利率衍生品的定价研究——基于LIBOR市场模型
蒋承;郭黄斌;崔小勇
【摘 要】the middle利率衍生品发展迅速,是当今国际金融市场上交易最为活跃、流动性最强的金融工具之一.但相比于权益类及外汇类衍生品而言,利率衍生品的结构要复杂很多,估值也要困难得多.因此,对许多利率衍生品的估值而言,有必要开发出描述整个收益率曲线概率行为的模型.本文从实践的角度,实现了UBOR在定价利率上限中的应用.在UBOR市场模型参数的校准基础上,本研究首先得到了远期利率的瞬时波动率,然后利用蒙特卡洛模拟法与构建二叉树的方法对利率上限进行定价,并且将定价结果与Black模型的定价结果进行了比较分析.
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【期刊名称】《金融理论与实践》
广交会翻译【年(卷),期】2010(000)002
magict【总页数】7页(P3-9)
【关键词】利率衍生品;UBOR市场模型;瞬时波动率
as if【作 者】蒋承;郭黄斌;崔小勇
【作者单位】北京大学光华管理学院,北京,100871;中国银行间市场交易商协会,北京,100080;中央财经大学中国经济与管理研究院,北京,100081
【正文语种】中 文
达令的英文【中图分类】F832.2
一、前言aht
相比于权益类及外汇类衍生品而言，利率衍生品的结构要复杂很多，估值也要困难得多，做出这样的判断是基于如下理由①Hull John,《期权、期货和其他衍生品》，第五版，第508页。：单个利率的概率行为比股票价格或者汇率的概率行为要更加复杂与不可预测；对许多利率衍生品的估值而言，有必要开发出描述整个收益率曲线概率行为的模型；整条收益率曲线上，不同时点上的利率的波动率是不同的；利率不但被用来确定利率衍生品在未来某一时间点上的支付情况，而且用于折现这些支付，以确定衍生品的价格。由此可见，利率衍生品的定价研究面临的挑战也要更大些。涌现出大量不同假设条件的利率模型
研究利率衍生品的定价问题，其中就包括Black模型，这是定价利率衍生品的标准模型，该模型原本是为定价商品期货期权而开发的，但是在后来的应用过程中，发现其在金融工程的许多其他方面都适用，包括定价利率衍生品。Black模型在利率衍生品定价的应用中，假设标的利率服从对数正态分布和假设波动率是常数，这与金融市场中的实际情况不符合，是该模型固有的缺陷之所在。20世纪90年代末期开始， 经过 Brace，Gatarek，Musiela（1997），Jamshidian（1997），Miltern，Sandmann，Sondermann （1997） 等人的共同努力以及不断发展与完善，在金融工程领域引入了著名的LIBOR市场模型，并且迅速在利率衍生品的定价和风险管理等方面得到了广泛的应用。
二、关于LIBOR市场模型的文献综述
K.Miltern,K.Sandmann和D.Sondermann于1997年建立了 LIBOR市场模型。此后，Brace，Gatarek和Musiela（1997）对该模型进行不断的改进与发展，将该模型确定为能够应用于实践中的标准模型，因此LIBOR市场模型在金融理论与实务界也被称为BGM模型，以此来纪念这三位伟大金融学家的原创性工作。在实践的应用中，利率上限/下限、互换期权等交易活跃的利率衍生品的定价，通常是假设这些利率衍生品的标的利率服从对数
正态分布，而且其分布的漂移项均为零，在这样的假设条件下，利率衍生品定价的标准公式为Black模型（1997）。然而，在无套利定价的假设条件下，连续时间区间的远期利率之间是相互关联的，因此这些不同时间区间的远期利率在同一无套利测度不可能都满足对数正态分布。
Jamshidian（1997）展示了通过套利的方式来定价与对冲LIBOR和互换衍生品的一种理论。他确定了适当的支付同一性与可测性条件，由此来确保可以通过自我融资的交易策略来获得给定的支付。因为LIBOR与互换衍生品均满足该条件，表明它们通过有限数目的零息债券来进行定价与实现对冲。该文介绍了无套利定价系统并且建立了相等价的标准，在此基础上，得到了远期LIBOR利率与互换利率期限结构的随机偏微分方程；并且证明了，如果远期LIBOR利率与互换利率的满足的波动率函数是有界的话，那么他们满足的随机偏微分方程有唯一的正值解，说明了这种波动率期限结构下的无套利模型的存在性。John Hull（1999）在LIBOR市场模型的框架下，找到了定价欧式互换期权的一种近似方法，并且利用市场数据证明了该近似方法的合理性与高精度的性质，证明了该近似方法是一种实现迅速并且定价准确的方法，对LIBOR市场模型进行了扩展。通过对互换期权定价的近似方法，使得将市场中观察到的利率上限的波动率转换到欧式互换期权的波动率成为可能。
该文的主要贡献之一就是给交易员提供一种简单易用的方法，实现从利率上限的波动率（由市场经纪者提供）到互换期权波动率（市场经纪者并不提供）的转换。同时，该文也简化了通过利率上限与欧式互换期权的市场价格来校准LIBOR市场模型参数的过程。
考研考场
C.J.Hunter，P.Jackel和 M.S.Joshi(2001)研究了基于远期利率的LIBOR市场模型对应的随机偏微分方程的漂移项的不同近似计算方法。该文提出了predictor-corrector方法，该方法允许较长的时间步长，并且并不是得到对数正态的概率密度函数。采用predictor-corrector方法，可以在刚才提到过的较长时间步长上近似得到远期利率的漂移项，从而得到LIBOR市场模型对应的远期利率的随机偏微分方程的近似解，这也大大地减少了计算时间。本文通过实例证明了predictor-corrector方法在利率衍生品定价中的准确性，特别地，我们证明了在每一个单独的时间步长里，可以得到长达20年的远期利率。Paul Glasrman（2001)认为，在利率衍生品定价中的一个重要进步就是在保持利率稳定性的同时，利率模型包含了远期利率或者互换利率的对数正态的波动率期限结构。而LIBOR市场模型的显著的吸引人的特征之一就是该模型计算出的利率上限的价格与互换期权的价格与Black模型计算出来的结果是一致的，因此可以通过利率衍生品的市场价格来校准LIBOR市场模型的参数。
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我们在本文中介绍了一种对LIBOR市场模型进行离散化处理的方法，采用该离散化方法，可以保持LIBOR市场的无套利性，而且离散化处理后能够保持利率是正值。该方法将LIBOR利率或者互换利率转化为正的鞅，然后对这些鞅做离散化处理，进而从这些离散化的变量来重新获得LIBOR利率与互换利率。可以看到，该方法并不是直接对利率作离散化处理的。通过该方法，可以采用离散化后的变量对任意到期期限的利率上限切片进行定价，定价的结果是没有误差的。本文也采用数值方法计算了其他利率上限切片与互换期权的定价精确性，从而验证模型参数校准的准确性。从数值计算的结果来看，本文介绍的对LIBOR市场模型对应的随机偏微分方程的离散化处理的方法，得到的定价的结果要比其他的离散化处理方法得到的定价结果要更加精确。
发誓的意思LIBOR市场模型的基本假设条件是LIBOR利率满足对数正态分布，然而，在越来越多的利率上限与互换期权市场上发现，该假设条件是不能够满足的。特别地，利率上限切片与互换期权的隐含Black波动率通常是执行价格与息票的单调下降函数，这表明了相比于对数正态分布而言，实际中的远期利率的分布具有明显的厚尾部分，这就是所谓的波动率（skew），这种现象在日本市场上是非常的明显，同时在美国与德国市场上也存在这种波动率。这种现象的出现，激励建模者对LIBOR市场模型进行扩充，建立新的模型，要求离
散化的远期利率的扩散系数均为远期利率本身的非线性函数。本文总结了一类这样的模型，称之为扩展的市场模型。这些模型的特征是远期利率的扩散项是可分离的（parable）。在此意义下，说明远期利率的扩散项可以表示为通常意义的时间与到期期限相关的乘积函数，并且是具有时齐性特征的远期利率的非线性函数。本文说明了可分离形式的扩散系数是可追踪的，而且通过一维向前或者向后的偏微分方程的数值解法能够快速的利用利率上限切片的价格来校准LIBOR市场模型的参数。本文尤其将重点放在了一般化的常数弹性波动率（CEV）过程上，利用该过程，可以得到利率上限与互换期权价格的表达式，在此基础上，作者还对常数弹性波动率的过程作了一些修改，使其具有更为吸引人的特性。最后，本文利用Crank-Nicholson有限差分法和蒙特卡洛模拟法对其提出的模型作了数值化检验。
Andern and Andrean (2000)利用常数弹性方差（CEV）LIBOR市场模型,考虑了波动率，得到了利率衍生品定价的封闭式解形式，这种解的形式与标准的LIBOR市场模型得到的解的形式很相似，因此被广泛应用于LIBOR市场模型的参数。John Hull（1999）研究了如何运用标准的LIBOR市场模型定价利率上限以及欧式互换期权，同时应用Andern等（2000）提出的扩展LIBOR市场模型，将观察到的利率上限的波动率转化到应用于欧式互
换期权的波动率，进而对互换期权进行定价。Joshi Rebonto（2002）采用 Displaced Diffusion（DD）过程得到利率上限的封闭形式解；CEV模型与DD模型的缺陷在于假定波动率的单调性，这与市场观察到的波动率的情况不完全一致。Joshi Rebonato（2002）将随机波动率引入到模型中，极大地扩展了模型的应用。但是从目前的文献研究来看，国内理论界及实务界对LIBOR市场模型均还没有公开的研究成果发表，也尚未有使用LIBOR市场模型实现利率衍生品定价方面的研究成果出现。
