Ｄ是波传播到吸收层内的距
离；Ｌ是吸收层的厚度。
上述三种参数最大值中，ｄ０是控制地震波在ＰＭＬ中衰减程度的参数，即是决定吸收效果的一个重要因子。ｄ０值通常依据对于垂直入射的平面波经过ＰＭＬ后的预期反射系数Ｒ确定：理论上，越小的预期反射系数越符合实际需求；但预期反射系数太小，会导致ｄ在ＰＭＬ内的空间分布变化过快，有可能由于过快的空间分布变化导致反射波。因此对不同的ＰＭＬ层数通常设置不同的预期反射系数。不同层数对应的最优Ｒ值大多是按经验设定的，并
往往通过数值测试进行测定。Ｃｏｌｌｉｎｏ等［３］经验性地给出５层Ｒ＝１０－２，１０层Ｒ＝１０－３，２０层Ｒ＝１
被盖０－４
。为了能对任意ＰＭＬ层数设置Ｒ值，Ｍａｒｃｉｎｋｏｖｉｃｈ
等［２１］
对Ｃｏｌｌｉｎｏ等［３］的离散值进行了拟合。Ｚｈａｎｇ等［１６］通过分析离散值之间的关系，得到如下更具一
般性的层数与Ｒ值的经验关系式
ｌｇ
Ｒ＝－ｌｇＮ－１ｌｇ
２－３（２８）式中Ｎ为设定的吸收层层数。给定预期反射系数
Ｒ后，
根据垂直入射的平面波，按ｄ的空间函数分布穿过ＰＭＬ再反射回物理区间的衰减预取反射系数
Ｒ，给出最大值ｄ０。沿ｘ传播的平面波经坐标拉伸
１２７４ 石油地球物理勘探２０２０年
后表示为
ｕ＝ｕ０
economistｅｘｐ（ｉ ｋ珟ｘ）（２９）式中ｕ０为初始时刻振幅。
结合式（１）、式（２１）、式（２２）可得地震波在垂直入射时标准ＰＭＬ传播方程
ｕ＝ｕ０
ｅｘｐ－ｉｖ∫ｘ０ωｄ（）ηｅｘｐ－１ｖ∫ｘ
０ｄｄ（）
η
（３０）该式第二个指数项是衰减项。考虑双程衰减，Ｒ可用衰减项表示为
Ｒ＝ｅｘｐ－
２ｖ∫ｘ
０ｄｄ（）
η
（３１） 针对式（２５）中不同的ｐｄ形式，
利用垂直入射测试模型进行数值测试，发现Ｃｏｌ
ｌｉｎｏ等［３］
给出的预期反射系数不是最优结果，相同层数下的预期反射系数可更低。按照原始公式进行设置：Ｎ＝５时Ｒ＝
１０－２，
Ｎ＝１０时Ｒ＝１０－３，Ｎ＝２０时Ｒ＝１０－４
；不同吸收层数对应的误差量级分别为：Ｎ＝５时为
１０－２，Ｎ＝１０时为１０－３，Ｎ＝２０时为１０－４。而实际
上按照Ｎ＝５时Ｒ＝１０－３
、Ｎ＝１０时Ｒ＝１０－４、Ｎ＝２０时Ｒ＝１
rearm０－５设置，误差在原有基础上减小一个量级，即Ｎ＝５时为１０－３、Ｎ＝１０时为１０－４、Ｎ＝２０时为１０－５，
显然其吸收效果更优。通过对不同层数对应的最优Ｒ值的测试结果进行拟合，得到如下的层数与预期反射系数关系
ｌｇ
Ｒ＝－ｌｇＮ－１ｌｇ
２－４（３２） 将相应的衰减参数ｄ的取值公式代入式（
３１），通过积分变换就可得到用Ｒ表示的ｄ０取值公式［
３］
ｄ０＝－
ｌｎＲ（ｐｄ＋１）ＶＰｒ
２Ｌ
（３３
）式中ＶＰｒ是吸收层内设置的参考Ｐ波速度。
α０是Ｃ
ＦＳ－ＰＭＬ作为低通滤波器时的拐角角频率［４］
，取值太低时ＣＦＳ－ＰＭＬ对地震波传播等效于常规ＰＭＬ，
不能发挥抑制非均匀波的作用；取值太高则导致大部分频率不吸收，没有起到ＰＭＬ的作
用。通常设置为震源中心角频率ｆｃ的一半
［５］
，即α０＝２π×ｆｃ
２
＝πｆｃ
（３４） β
０是垂直坐标的最大拉伸程度，拉伸程度越大就越有利于将波前向界面法线方向弯曲；但过大的β
０会导致等效网格的尺度过大，超过数值格式分辨能力，进而导致强反射。可以预期，网格的空间步长越小（相比于色散误差要求的网格大小），β
０越大。通过数值实验，Ｚｈａｎｇ等［１６］
指出最大β０可允许坐标
拉伸后中心波长对应的每波长网格数降为色散误差
允许的每波长网格数的一半。冯海珂［１９］进一步将
该准则明确表示为如下形式
β０＝２Ｐｓｆｃ
ＰＦＤ
（３５）式中：ＰＦＤ是数值方法允许的每波长网格数（如四阶交错网格有限差分时ＰＦＤ为５～６）；Ｐｓｆｃ
＝ＶＳｒ
Δｈｆｃ
是地震波模拟中Ｓ波对中心频率的真实Ｐ值，其中ＶＳｒ是吸收层内设置的参考Ｓ波速度，Δｈ是网格间距。
式（２５）～式（２７）和式（３２）～式（３５）构成ＣＦＳ－ＰＭＬ参数的最优取值方案。从上述公式易知，这些取值都只是针对均匀速度模型。１．４ 复杂速度模型ＣＦＳ－
ＰＭＬ参数取值从上述针对ＣＦＳ－ＰＭＬ各参数的取值公式及最大值设置的讨论得知：预期反射系数Ｒ和频移参数α０不依赖于速度模型，
反射系数取值（式（３２））仅与吸收层数相关，频移参数取值（式（３４））仅与震源中心频率相关；但衰减参数ｄ０和坐标实拉伸参数β０除了与固定的震源性质和网格性质相关外，还同吸收层内速度值和波长相关，即依赖于速度模型，其中
ｄ０与Ｐ波速度相关而β０与Ｓ波速度相关，ｄ０的设
置对吸收效果最为重要。从式（３３）可看出，复杂速度模型下关键是如何设置参考速度ＶＰｒ。所谓ＰＭＬ层内参考速度，
即按该速度垂直传播进入边界的波，正好可实现预计的反射系数Ｒ的吸收。理论上若实际传播速度小于该速度，则在吸收层内经历过多衰减；若实际传播速度大于该速度，则在吸收层内吸收不足，在边界处产生较大反射。
ashe
根据实际情况，本文归纳出三种实用的复杂模型参考速度取值方法：①ＰＭＬ层内逐点设置不同的值，每点取所处物理区间Ｐ波速度；②针对复杂速度模型取一个等效速度值作为参考速度值，可以是最大值（即相应ＰＭＬ层内所有速度的最大值）或中间值（即ＰＭＬ层内所有速度的平均值）；③对物理区间真实垂向速度值分布进行光滑，每点取光滑后逐点对应的不同的速度值。
２ 模型实测结果分析与对比
采用上述各方法针对多种速度模型进行实测和
第５５卷 第６期杨茜娜，
等：复频移完全匹配层在复杂速度模型中的应用１
２７５ 分析，以对比和遴选针对复杂模型的参考速度取值方案。
２．１ 双层速度模型
首先考察存在速度剧烈变化的双层模型，本次测试所用双层模型的速度设定为：上层ＶＰ１＝０．５ｋｍ／ｓ、ＶＳ１＝０．３ｋｍ／ｓ，下层ＶＰ２＝１０．０ｋｍ／ｓ、ＶＳ２
＝６．０ｋｍ／ｓ，速度变化幅度达２０倍（图１）。各衰减参数空间分布参照式（２５）～式（
２７）进行选取，与ＶＰ相关的ｄ０和β０通过选取ＶＰ而确定；反射系数Ｒ
按式（３２）选取为１０－５；频移参数按式（３４）选取为α０＝πｆｃ≈
４．７１。采取以下四种方式（图２）设置参考速度：①逐点取边界介质速度对应值；②统一取边界介质速度中间值（５ｋｍ／ｓ
）；③统一取边界介质速度最大值；④计算一维垂向分布的每层平均速度，光滑后作为该层参考速度
。
图１ 高波速比双层模型
模型尺寸为５．７ｋｍ×３．０ｋｍ，网格单元为１０ｍ×１０ｍ，
吸收层数Ｎ＝２０；震源是中心频率为１．５Ｈｚ雷克子波，位于（０．４ｋｍ，－１．０ｋｍ）
，与边界距离为０．２
ｋｍ；三个检波点由上至下编号为１～３，所处位置横坐标均为０．３ｋｍ，纵坐标为－０．５～－２
．５ｋｍ，深度间隔为１．０ｋ
ｍ图２ 双层模型不同参考速度设置方式下垂直速度分布
测试的参考解通过在原模型上保持震源、检波点相对位置不变，扩大计算区间（７ｋｍ×７ｋｍ）设计而成。扩大后形成的参考模型保证在观测时窗内、最外层边界产生的误差不会被检波器接收到，从而使检波器在固定时窗内接收到的波形等效为在该时间范围内“无限大理想模型”接收到的地震波。在ｔ＝２．４ｓ时通过各取值方式与参考模型
（图３ｅ）波场快照的对比可明显看出，设置为对应值（图３ａ）或垂向速度值（图３ｄ）在左侧下半部边界处吸收不干净并有一定程度的反射，取统一值（图３ｂ、图３ｃ）吸收效果更好。而ｔ＝６．０ｓ时，对于上部低速层，取对应值（图３ｆ）时反射较弱，吸收效果较好，其余方式（图３ｇ～图３ｊ）均有不同程度的反射。因上、下层速度差异很大，界面反射程度高，上层的波场振幅和能
量更大。为了更清楚地显示下层波动，所以波场快照范围较小，
显示的反射波对主波的影响无
图３ 吸收层参考速度不同取值方式下双层模型的波场快照
（ａ）、（ｆ）对应值；（ｂ）、（ｇ）中间值；（ｃ）、（ｈ）最大值；（ｄ）、（ｉ）垂向平滑值；（ｅ）、（ｊ
）参考模型；上部ｔ＝２．４ｓ；下部ｔ＝６．０ｓ
