高斯定律的空间交换对称性
张祥栋
2013-03-07 提问者：张亦龙
参与讨论者：张祥栋、纪翔、邬超、张亦龙
1.问题描述
anya marina
inmyopinion今天下午电磁学课后，张亦龙问老师：对于高斯定律来说，一个封闭曲面的内部与外部是不对称的，因为穿过这个曲面的电通量只与曲面内的总电荷量有关。但如果假设宇宙是一个封闭的三维空间（可以类比二维情况时的球面。封闭的三维空间即是一个没有边界但大小有限的空间），那么高斯定律中的闭合曲面实际上把整个宇宙分成了两个区域，而这两个区域是完全对称的（类比在球面上画一个圈，哪部分才是圈的内部呢？），哪部分才是曲面的里面只是一个人为定义。但是高斯定律却说，这两个区域是不对称的，曲面上的总电通量只于其中一个区域的总电荷量有关，而与另一个区域中的总电荷量无关。这种对称性的破缺从何而来？另外，如果把上述的闭合曲面换成孤立的金属壳，那么金属壳内部（这里的内部指通常所说的内部）的电荷分布将会对金属壳外面的电场产生影响，但外部的电荷却不会对内部的电场产生影响，这种不对称性又是从何而来？
2.高斯定律的空间交换对称性
在展开论述之前，先做一个假设：宇宙的总电荷量为零（此假设的合理性将在后面讨论）。
其实对于高斯定律来说，一个闭合曲面的内部与外部是完全对称的。这里先不考虑宇宙是不是封闭的，如图2-1，选取一个闭合曲面，图中为曲面的一个二维切片。则该闭合曲面上的高斯定律为：
∬E⃗∙dS S =
q0
ε0
(2-1)
这个闭合曲面把宇宙分成了内外两个部分，根据假设，各部分的总电荷量分布如图2-2。
由(2-1)式可以推出：
∬E⃗∙dS′S′=−∬E⃗∙dS
S
=
−q0
ε0
interviewer(2-2)
(2-2)式可以理解成：把总电荷量为−q0的区域作为闭合曲面的内部，然后应用高斯定律得到。因此，交换闭合曲面的内部与外部空间1，高斯定律依然成立。也就是说，对于高斯定律而言，一个闭合曲面的内部与外部是没有绝对区别的，
所以问题描述中提到的第一个问题实际上是一个伪问题。
3.金属壳屏蔽问题
实际上孤立的金属壳并不能屏蔽外部电
场。如图3-1，导体中的电场强度为零，因此
金属壳上感应电荷产生的电场在与外部的正
电荷产生的电场叠加后应该使金属内部的电
场强度为零，这必然会使金属壳表面的感应
电荷（包括内表面）不均匀分布。所以金属
just the way you are什么意思壳内部区域的电场强度不为零，且与外部的creation
澳洲名校申请要求雅思电荷分布有关系。
邬超曰：在非封闭的宇宙（比如欧几里
得空间）中，金属壳的内部和外部显然是没
有对称性的，因为里面的电荷的电场线穿出
金属壳后可以散发到无穷远处，而外面的电
荷的电场线穿入金属壳后是没有无穷远处可
以散发的。封闭的宇宙把无穷远处的可能性给排除了，因而封闭宇宙的电荷总量必然为0。（这里看
不懂——By 张祥栋）那么这样就不存在内外之分了，于是金属壳一边有正电荷的话，其电场线经过金属壳之后必然指向金属壳另一端的负电荷。因此对于封闭宇宙来说，金属壳的两侧当然有对称性，而在欧几里得空间中这种对称性不存在。
张亦龙：金属是等势体，故在内部无电荷时，内部必然处处场强为零，因而金属球壳内表面电荷面密度为零。上面的论证过程有错误。
张祥栋：好吧…脑残了。我觉得题目中所说的内外是不对称的。内部没有电荷而外部有电荷的情况对应的是内部有电荷，而外部（整个宇宙）没有电荷的情况。注意，外部没有电荷意味着内部的总电荷量为零，这样，内部的电荷分布同样也不能影响到外部。
4.宇宙的总电荷为零
心照不宣的反义词关于第2小节中的假设“宇宙的总电荷量为零”。我们来考虑一下如果宇宙的总电荷量不为零会怎样。如果宇宙的总电荷量不为零，我们可以把所有电荷分成两部分，其中一部分
1交换内部与外部空间并不是真的把两块空间的位置互换，而是指把“原来的内部”看作“外部”，把“原来的外部”看作“内部”。高斯定律的表述不变：闭合曲面上的电场通量等于曲面内部
四大发明 翻译．．的总电荷量除以真空介电常数，闭合曲面的法向量由曲面内部指向外部。
的代数和为零，另一部分为若干个正点电荷（也可以假设为是负点电荷）。现在来考虑一下如果一个封闭的宇宙中只有一个正点电荷，会发生什么事。（当然，进行这种讨论的前提是假设高斯定律在整个宇宙尺度上也是成立的。）我们选取一个闭合曲面，使这个全宇宙唯一的正电荷处于曲面的内部，则根据高斯定律，曲面上的电通量只与这个点电荷的大小有关。现在，拉伸这个闭合曲面，使曲面内部所包的体积不断增大。由于宇宙是封闭的，也就是说总体积有限，于是曲面外部的体积就会不断变小。直到最后，曲面外部的体积趋于零，此时曲面向某一点收缩，面积也趋于零。但根据高斯定律，曲面上的电通量还是原来的值，这就导致了曲面上的场强趋于无穷这一不合理的结果。注意，这里的场强趋于无穷大与平常所遇到的点电荷附近场强趋于无穷大是完全不同的概念，即使把点电荷改成电荷均匀分布的小球，也无法解决这里出现的不协调。根据场强叠加原理，可以推知，只要宇宙的总电荷不为零，空间中就总会存在场强无穷大的点。
foolproof
【附】线下讨论记录
邬超试图阻止我们继续讨论这个问题，他认为在没有相应数学基础（非欧几何基础）的情况下讨论这种问题是没有任何意义的。他提出的问题是数学上的高斯定理在非欧几何空间中不再成立，故将高斯定律推广到非欧几何空间是不可行的。
邬超提出一个简化版的问题：将高斯定理类比到二维平面上，然后看看这个二维高斯定理在球面（二维的封闭空间）上是否仍然具有相同的形式。研究生面试英语自我介绍
（手稿中黑色字体为张祥栋，红色字体为邬超。）
