河北联合大学
第9章 常微分方程初值问题数值解法
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§9.1 欧拉方法 §9.2 改进的欧拉方法
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1. 常微分方程初值问题右端函数f 满足什么条件时解存在唯一？ 答：一阶常微分方程的初值问题
⎪⎩⎪⎨⎧==
)(),(00y x y y x f dx dy （1）当函数),(y x f 在b x a ≤≤上连续，且关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件
y
y L y x f y x f -≤-),(),(L 为常数。初值问题（1）有解)(x y ，且惟一。
2.什么是Euler 法和向后Euler 法？它们是怎样导出的？ 答：(1) Euler 方法：基本思路是用差商近似导数。
在等距节点nh x x n +=0),,2,1,0(N n =上，用向前差商h
x y x y n n )()(1-+代替)(n x y '，然后代入式（1）中的微分方程，则得
))(,()()(1n n n n x y x f h
right是什么意思x y x y ≈-+ ),1,0( =n 化简得
))
(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似
mr是什么意思值，记为1+n y ，则有
),(1n n n n y x hf y y +=+ ),1,0( =n
按此式由初值0y 可逐次算出12,, y y ，这就是Euler 方法
(2)向后Euler 方法如果用向后差商公式h
x y x y x y n n n )()()(11-≈'++代替导数，则得计算公式1110
(,) (0,1,)(0) +++=+=￬￬=￬ n n n n y y hf x y n y y 用这组公式求初值问题（1）的数值解称为向后Euler 方法。sharperatio
3.解释Euler 法的局部截断误差。
答：假设)(n n x y y =是精确的，估计误差111)(+++-=n n n y x y R ，这种误差称为局部截断误差，简称截断误差。估计截断误差通常用Taylor 展开法，即将函数)(x y 在n x 处展开
roomster+''+'+=+)(2
)()()(2
n n n n x y h x y h x y h x y 下面讨论Euler 公式的局部截断误差。由上式知
)()(2
)()()()(22
1h o x y h x y h x y h x y x y n n n n n +''+'+=+=+ 又由Euler 公式得
)
()(),(1n n n n n n x y h x y y x hf y y '+=+=+将上面两式相减得 )()()(2
)(23211h o h o x y h y x y n n n =+''=-++ 上式说明Euler 公式的局部截断误差为=-=+++111)(n n n y x y R )(2h O 。
4.何谓单步法的局部截断误差？何谓数值方法是p 阶精度？答：（1）假设)(n n x y y =是精确的，估计误差111)(+++-=n n n y x y R ，这种误差称为局部截断误差，简称截断误差。
（2）如果某种数值方法的局部截断误差为1()+p O h ，则称该方法是p 阶方法或具有p
阶精度。显然p 越大，方法的精度越高。Euler 方法是一阶方法，梯形公式为二阶方法。5.给出梯形法
和改进欧拉法的计算公式，它们是几阶精度的？答: (1) 梯形法
对初值问题（1）中的方程两端积分，得
dx x y x f x y x y n n x x n n ))(,()()(11⎰
+=-+ ),1,0( =n 用梯形公式计算右端积分，即))](,())(,([2
fuck the pain away
))(,(111
+++≈⎰+n n n n x x x y x f x y x f h dx x y x f n n 并用1,+n n y y 代替)(),(1+n n x y x y ，得
)],(),([2
natural是什么意思
111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 这就是求解初值问题（1）的梯形公式。梯形公式的局部截断误差为
)()()(12
)(3431very much
11h O h o x y h y x y R n n n n =+'''-=-=+++所以梯形公式是2阶精度的。
(2) 改进Euler 法。
先用Euler 公式求1+n y 的一个初始近似值1+n y ，称为预测值，预测值1+n y 的精度可能很差，再用梯形公式校正求得近似值1+n y ，即
⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++ )],(),([2 ),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 校正预测称为由Euler 公式和梯形公式得到的预测－校正(Predictor-Corrector)系统，也叫改进的Euler 法（Adaptive Euler Method ）。
为便于上机编程，改进的Euler 法公式常改写成
⎪⎪⎩
西安android培训⎪⎪⎨⎧++==++=+ ),( ),( )(2121211hK y h x f K y x f K K K h y y n n n n n n 利用Taylor 展开可以证明，改进Euler 法的局部截断误差为)()(311h O y x y n n =-++，故它是2阶精度的。
