课改探微
新课程
NEW CURRICULUM
随机变量的独立性是概率论研究的一个重要知识点，由于独立随机变量有很多非常良好的性质，所以初等概率论中很多的基本理论都是在独立随机变量的基本假设下建立的。而如何对随机变量相互独立的含义进行准确把握和理解也是很多老师和同学们非常关心的话题，其中随机变量的独立性与随机变量间是否存在
函数关系常常容易被混淆，例如，相互独立随机变量是否就意味着它们没有函数关系呢？独立随机变量的函数是否还相互独立呢？本文就对随机变量独立性和随机变量间函数关系二者之间的区别和联系进行了辨析。
一、随机变量独立的定义
定义1：设随机变量ξ、η满足：对任意x ，y ∈R ，有P （ξ≤x ，η≤y ）=P （ξ≤x ）P （η≤y ）则称随机变量ξ，η相互独立。
从定义可知，两个随机变量相互独立即是它们的联合分布函数等于各自分布函数的乘积。对于离散型和连续型随机变量而言，独立的定义等价于联合概率函数，等于各自概率函数的乘积，或者联合密度函数等于各自密度函数的乘积。
二、随机变量的独立性与函数关系
e book从直观的角度来理解，两个随机变量独立是指它们的各自取值在概率测度P 下的分布规律互不影响，而不是随机变量本身函数值大小满足一定的约束条件。
一个自然的问题就是，随机变量独立和它们之间存在函数关系有什么区别呢？我们这里就列举出一些事实，来帮助大家来辨析上面的问题。
首先，有函数关系的两个随机变量不一定不独立，我们可以举例如下：
例1.设ξ，η为独立同分布随机变量，均服从b （1，p ），p=12
，则（ξ，η）的联合概率函数表如下：
表1（ξ，η）的联合概率函数表
令ζ=1
ξ+η为偶数，
即ζ与ξ间存在函数关系式，且ζ也服从b （1，12），进而可知（ξ，ζ）的联合概率满足P （ξ=0，ζ=0）=P （ξ=0，η=0）=14
=P （ξ=0）P （ζ=0），同理P （ξ=1，ζ=0）=P （ξ=1）P （ζ=0），P （ξ=0，ζ=1）=P （ξ=0）P （ζ=1），P （ξ=1，ζ=1）=P （ξ=1）P （ζ=1），即ξ与ζ相互独立。
事实上，独立性描述的是随机变量在概率空间中的概率分布性质，函数关系是两个随机变量间的函数值关系，由于随机变量的概率分布函数和随机变量不是一一对应的，所以即便两个随机变量存在函数关系式，也不能说二者就一定不会独立。其次，关于独立随机变量函数的独立性质，我们有如下的结果。引理1
设ξ1，ξ2，…，ξn 为相互独立随机变量序列，
phaone
对任意1≤k<n ，若f ：R k →R 和g ：R n-k →R 为波莱尔可测函数，则随机变量f （ξ1，ξ2，…，ξk ）与g （ξk+1，…，ξn ）相互独立。
从引理1可知，若两个随机ξ，η变量相互独立，f 和g 为一元实
值连续函数，则f （ξ）和g （η）也独立。特别地，ξ，η相互独立，则ξ2与η2相互独立。但反过来若ξ2与η2相互独立，ξ与η则不一定相互独立，举例如下：
例2.设连续型随机变量（ξ，η）的联合密度函数为
f （x ，y ）=14
（1+xy ）
x <1,y <10
其他
，
令ζ1=ξ2，ζ2=η2，则ζ1的分布函数F ζ1（x ）满足：当0≤x <1时，F ζ1（x ）
=P （ξ2≤x ，η∈R ）=14
x
√-x
√∫
1-1
∫（1+sy ）d y d s =x
√故ζ1的密度函数为f ζ1（x ）=
2本分数线12x
√0≤x <10
同理ζ2的密
度函数为f ζ2（y
）
=1
2ylen
√0≤y <10
其他交际口才
进一步可得（ζ1，ζ2）的联合密
度函数为f ζ1ζ2（x ，y ）=14xy
√0≤x <1,0≤y <1,0
其他
显然对∀x ，y ∈R ，有f ζ1ζ2（x ，y ）=f ζ1（x ）f ζ2（y ），即ξ2与η2相互独立。另一方面，ξ与η的分布函数分别为：ξ~f ξ（x ）=+∝
-∝
∫
f （x ，y ）d y =1
2x <10其他
{
，η~f η（y
）=+∝-∝
∫
f （x ，y ）d y =
12
y <1
其他
{
因此，∃x ，y ∈R ，有f （x ，y ）≠f 1（x ）f 2（y
），即ξ与η不相互独立。表面来看，上例和引理1似乎存在矛盾，而事实上并非如此，因为ξ，η并非分别是ξ2与η2的单值函数。最后，若随机变量ξ，η相互独立，f 和g 为二元实值连续函数，则f （ξ，η）与g （ξ，η）未必一定独立，
举例如下：例3.设ξ，η独立同分布，P （ξ=i ）=16
，i =1，2，…6。令ζ1=ξ+η，随机变量独立性与变量间函数关系的辨析
解俊山
邓未冰
（河南大学数学与信息科学学院）
摘要：就随机变量独立性与随机变量间是否函数关系、独立随机变量的函数是否独立等知识点进行了辨析，
列出了一些相应的反例。
关键词：随机变量；独立性；函数关系中国分类号：O211.5
文献标识码：A
其他
84--
.com. All Rights Rerved.
课改探微
新课程
NEW CURRICULUM
ζ2=ξ-η，则ζ1与ζ2取值同为奇数或偶数，进一步有P （ζ1=3，ζ2=2）=0≠P （ζ1=3）P （ζ2=2），故ζ1与ζ2不相互独立。
然而相同的二元函数关系式ζ1=ξ+η和ζ2=ξ-η作用在二维正态
分布随机变量（ξ，η）上，我们有不同的结论，具体如下例：例4.若（ξ，η）服从二维正态分布N （m 1，σ1
2
；m ，σ2
2；ρ），其联合密
度函数为
f （x ，y ）=（2π）-1
Σ
-1
2
vegetable是什么意思exp -（X-M ）′Σ-1
（X-M ）
2
{
}
其中X （x ，y ）′
，M=（m 1，m 2）′
,Σ=
σ12
ρσ1σ2ρσ1σ
2
σ22
{}，Σ
accud
为Σ对应
行列式的值，这里M 和Σ分别为（ξ，η）的均值向量和协方差矩阵。若取二维随机变量（U ，V ）满足U =ξ+η-m 1-m 2，V =ξ-η-m 1+m 2，也即
U U {}=1
1
1
-1
{}ξ-m 1
η-m 2
{}:=A
ξ-m 1
η-m 2
{}
，
利用多元正态分布的性质，可知（U ，V ）的联合密度函数为g （u ，ν）=（2π）-1
Σ
-1
2
exp -（u ，ν）Σ0-1（u ，ν）′
2
{
}
即（U ，V ）仍服从二维正态分布，其协方差阵为Σ0=A ′ΣA=
σ12+2ρσ1σ2+σ22
σ12-σ22
σ12-σ22
σ12-2ρσ1σ2+σ22
{
}。
利用多维正态分布随机变量相互独立和不相关的等价性，当Σ0为对角阵时，即σ12=σ22时，随机变量U 和V 相互独立，
进而可得随机变量ζ1=ξ+η和ζ2=ξ-η也相互独立。上面两个例子中f （ξ，η）和g （ξ，η）同为ξ和η的二元函数，这也与引理1的条件不符，所以也与引理1的结论也不矛盾。本文就两个随机变量相互独立与随机变量的函数关系问题进
行了辨析，从中我们可知随机变量是否独立性和随机变量间是否存在函数关系是有区别的，不能仅将
是否存在函数关系作为随机变量独立的判别条件，同时也不能将函数关系间的性质平行推广到随机变量的独立性上面，准确理解这一点将有助于我们在实际
教学和学习中对随机变量的独立性进行更深入的理解和把握。
参考文献：
［1］邓集贤.概率论及数理统计（上册）［M ］.4版.北京：高等教育出版社，2009.
［2］李贤平.概率论基础［M ］.2版.北京：高等教育出版社，1997.［3］王梓坤.概率论基础及其应用［M ］.北京：北京师范大学出版社，2007.
［4］Rao ，M.M.，Swift ，R.J..Probability Theory with Applications ［M ］.Springer,USA ，2006.
注：本文得到河南省教育厅重点科研项目（13A110087）资助。作者简介：解俊山，男，1981年3月出生，主要研究方向为应用概率统计。
•编辑谢尾合
语文学科的教学功能是多重性的，它既有培养听、说、读、写能力的工具性，又有陶冶情操的思想性。把思想道德教育落实到语文教学中，应注意以下几点：一、重视挖掘课本中的教育因素
学习一篇文章，不能片面地就字论字，
就句论句，不能脱离思想因素而讲究篇章知识结构，而要深入挖掘蓄含其中的思想性，
树立学生格物、致知、诚意、正心、修身、
齐家、治国、平天下的崇高理想。例如，著名诗人陆游年老卧病忧思为国戍边，
学习“王师北定中原日，家祭无忘告乃翁”，使这个“自古男儿———放翁”深深地感染学生的心灵，诱发爱国情感，
达到思想教育的目的。二、注意将教材内容和学生的思想实际联系起来
学生思想单纯、感情真挚、易受感动，一切美好的东西都会影响他们的感知、记忆和思维，语文教学中明确了课文中心思想后，
还要实事求是，恰如其分地去触及学生的真实感想，
使他们在潜移默化中验证自己，从而使他们正心、
正德、正见、正行，例如，《草原》展示的是祖国的壮丽山河，书写的是蒙汗情怀，
激发学生的自豪感和爱国情怀。
三、让学生做到言行一致
语文教学中的思想不是简单地借题发挥、
夸大其词，而应是行之有效的手段、立竿见影的效果。学生领略了语言文字中的思想内容，就要使其渗透到行动中，时时约束自己的行为，
事事成为别人的模范，使充满鲜花和阳光的语文教学，成为他们获取知识的源
泉、茁壮成长的甘露。doukee
四、思想道德教育必须依赖语言文字去实现
语文教学和思想道德教育是辩证统一的。读一篇文章，语言文
字的形成和它所表达的内容是作为一个整体呈现出来的，写一篇文章所要表达的思想内容和采取的语言文字的形式也是作为一个整体表现出来的。因此语文课的思想道德教育必须在语言文字的训练中进行。例如，教学《最后一课》
要体会到爱国主义思想就必须着眼于自然的语言、动人的情节和主人公的感受。
只有将课文的知识性和思想性有机地结合在一起，
才能在不断提高学生语言文字水平的同时，使他们深刻领会到课文的思想内涵，
促进二者同时提高。总之，传道、授业、解惑是教师的天职，
具体到语文教学的实践中去，就是文道合一、教书育人，只要沿着传授知识、培植道德的思路走，我们才无愧于人类灵魂的工程师。
2016研究生国家线•编辑谢尾合
把思想道德教育落实到语文教学中
李福海
image me without you（青海省大通县第一完全中学）
摘要：教师应注重发挥语文教学中思想道德教育的功能，应注意挖掘教育方式，塑造学生良好的思想品德，从而在语文教学中有效地落实思想道德教育。
关键词：思想道德教育；落实；语文教学
ω
85--
.com. All Rights Rerved.
