怀疑者数理概念中的形形色色的“反常”
鸟儿为什么要歌唱？因为鸟儿有歌要唱。
列夫托尔斯泰的资料——Eric Craig
Nihil sub sole novam.现在进行时练习题及答案jms是什么意思1)
——拉丁谚语
1 Normal存在
本篇的主题是数理文献中的各种反常。欲说反常，先说正常。关于norm，此前在本系列之058 篇已有一些论述，此处只略作补充。
关于空间的认知，需要两点之间距离和两方向之间夹角的确定，这些都需要标准。距离的确定需要直的物件，比如一段树干。芦苇不枝不蔓，是作为长度标准的好选择。由芦苇而来的词，canon，希腊语κανονα?，如今可是非常严肃的词，见于canonical transformation(正则变换)。尺子的拉丁语词为regula，由其衍生出regular， regularity 等词。夹角的特例是直角，
也是最容易测量的。木匠用的拐尺，矩，拉丁语是norma， 这词和希腊语的γν?μων(gnomon) 同源。Gnomon，本意是知晓者或检测者，指日晷中间的指示物，样子和拐尺差不多(见文献图3)。Norma，英语写法为norm，衍生词包括normal，normality，normalization，renormalization。Normal的近义词包括usual，regular，ordinary 等， 反义词包括unusual，irregular， extraordinary， exotic，abnormal，anomalous 等。后者常被夸张地用来修饰一些现象或者概念，其中尤以anomalous(名词形式为anomaly)为甚。
Norm 为木匠的拐尺， normal的意思就是合乎规矩的、标准的。因此，école normale，就是师范学校。著名的巴黎高等师范学校(école Normale Supérieure de Paris)不光是教书育人的场所，它的老师和毕业生还是知识的创造者。巴黎高等师范学校的毕业生自认是normaliens(高师人，正常人。双关语)，虽然就智商而论他们大体都是另类。
美国总统辩论第3场因为拐尺是直角的，normal 和right 也算是同义词。比如normalincidence(垂直入射)，就是入射方向和光学界面垂直，而曲线的normal，汉译法线(则线)，是与曲线的切线(tangent. 应该是搭线)垂直的。
get的过去分词
线上翻译图1 曲线的搭线及与其垂直的法线
Norm的本意到底还是尺子，是用来量长度的。矢量的norm，汉译为模和范，应该是错译，实际上是指矢量的长度。所谓的normed vector space(赋范矢量空间)，是说该空间中的矢量是有长度定义的。如果空间中的两点距离是有定义的，这样的空间是metric space。在量子力学中，状态的波函数是一组力学量之共同本征函数所张的希尔伯特空间中的一个矢量，且根据几率诠释，其norm 应该为1。把解得的波函数的长度定为1， 这个过程就是normalization，汉译归一化。归一化的说法会落到1 上，实际更该关切的是在具体的希尔伯特空间中是如何定义这个长度的。Renormalization是量子场论里的事情，是用来消除计算中发生的无穷大的一些方法之统称。这些无穷大源于自能的概念，那是理论自身的缺陷，重整化方法有效， 是非常诡异的事情。Renormalization group，汉译重整化群，此一相当繁杂的数学方法被用来在不同的空间尺度下考察物理系统的变化，关切的是尺度变换(下的不变性)。尺度变换不变性虽然是老话题，但在量子场论的语境中它必然和处理无穷大相关联，因此更见重要性。费曼，施温格和朝永振一郎就是因为发展了电荷和质量的renormalization 理论才获得1965 年度诺贝尔奖的。Renormalization，涉及的是scale transformation，它的意思应该贴近rescale(重新度量，用新尺度度量)，译为重正化、重整化都未必合适。重正化、重整化应该是留给regularization 的译名，见下。
一个值得一提的normal 概念是normal modes，简正模式。一个振动体系的简正模式是指系统用单一固定频率(natural frequency，resonant frequency)振动的花样。一般意义下的运动是简正模式的叠加(即矢量的分量表示)。在这里，normal modes是指它们是独立的，一模式的振动不会引起另一种模式的出现。其实，因为自伴随算符或者对称矩阵的特征方向是互相垂直的，normal modes2)中的normal 依然是强调垂直的意思。Normal mode 在某些场合指体系之储能最少的模式，它也被称为dominant mode，此时翻译成正常模式是贴切的。只是，我们在阅读文献时要注意区分才好。
accompany名词淘宝店铺怎么做推广2 Regular & irregular
形容词regular， 来自拉丁语regularis，regula。Regula，与norma相近，原意都是尺子、矩，因此和right 相关联。同源动词regere 有统治、导演等意思。Regularity，汉译规则，齐整。Regularity 是数学里随处可见的对数学对象的要求。简单的例子如一条曲线γ(t)是regular 的，如果γ?(t) ≠ 0 。Regular curves 可以再参数化为恒速率曲线，恒速率曲线要么是直线，要么是圆。明白了它为什么被称为regular 的了吧！Regularity， 德语是Getzlichkeit，中规中矩。中规中矩的反面是irregularity，不规则的出现意味着未知因素
或道理的存在。Le Verrier 根据冥王星轨道的irregularity(相较于开普勒第二定律而言)断言海王星的存在并计算出了其应该出现的位置；对大不列颠海岸线之irregularity(不规则性)的研究让曼德尔布罗特发现了分维几何(fractal geometry)。
Regularization 代表通过假设在新尺度上存在未知的物理来控制无穷大的出现的方法，注意不要混同于renormalization。把regularization译成重整化而把renormalization 译成重正化的方案，说不好是解决了还是加重了这两者混淆的问题。用重整化、重正化翻译regularization都挺合适，问题出在对renormalization的翻译错误上。再强调一遍，norma，拐尺、矩， 首先是( 测量长度的)尺子。
3 Ordinary & extraordinary
类似normal/abnormal 和regular/irregular 的一对儿词是ordinary/extraordinary。Ordinary， 普通的、寻常的，其本意是按顺序的。将extraordinary 用于一些概念前可能有强调不按正常顺序的意思，近于exceptional，出格的。比如说，平方反比作用力下的两体问题之四维转动对称球就具有extraordinary 拓扑，因为四维的转动对称球可以分解为一对三维转动对称球。就这一点来说，它是exceptional 的，其它维度的转动都不能分解为低维
度空间中的转动。
Ordinary 和extraordinary 联袂修饰一个物理概念出现在光学领域。材料的折射率依赖于光的传播方向和极化的现象，称为birefringence，非立方晶系的晶体常常具有这样的性质。具有birefringence性质的晶体会引起双折射(double refraction)现象。Birefringence 和double refraction都被汉译为双折射，如何表达出它们的区别真让人头疼。对于单轴晶体，偏振垂直于入射平面的折射光被称为是ordinary ray，寻常光，其方向可以用一个单一的折射率no描述。而另一束， extraordinary ray，非常光，其方向由一个介于no和较大的ne之间的折射率所决定(图2)。Extraordinary 那一束的不同寻常之处在于它是inhomogeneous wave，其能流和传播方向不一致。而双轴晶体的折射行为由对应晶体三个主轴的三个折射率所表征， 其中两种偏振都是extraordinary 的。双轴晶体存在两个光轴，沿着此方向上的光其群速度不依赖于偏振。Ordinary ray，寻常光束，extraordinary ray，非寻常光束，中文文献有时候就简称为o-光和e-光。
