on是什么意思平均故障间隔时间（MTBF）和故障率的关系推导
可靠性咨询顾问 苏铁军（sutiejun@ringtones163.com）
MTBF的含义是平均故障间隔时间（Mean Time Between Failure），就是产品每次故障之间能正常运行的平均时间。还有一个类似的概念是MTTF，是平均故障前时间（Mean Time To Failure）。对于完全修复的产品，修好了就跟新的一样，所以“一个产品故障多次之间的时间”和“多个产品故障一次之前的时间”性质是一样的，此时MTBF也就等于MTTF。习惯上说MTBF的更多。
MTBF说白了就是平均寿命，怎么算呢？
先举个例子，假设有个离散型的随机变量X，是1的概率是0.3，是2的概率是0.5，是3的概率是0.2，那么X的平均值（也就是“数学期望”）是多少？很简单，就是：
1*0.3+2*0.5+3*0.2=1.9
引申开去，连续性的随机变量的数学期望（平均值）就是：。
用到可靠性上，随机变量是时间t，在每个时间t（之后的Δt）故障的概率（故障密度，即Δt内发生故障的产品除以产品总数）是f(t)，反过来此时t其实也就是这些此时故障的产品的寿命值，所以，平均寿命就是：。
物理概念上可以理解为：寿命为t的概率是f(t)，类似离散型那样相乘，在所有的t上（从零到无穷大）积分起来就是平均寿命。
cold stone>18youngchinagirls国f(t)不好用，我们经常用的还是故障率λ，那么如何把上式转化成用故障率λ表示的函数呢？
从前一篇《可靠度R和故障率之间关系式的数学溯源》中我们可以知道R(t)可以用故障率λ表示。所以，只要争取把平均寿命的公式转化成R(t)表示的函数就可以了。
我们知道f(t)=-R’(t)，代入上式：
百万瓦特
还有一个讨厌的t，怎么去掉？或者说，什么函数的导数有可能是上面这个东东？
看看下面这个公式：
不懂上式？翻翻高数课本：
所以，
两边积分，就得到平均寿命：
编制英文
而光棍节的歌。（因为R(∞)=0）
大功告成，平均寿命
上式的物理意义可以这么理解：
上式变成，
思路是从时间段的角度算产品个数，而不是从产品角度算寿命（原始公式的物理意义）。即考虑有多少产品数落在这个时间段，最后加起来。
例如(t+Δt)这个时间段范围内的产品数目是R(t)*N，则R(t)*N*Δt也就是dt这个时间段内的寿命和。注意不要再乘t了，因为计算下一个dt时间段时，R(t)里面（还没坏的产品）和这个时间段有重复的产品数！即不算历史积累的t，只算当前小区间dt里面有多少产品。
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从0到无穷大把这些时间段（带着各自所附带的产品数，也就是所蕴含的寿命）全部加起来（积分），得到所有产品的寿命之和，再除以产品总数N，就得到平均寿命。分子分母的N消掉。
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当寿命分布服从指数分布时，
此时，
综合起来就是：
即：指数分布下，MTBF（平均寿命）和故障率（λ）互为倒数关系。这也是个经典结论，一定要记住。
这个关系的物理概念是：某个产品平均1年坏2次（λ=2），所以平均寿命就是年。
需要注意的是，平均寿命对应的可靠度只有38%。
理解上面积分过程需要知道下面两个导数知识：
尼基塔第四季1、复合函数的求导法则：
2、以e为底的指数函数的导数还是它本身：
