多重分形奇异谱的⼏何特性I_经典Renyi定义法_周炜星Vol.26No.42000-08华 东 理 ⼯ ⼤ 学 学 报
Journ al of East Chin a University of Science an d T echnology
基⾦项⽬：国家重点基础研究发展规划项⽬(G1999022103)E-mail:****************收稿⽇期:1999-09-08
作者简介：周炜星(1974-)，男，浙江诸暨⼈，博⼠⽣，现从事湍流中⾮
线性现象的理论和实验研究。
⽂章编号:1006-3080(2000)04-0385-05
多重分形奇异谱的⼏何特性
I .经典Renyi 定义法
周炜星*
, 王延杰, 于遵宏
(华东理⼯⼤学洁净煤技术研究所，上海200237)
摘要：研究了经典多重分形理论中⼴义维数和奇异谱的⼏何特性，通过严格的数学推导证明了
⼴义维数D ~q 、质量指数S ～(q )、奇异性指数A ～(q )和奇异谱f ～(A ～(q ))的单调性和极限，并提出了判定合理奇异谱f ～(A ～
(q ))的准则。
关键词：多重分形；奇异谱;⼴义维数；经典Renyi 定义法中图分类号:O4;O184
⽂献标识码:A
Geometrical Characteristics of Singularity Spectra of Multifractals
I .Classical Renyi Definition
ZH OU W ei -x ing *
, W A N G Yan -j ie , YU Zun -hong
托福代报(I nstitute of Clean Coal T echnology ECUS T ,Shanghai 200237,China )
meetupAbstract :It is w ell know n that multifractal theo ry is an effective and w idely applied method to charac-terize a lot of nonlinear physical pheno mena in nature .In this paper ,the geometrical characteristics of sin-gularity spectra of multifractals defined via classical Reny i information are studied.The relev ant pr operties of the generalized dim ensio ns,scaling ex ponents,sing ularity str ength and singularity spectrum are derived rigo rously.It ems that the curve o f generalized dim ensions is sim ilar to that o f singularities w hen para-meter q tends to infinity .Especially ,we sho uld point o ut that singularity spectra cur ve lies in the first quadrant,w ho endpo ints are not necessary to be nought.An analy tical but simple pr ocedure to calculate the asym ptotic value at infinite is prented.It is found that different alg orithm s of first order derivative,and the com putation spacing as w ell ,lead to different multifractal spectrum .Therefore ,a criterion is sug-gested to determ ine the proper sing ular ity spectr um .T his is bad on the fact that ,the curve of the m ulti-fractal spectrum is tangent to the diag onal of the first quadrant,w hich implies that f ≤A for all q .Further-more,there is only one point o f interction between tw o m ultifractal spectra arising from tw o different sy stems ,w hich is suppor ted by ex perimental and num er ical results .
Key words :multifractal;sing ularity spectrum;generalized dimension;classical Reny i definition
⾃从M andelbro t 在70年代提出分形概念以来，分形理论在物理、天⽂、地理、数学、⽣物、化
学[1～7]、计算机[8]
等科学领域得到了⼴泛的应⽤，并取得了⼤量富有新意的成果。但是，随着理论研究和应⽤的深⼊，研究者们越来越清楚地意识到，对于⼤多数客观存在的分形物体⽽⾔，仅⽤⼀个分形维数并不能完全刻画其结构。80年代初,Grassber ger 等系统地提出了多重分形理论,⽤⼴义维数和多重分形谱来描述分形客体，考虑了物理量在⼏何⽀集的
385
空间奇异性分布[9～11]，因⽽在湍流、DLA、地震[12～13]等⼏乎所有涉及分形的领域迅速地取得了⼴泛应⽤。通过计算机模拟或实验测定，可以得到⼴义分维和多重分形谱，但对其中不少结论存在着争议，因⽽有必要系统地研究⼴义分维和多重分形谱的⼏何特性，提出实际数值计算中对奇异谱的判定准则。本⽂以多重分形理论为基础，重新定义并研究了4个连续函数D~q、S～(q)、A～(q)和f～(A～(q))的⼏何特性，提出了计算多重分形谱f(A)的判定准则。
1 ⽤Reny i信息量定义多重分形的基本原理
设F是d维分形空间(Fractal Space[8])上的分形集,⼀般地，我们可以⽤N个尺度为E i(i=1,2…N)的互不相交的d维微元C i将F覆盖，并在每个d维⽴⽅体C i上定义归⼀化概率测度P i。命E= max{E i∶i=1,2…N}，如果E⾜够⼩，那么可以认为P i在C i上的分布是均匀的，则可以定义奇异性标度指数A为
P i～E A i(1)其中测度的不同区域有⼀A与之对应。特别地,⽤N 个具有相等尺度E的互不相交的d维⽴⽅体覆盖分形集F，假设A 在区间[A′,A′+d A′]上取某个值的次数为
Q(A′)E-f(A′)d A′(2)其中,Q(A)表⽰奇异值A的密度，连续函数f(A)反映了A取值的次数。
为确定连续函数f(A)，需要引⼊可测量的维数集合⼴义维数D q,Grassberg er、Hentschel和Pro-caccia等⼈将之定义为[9～10]
D q=lim
E→0
1
q-1
lg V(q)
lg E
(3)
其中
V(q)=∑N
i=1管理员的英文
P q i(4)是概率测度的q阶矩。显然,D0是测度⽀集上的分
love of iris形维数D f,D1=lim
vsiq→1
D q为信息维数R,D2是容量维数M。
将⽅程(1)和(2)代⼊(4)，得到
V(q)=∫E q A′Q(A′)E-f(A′)d A′(5)假定Q(A′)⾮零，由于E很⼩，故式(4)的积分在q A′-f(A′)取极⼩值时对V(q)贡献最⼤。因⽽我们可⽤A(q)代替A′，其中A(q)满⾜极值条件
d雾霭的意思
d A′
[q A′-f(A′)]?A′=A(q)=0(6)
d2
d(A′)2
[q A′-f(A′)]?A′=A(q)>0(7)于是
f′(A(q))=q(8)
f″(A(q))<0(9)定义函数S(q)为
S(q)=q A-f(A)(10)则由式(3)得
D q=
S(q)insurgent
q-1(11) 所以，如果知道f(A)和A值的谱，便可以求出⼴义维数D q。同样，如果知道了⼴义维数D q，由式(8)和(10)可得奇异值A的计算公式
A(q)=S′(q)(12)并由式(10)求出f(A)。
在实际应⽤中，只要测定归⼀化概率测度P i，就可以计算⼴义维数D q，从⽽得到多重分形的奇异性谱f(A)。但是实验研究发现，计算时对分形集F 的划分、计算步长及计算⽅法选择不同，可能得到存在某种相关性但具有完全不同的⼏何特性的⼀族奇异谱
f(A)。
2 多重分形的⼏何特性
Hentschel和Procaccia⾸先较为系统地研究了奇怪吸引⼦的⽆穷⼴义维数集合D q在q>0时的性质[10]，本⽂将他们的结果进⾏推⼴，考察了更为⼀般的情况。
设多重分形集处于⽆标度区，对于⼀E∈(0,1),N=
[1/E]+1[1/E]<1/E
[1/E][1/E]=1/E
，任意给定测度P i∈(0,1)，满⾜归⼀化条件∑
N
i=1
P i=1，记P max=
max
i=1,2…N
{P i},P min=min
i=1,2…N
{P i},-∞
2.1 ⼴义维数D~q的性质
定理1 定义关于实数q的连续函数
D~q=
1
q-1
lg∑
N
i=1
P q i
lg E
(13)那么
(1)D~′q≤0，当且仅当所有P i相等时“=”成⽴;
(2)极限D~+∞和D~-∞都存在，并且
386 华 东 理 ⼯ ⼤ 学 学 报第26卷英语听力网
D ~+∞>lim q →+∞D ~q =lg P max /lg
E (14)D ~-∞>lim q →-∞
D ~q =lg P min /lg
E (15)
证明 (1)由推⼴的H lder 不等式[14～15]
知，对于任意给出的正数列{a i ∶i =1,2…N }及实数-∞∑N
i =1
(P
i
A s i
犀利什么意思)
1s
≤
∑N
i =1
(P
i
A t i
)
1t
当且仅当A i 全相等时取等号。命A i =P i ，则知∑N i =1
(P i ?P q -1
i
)
1q -1
关于q 单调递增，所以D ~q 关于q 单调递减，即
D ~′q ≤0
(16)
当且仅当所有P i 相等时“=”成⽴。
(2)当q →+∞时,P q
i ≤P q
max ,q -1>0，于是
P
q
max
<
∑N
i =1
P q i ≤N ?P
q max
(17)
∴ lim q →+∞1q -1?lg (N ?P q
max )lg E ≤D +∞≤ lim q →+∞
1q -1?lg P q max
lg E (18)
∴ D ~+∞>lim q →+∞D ~q =lg P max /lg E 当q →-∞时,P q i
≤P
q min
,q -1<0，于是
P
q
min
<
∑N
i =1
P
q i
≤N ?P q
min
(19)
∴ lim q →-∞1
q -1?lg P q
gre作文
min lg E ≤D -∞≤ lim q →-∞
1
q -1?lg (N ?P q
