滤波投影反投影公式推导
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关于CT重建的算法有很多，在这⾥给⼤家介绍的是滤波反投影算法，其原理如下：
设f(x,y)表⽰需要重建的图像，⽤p(t,θ)表⽰在⾓度获取的f(x,y)的⼀个平⾏投影，t表⽰投影射线到对称中⼼（即旋转中⼼）的距离，设s为于⾓度θ下的投影X射线平⾏的坐标轴，它与t所在的坐标轴垂直，则：
零基础学音标（1）
对p(t,θ)进⾏⼀维傅⾥叶变换
（2）
将（1）代⼊（2）式得到
（3）
图1 图像空间坐标系和投影空间坐标系
由上图可以看出，q 点在xoy坐标系内的坐标
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x = Rcosα, y= Rsinα, 式中R为q点到原点的距离。
同样 q点在 tos中的坐标为：
t = Rcos(a-θ)= x cosθ+y sinθ (4)
s = Rsin(a-θ) = ycosθ - xsinθ (5)spellbound
tachi将（4）（5）式代⼊（3）得到
（6）
56届格莱美颁奖典礼图像f(x,y)的⼆维傅⾥叶变换为F(u,v)
(7)
令u = w cosθ, v = w sinθ，则die hard
builtF(wcosθ,wsinθ)=P(w,θ) (8)
由傅⾥叶变换知，图像函数f（x,y)可以通过其傅⾥叶反变换F(u,v)中恢复，即
(9)
令 u = w cosθ, v = w sinθ，并根据(8)
(10)
股本金利⽤对称关系P(w,θ+ π) = P(-w,θ),(9)式变为
(11)
如果令 (12)
则(11)式重写为
(13)
上述(12)(13)就是滤波反投影的主要公式，(12)中的|w|表⽰滤波函数。
滤波器的设计与选择
在滤波反投影重建算法中，滤波器的设计是关键。理想的滤波器是频带⽆限的V型滤波函数，在⽆穷
积分区间上的积分发散，根据佩利⼀维纳准则 ，这⼀理想滤波器是不可实现的。但是如果结合具体的成像过程，则不但能够实现，⽽且可以达到⾜够的精度。为此，需要对理想滤波函数进⾏加窗处理，即只保留滤波函数的低频段。常⽤滤波函数如下⼏种
Ramp-Lak滤波器，它实际上是直接截断V型滤波器⾼频部分的结果，该滤波函数的特点是形式简单．重建的图像轮廓清楚。缺点是由于在频域中⽤矩形窗函数截断了滤波函数，在相应的空域中会造成振荡响应．即Gibbs现象。
把Ramp-Lak滤波器与sin(x)/x进⾏卷积，就得到Shepp-Logan滤波器。⽤Shepp-Logan滤波器重建的图像中振荡相应较⼩，对含噪声的数据重建出来的图像质量也较Ramp-Lak滤波函数要好。但是由于该滤波函数在⾼频段偏离了理想的滤波函数|w|，因⽽重建图像在⾼频段的响应不如R-L滤波函数。
其它常⽤滤波器还有Hamming滤波器，它是通过Ramp-Lak滤波器与Hamming窗进⾏卷积⽽得到。Hanning滤波器，它实际上是Ramp-Lak滤波器与Hanning窗进⾏卷积。hat的中文意思是什么
关于其他CT重建技术，请参考本⼈的上⼀篇⽂章
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