第48卷第1期
2021年1月华北电力大学学报
Journal of North China Electric Power University Vol.48,No.1 Jan.,2021
doi:10.3969/j.ISSN.1007-2691.2021.01.16
档端横向激励下架空导线的振幅响应特性
陈晓娟1,2，王璋奇1
(1.华北电力大学能源动力与机械工程学院，河北保定071003;
2.内蒙古科技大学机械工程学院，内蒙古包头014010)
摘要：以架空导线为研究对象，将铁塔振动对导线振动的作用机理简化为导线的端部位移激励㊂为掌握架空导线档端横向激励对线路振动的影响机制，建立有界张紧弦在正弦移动边界条件下的横向振动线性模型，基于模型的稳态共振解，构建系统阻尼㊁激励频率与响应的动态关系图，发展系统振幅响应的理论模型，提出档端横向位移激励下架空导线振幅响应的放大效应及其控制参数的表达形式，讨论控制参
数对导线风致振动问题的影响规律㊂研究表明：即使档端的运动幅值很小，也不能忽略其对线路振动的影响，尤其是控制参数较小时，会对导线的振幅形成显著的放大效应㊂该结果为架空导线风致振动的控制和预测研究提供了一定的理论参考㊂
关键词：架空导线；档端横向激励；响应；放大效应；控制参数
中图分类号:TM726.3㊀㊀文献标识码:A㊀㊀文章编号:1007-2691(2021)01-0121-06
Amplitude Respon of Overhead Conductors Subjected to
Transver Excitation
CHEN Xiaojuan1,2,WANG Zhangqi1
(1.School of Energy Power and Mechanical Engineering,North China Electric Power University,Baoding071003,China;
2.School of Mechanical Engineering,Inner Mongolia University of Science and Technology,Baotou014010,China)
Abstract:This paper was intended for the control and forecasting of wind-induced vibration of overhead conductor.The influence mechanism of tower vibration on conductor vibration was simplified as the end displacement excitation of con-ductor.We established a linear model for the transver vibration of the bounded tension string under the sine moving boundary condition to understand the influence of the support excitation of overhead conductor on line vibration.Bad on the model s steady state respon solution,we analyzed the dynamic relation of amplitude respon with different damping and frequency ration and developed a theoretical model for system amplitude respon.The amplification effect of the amplitude respon of overhead conductor and the expression of its control parameters under the support excitation were propod,and the influence of control parameters on wind-induced vibration of conductor was discusd.The re-sults show that even if the motion amplitude of the support end is very small,its influence on the line vibration should not be ignored.When the values of control parameters are low,the amplitude of conductor will be amplified significant-ly.The results provide an important theoretical reference for the control and prediction of wind-induced vibration of o-verhead conductor.
Key words:overhead conductor;support transver excitation;respon;amplification effect;control parameter
收稿日期:2020-07-28.
基金项目：内蒙古自治区自然科学基金资助项目(2019MS05009)；中央高校基本科研业务费专项资
金资助项目(2019QN129).0㊀引㊀言
㊀㊀受自然环境影响，架空导线在运行中常常产生微风振动㊁舞动㊁次档距振动等风致振动现
㊀㊀
华北电力大学学报㊀2021年
象[1-4]，成为危害线路安全运行的主要因素[5]，多年来受到各国学者的重点关注㊂架空导线作为典型的长柔性㊁小阻尼结构，除了风致气动力直接作用在导线上导致的结构振动外，导线档端激励也可能会诱发线路发生大幅振动㊂架空导线端部塔体和悬垂串组的振动会对导线形成端部位移激励，当该激励频率与导线某阶固有频率位于共振区时，即使很小的激励也会引起导线大幅度的位移响应㊂随着特高压的建立，输电线路跨距大，单档导线长径比大，固有频率分布广，且导线和塔体的基频均较低[6-8]，容易满足导线的强迫共振条件㊂
国内外学者就架空导线在风激励下和档端激励下的线路振动问题开展了研究㊂早期文献[9]提出了低阻
尼系统共振舞动机理，指出架空导线的面内舞动与悬垂线夹对导线档距端点产生的横向激振㊁纵向激振关系密切，解释了传统舞动原理不能解释的一些舞动现象㊂文献[10]推导了大跨越输电线路阻尼线微风振动和端部激励下系统的运动方程，分析了端部激励下大跨越导线阻尼线的防振特性㊂本文作者[11-13]将大跨越导线简化为张紧弦模型，从振动波的角度，就模型在局部激励下的微风振动波特性开展了详细研究㊂王璋奇等[14]设计了基于档端位移激励的架空导线舞动试验装置，用来模拟架空导线受到沿导线轴线方向上的档端位移激励时的舞动情况㊂课题组[15]采用自制实验结合理论分析研究了档端纵向激励对导线面外振动的影响规律，指出铁塔纵向激励频率为导线面外振动频率的一半时，可引起架空导线的面外大幅度摆振㊂
本文以架空导线为研究对象，将铁塔振动对导线振动的作用机理简化为导线的端部位移激励，在上述研究基础上，讨论了档端横向运动对导线面内振动的影响规律；同时考虑到导线的两种典型风振现象(舞动和微风振动)分别发生在导线的低阶和高阶频率的差异性，本文关注了从低阶军棋的摆法
到高阶较宽范围内模型的频响特性，以期探究档端横向激励对两种风振现象的影响规律㊂
为揭示档端横向激励对线路风致振动的影响规律，本文从最简单的恒定张力有阻尼弦模型出发，以端部横向简谐激励下模型的稳态封闭解为基础，针对导线的小阻尼特性，对档端位移激励引起的导线动力响应进行动态模拟和理论推演，提出导线振幅响应的放大效应及其控制参数，讨论分析档端激励对架空导线典型风振的影响规律㊂
1㊀模型的建立与求解
1.1㊀模型的建立
为阐明档端横向激励对导线各点面内运动的影响规律，考虑到架空导线的长柔㊁小阻尼特性，建立如图1所示坐标系㊂导线简化为张力主导的恒定阻尼均匀弦模型，将导线一端(x=0)固定，另一侧档端(x=L)受横向周期谐激励㊂根据系统位移的连续性，导线在x=L处的振动位移必与激励位移一致
㊂
图1㊀受端部横向激励的导线振动模型示意图
Fig.1㊀Uniform string excited by end load
如图1所示，导线总长L，单位长度质量m，阻尼c，张力T，档端运动振幅A㊁频率0，导线各点偏离平衡位置的瞬时位移y(x,t)㊂则导线系统同时承受张紧力和档端横向位移激励时的面内振动控制方程如下:
m∂2y(x,t)
∂t2+c
∂y(x,t)
∂t-T
∂2y(x,t)
∂x2=0(1) y(0,t)=0,㊀y(L,t)=Ae-i0t(2) 1.2㊀模型的求解
假设系统的行波解形式如下:
y(x,t)=e i(x-t)(3)式中:为导线长度L内的振动波数;为导线的响应频率㊂
将假设的行波解带入控制方程求得系统特征方程如下
T2-m2-ic=0(4)㊀㊀求得两特征根分别为
1=m2+ic
T
,2=-m2+ic
T
(5)㊀㊀定义阻尼比=c2m，将其带入特征根(5)中，整理得
=1=m2+i2m2
T
=
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陈晓娟，等：档端横向激励下架空导线的振幅响应特性
㊀m2/T (1+i 2)(6)
㊀㊀特征方程为一对复根，故控制方程的通解可表示为
y (x ,t )=e i (1x -t )+e i (-1x -t )
(7)
㊀㊀为确定式(7)中的待定系数㊁，将边界方程(2)带入(7)式中，得系数矩阵方程组
11e i1L e -i1L
=0A (8)㊀㊀将所得系数带入(7)式得到系统振幅响应的稳态封闭解一起造句
如下:
y (x ,t )=A e i1x -e -i1x e i1L -e -i1L
e
-
i0t
(9)
2㊀振幅响应特性
2.1㊀振幅的阻尼特性
根据上述计算结果，为方便讨论，不妨假设x
=L 处的端部横向激励为单位振幅的正弦激励，即
A =1㊂如图2所示，为不同阻尼条件下，导线模型在档端单位正弦激励下的周期响应图,(a)图阻尼比0.02,(b)图阻尼比0.05㊂显然，对于小阻尼导线，其面内运动基本呈 驻波 振动，振幅响应随导线空间位置x 的变化近似按正弦规律变化㊂值得注意的是:
(1)导线振动不存在严格意义上的波动节点(除固定端)，即振幅为零的位置㊂
与无阻尼弦的理想驻波振动相比，有阻尼弦
线的振动不存在严格意义上的波动节点㊂分析认为在有阻尼的空气里保持导线稳定振动需要不断有能量从激励源补充进来，事实上阻尼的存在，使得导线的振动不再为理想的驻波振动，而是由驻波和行波叠加形成的振动波，行波使得能流沿着弦线流动，维持弦线在阻尼介质中稳定振动㊂因此实际导线振动时是不会出现理想的固定节点的，也就是说实际导线上的每一点都在振动(不包括固定端点x =0处)，只是有的位置处振动幅度较小，宏观看上去几乎不动，由图2知，在空间相对位置x =0.2,0.4,0.6,0.8处的理论节点位置处，导线均有不同程度的振动，且靠近激励源的位置，波节处的相对振幅更加明显，但均低于激励振幅㊂事实上，通过对复数解展开取虚可知振动波由一列驻波和一列行波叠加而成，沿振动波传播方向，驻波振幅衰减，而行波振幅增加㊂
(2)导线振动中各波腹幅值均大于激励端振
幅㊂
由图2知，由于移动边界的存在，两种阻尼条件下整档导线理论波腹处(空间相对位置x =0.1,
0.3,0.5,0.7,0.9)的幅值均大于激励端振幅，且靠近激励源的波腹幅值最大，远离激励源的波腹幅值顺次减小，但均大于端部幅值㊂将导线在端部激励下波腹幅值大于激励振幅的现象称为振幅响应的放大效应㊂如图2所示，振动阶数相同，系统阻尼较小时，振幅响应的放大效应更加显著㊂
导线系统本身具有长柔性㊁小阻尼的结构特点，响应的放大效应对系统的风振问题有着重要影响，因为档端塔体的微小运动,
即使是较小的横向振动分量，也可能会在导线的某个地方产生较大的振动现象，这可能会成为系统风振的诱发因素㊂故下文对响应的放大效应进行了详细分析㊂
图2㊀单位周期内不同阻尼系统的响应图Fig.2㊀Respon in two different damping ratios
2.2㊀振幅的频响特性
为定量分析端部激励下振幅响应的放大程
度，引入放大系数A c ，定义为导线响应的最大振幅和端部激励振幅的比值，记作
A c =A r max /A
式中:A r max 为整档导线中的最大振幅;A 为端部激励振幅㊂显然，放大系数越大，导线振幅响应的放大效应越显著，档端横向激励对导线振幅响应影响越大㊂
由式(9)知，导线在端部激励下振幅响应的动态特性除了与系统参数(m ,T ,)有关外，主要受到激励频率(0)的影响㊂为讨论激励频率对放
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大系数的影响规律，假设端部激励振幅A =1，建立激励频率比(激励频率与无阻尼固有基频的比值)与
放大系数的动态关系，如图3㊁4所示
㊂
图3㊀振幅放大系数随激励频率比的动态特性图(=0.02)
Fig.3㊀Amplification factor with respect to boundary frequen-
cies 图4㊀系统共振时振幅放大系数包络图(=0.02)Fig.4㊀Envelope of amplitude amplification coeffic
ient for
system resonance
如图3㊁图4所示，只有当端部激励与导线某一阶的无阻尼固有频率一致或接近时，才会对导线振幅响应产生放大效应；而激励频率远离导线的固有频率时，导线的振幅响应接近于激励振幅㊂重要的是，当档端激励的共振频率发生在导线的低阶固有频率时，导线的振幅放大效应十分显著，可以达到档端激励振幅的16倍左右㊂而随着共振阶次的提高，档端激励对导线振幅响应的放大效应逐渐消失，高阶共振时导线上的振幅响应同样接近档端的激励振幅㊂
综上分析知，线路系统参数(T ㊁m )恒定，档端激励引起的导线振幅的放大效应仅与系统的阻尼()特性㊁档端激励频率的共振阶数(n )相关，为明
确两参数对档端激励下振幅放大效应的影响规律，进一步开伤感游戏名
展了如下分析㊂
2.3㊀振幅的放大效应
为明确档端激励下导线振幅响应的放大效应，构建了任意时刻导线最大振幅和档端激励频率以及导线结构特性之间的关系式，从理论上给出档端横向激励对振幅放大的形成机理㊂
设档端激励振幅榴莲的营养
A =1，由式(9)可得到任意瞬时导线响应的空间分布函数:
Y (x )=e i1x -e -i1x
e i1L
-e -i1L
(10)
㊀㊀考虑到特征根形式的复杂性和系统的小阻尼特性，将特征值1在=0处进行泰勒级数展开,
略去高阶小量后得到1的近似表达式:
1=
m2
T
(1+i 2)12m2
T
(1+i)(11)
㊀㊀上述分析知，放大效应发生在系统的共振频率下，而弦模型的无阻尼固有频率表达式
n =
n L
T
m
(n =1,2,3 )(12)㊀㊀将其带入式(11)中，得
1
n
L
(1+i)(13)
㊀㊀将(13)式带入(10)式，整理得
Y (x )=(-1)
n e i n x
L
e -n x
L -e -i n x L e n x
L e -n -e n
(14)
㊀㊀由图2知，档端激励下导线响应基本呈驻波特性，根据放大系数的定义，首先需要确定导线长度方向上最大振幅出现的位置，也就是说需要确定最大振幅Y 对应的x 的值㊂一般来说，若档端激励频率为导线的第n 阶(n 为整数)模态，则靠近档端激励的第一个波腹位置出现在:x L
=2n -1
2n ，如图2所示㊂将导线的最大振幅位置坐标带入(14)式，整
理得
Y max
=i
e n -
2+e -n +
2e n -e -n
(15)
㊀㊀式(15)即为档端激励频率同步为结构固有频率整数倍时，导线各阶振动的最大振幅㊂
分析(15)式知:
(1)若n 较小，对指数函数进行级数展开,
取其前两项，可将式(15)简化整理为
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陈晓娟，等：档端横向激励下架空导线的振幅响应特性
㊀Y max =
i n
(16)
㊀㊀(16)式表明，当n 很小时，档端激励下导线
振幅的放大系数近似为1/n ()㊂当阻尼比为
0.02时，计算得振幅放大系数分别为15.92,7.96,5.31，与图3中对应位置峰值非常接近㊂(2)若n 很大(实质是n 很大)，根据指数
函数的单调特性知，存在关系式e n >>e -n ㊂此时振幅响应的放大系数近似为
Y max口臭怎么去除小窍门
=i (17)㊀㊀(17)式表明，当导线档端激励频率与导线的高阶频率同步时，振幅的放大系数约为1，这与图
3所示结果是一致的㊂
分析表明,n的乘积对于档端激励下导线的
响应特性有着重要影响，不仅决定了导线响应是否存在放大效应以及振幅放大的程度，而且当其值较小时，还能够定量计算响应的放大系数，该组合参数是档端激励下导线振幅响应放大的控制参数㊂
3㊀分析与讨论
㊀㊀综上所述，档端塔体的微小运动，即使是较小的横向振动分量，也可能会在导线的某个地方产生较大幅值的振动，成为诱发长柔线路风致振动现象的因素，这可能是档端随机运动中无法预料到的㊂分析表明档端横向激励下导线振幅响应的放大效应同时受到系统参数和激励参数n 的影响㊂
从系统的阻尼特性知：随着系统阻尼的增大，档端激励引起的线路振动的放大效应逐渐减小㊂因而档端激励对线路的影响主要出现在小阻尼系统中，而实际导线由于自身的长柔性和多股绞合结构，其自身阻尼不足，是引起线路风振的重要原因之一㊂
从系统的频响特性知：档端横向激励的放大效应与激励频率同步阶数密切相关㊂档端横向激励频率同步在导线的低阶频率时，导线对档端运动极为敏感，档端的随机微小运动就可能引起线路某处的大幅运动，给导线输入波动能量，因而在导线低阶舞动的机理研究中，特别是无覆冰或薄覆冰线路的舞动问题，档端的位移激励应该作为重要因素加以考虑；档端激励频率同步在系统的高阶频率时，导线对档端运动的敏感性下降，导线
系统的响应与档端横向位移基本一致，振幅放大效应消失㊂因而在导线高阶微风振动问题的研究中，档端横向激励对其产生的影响可不予考虑㊂
4㊀结㊀论
㊀㊀
为掌握档端横向激励下架空导线振幅响应特
性，着重考虑架空导线的长柔小阻尼特性，建立了恒定阻尼张紧弦模型在端部横向简谐激励下的强迫
振动模型，推导出模型稳态振幅响应的封闭解，主要研究结论如下:
(1)组合参数(n)可作为档端激励作用下导线振幅放大效应和放大程度的判别参数㊂
(2)在架空导线的风致振动研究中，即使档端的运动幅值很小，也不能忽略其影响，尤其是档端的运动频率同步在结构的低阶频率时㊂
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