经 济 数 学
JOURNAL OF QUANTITATIVE ECONOMICS
第36卷第1期2 0 19年3月
Vol. 36, No. 1Mar. 2 0 19
基于媒体报道的Filippov 传染病
模型的全局动力学”
边彩莲I ，黄立宏王佳伏2
(1.湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙410082； 2.长沙理工大学数学与统计学院，湖南长沙410114)
摘要在经典传染病模型的基础上，通过考虑阈值策略，研究了一类基于媒体报道的不连续的传染
病模型.利用Filippov 意义下的右端不连续微分方程理论，对闻值策略下传染病模型的动力学行为进行了 定性分析，并利用Poincare 映射研究了无病平衡点、地方病平衡点及伪平衡点的全局渐近稳定性.
关键词媒体报道:Poincare 映射；全局渐近稳定中图分类号0193
文献标识码 A
Global Dynamics of Filippov Epidemic Model under Mediacoverage
BIAN Cailian 1, HUANG Lihong 1-2, WANG Jiafu 2
(1. College of Mathematics and Econometrics , Hunan University ^Changsha , Hunan 410082, China ;
2. School of Mathematics and Statistics 3Changsha University of Science and Technology Changsha , Hunan 410114 ,C/zzna )
Abstract Bad on the classical epidemic model, by considering the threshold policy , a class of discontinuous epidemic
model bad on the media coverage was studied. The dynamical behaviors of the epidemic model under the threshold policy were qualitatively analyzed by using the theory of the differential equation with a discontinuous right-hand side in Filippov n. In
addition,the global asymptotical stability of a free equilibrium ,endemic equilibrium or pesudo-equilibrium was investigated by Poincare maps as well.
Key words media coverage ；Poincare map ； global asymptotical stability
1引言
传染病的流行对人类的生活甚至生存带来了极 大的危害.媒体报道可通过降低疾病的传染率有效
控制疾病的传播.近年来，媒体报道对疾病传播的影
响越来越受到人们的关注〔-幻，诸多学者开始研究
媒体报道对流行病传播过程的影响X 。CoHinson
和Heffernan™研究了媒体报道对SEIR 流感病毒 的影响，陈瑶茁等研究了带有媒体报道的H7N9传 染病模型等.鉴于前人所做的工作"7〕，本文考虑 了阈值策略，研究了在媒体报道影响下的Filippov
billie holiday* 收稿日期:2018-09-11
基金项目：国家自然科学基金资助项目( 11771059,11301551)，湖南省自然科学基金资助项目(2017JJ
3525)和湖南省工程数学建模与
分析重点实验室
vuvuzela
作者简介：边彩莲(1993-).女，甘肃定西人，硕士研究生
E-mail : 2493128530@qq. com
第1期边彩莲等：基于媒体报道的Filippov传染病模型的全局动力学85
传染病模型.
考虑的传染病模型为:
[dS
d7
=A—肖I—as,
(1)
不=A】_讷_A/.
其中SJ分别代表易感者和感染者的数量，模型中所有参数均为正常数,A是人口补充率，0为有效感染率，；I是自然死亡率，少是因病死亡率.假设已感染人数在易感染的总人数中所占比例小于一个正常数（即£<$）时，媒体仅作适当报道或不作任何报道，一旦该比例大于此正常数（即£>$），媒体将会加大对疾病报道的力度，提醒人们采取相应措施避免疾病传播，此时感染率0将会减小，感染人数亦会减少.
在本文中，取P为以下的不连续函数
»‘£<&
“I
A，s>?'
其中向>02•
本文的其余部分安排如下：在第2节中，对模型作了描述且给岀了一些初步结果，并构造了适当的全Poincare映射.在第3节中，利用全Poincare映射及其性质研究了各类平衡点的全局渐近稳定性，并在第4节中得出结论.
2模型描述及预备知识
在上述的阈值策略下，相平面（S,/）被分为以下三个部分：
2~={(S,Z)e Ri|z<Sf},
f={(S,1)G R]I/>Sf},
5=<(S,D e Ri初=妄},
这里Rl={(S,I)|S>0,/>0}，则在区域h 中，模型(1)可写作
兽=A一y3i SI—AS,
打(2)
/=SI—rjl—Al.
在区域才中，模型(1)可写作
常=A—02SI—入S,
<1(3)
乌=02SI_讣_XI・
记F](SJ)=(A—jSi SI—AS，仔i S7—t}I—Al)1,F?(S,J)=(A—念SI—AS，血SI——Al)1.于是，系统(1)可以写成如下的Filippov系统:
[f,(s.z),(s./)e s-,
\dl'[F2(S,J),(S,D6r.(4)
定义1如果Filippov系统（4）的平衡点（S*，厂）满足下列条件之一：
F】（S*，厂）=0，厂<S*f；F2（S*，厂）=0, r>s飞，则称点（S*，厂）为系统（4）的实平衡点•否则，如果点（S*，厂）满足以下条件之一：F】（S*，厂）=0，厂>S*&F2（S*，厂）=0, r<s飞，则称点（S*，厂）为系统（4）的虚平衡点.
定义2如果点（S*，厂）是Filippov系统（4）的属于滑模域上的平衡点，即点（S”，厂）满足aFi+（1~a）F2=0及厂=S
*£，这里的a=“严了，0<aVl，则称点（S",/■）%Fil-ippov系统（4）的伪平衡点.
2.1解的正值性和有界性
步兵团从生物学的观点，需要证明模型（1）具有正初值的解的正值性和有界性.ferry
引理1令（S（t）.I（t））是模型（1）的满足初值条件S（0）=S o>0,1（0）=?。$0的解，定义区间为[0,T），其中T e（0,+8].则对所有的[0, T），有S（t）>0,1（«）>0.[12]
引理2模型（1）满足初始条件S（0）=So> 0,1（0）=!。$0的解的存在区间可延拓为[0,+8），且所有的解都是有界的.〔⑶
2.2子系统的动力学分析
在这一部分，主要分析了子系统（2）和（3）的动力学行为.对于子系统（2），基本再生数为Rm=肛£爲.令F I（S,I）=0，则系统（2）存在唯一的
A
matter什么意思
无病平衡点Eo=（伞,0），且当R01>1时，系统（2）
人
存在唯一的地方病平衡点E,=（S；,；,*）=（彳护,
01
帛-詁•相应地，对于子系统⑶，基本再生数为
K o2=a7^)-
令F2（S,/）=0，则系统（3）存在唯
一的无病平衡点E o=E o=（伞,0），且当R02>1
A
86经济数学第36卷
时，存在唯一的地方病平衡点E2=（S；，/;）=（人+”A_A s
依’入+少/?2
命题1若Roi>1，则子系统（2）在区域h有唯一的全局渐近稳定的地方病平衡点Ei；若Rg> 1，则子系统（3）在区域才中有唯一的全局渐近稳定的地方病平衡点E2.
证明根据文献[13]，系统（2）可转化为
將=一入（S—S：）—向（S—S：）1-
<；晴:（z-ir）,
#=0、I（S_S；）.
考虑Lyapunov函数
v-（s,z）=y（s-sr）2+
s;a-I；一I；In£）.
11
由于気V（S,n=—U+PM）（S—s；）2=0,
故&为子系统（2）的全局渐近稳定的平衡点.
类似地，考虑Lyapunov函数
V+（SJ）=y（S-S；）2+
S；（I—I；—Z2*In£）.
12
由気v+（S,D=-（A+^2I）（S-S z*）2£0可
得，E2为子系统（3）的全局渐近稳定的平衡点.
2.3滑模动力学
这一部分内容，主要描述Filippov系统（4）的滑模动力学行为，包括滑模域和伪平衡点等.
取法向量n=（―&1），则
〈F】，〃〉=£（g+1）0i S?—r^S—Af,
〈F2,〃〉=£（£+1）他S?—朮S—A&
由〈Fi,zi〉・<F2,n><0得
乃+J十+4向（£+1）A三£
2伶（W+l）7J
乃+%/乃2+4念（g+]）A
202（£+1）
'-j0-="+如+（£+
©—2向0+1）
$+=4+VV+402（£+1）A
—2伐（£+1）'
故滑模域为z=｛（s,/）e5I s~vsvs+j=妄｝・
根据Filippov凸组合原理:
F5（S,Z）=
其中acomedies
[dS
At
di
<F2，川〉
aF i+（l—a）F29
，可得系统（4）沿£的滑模F$（S）=
<（F2—F]）,71〉
动力学微分方程为
/.1（S）
fs2（S）
A—XSg—入S—声£
w+l
怯——入Sg—汩孑
r飞+1
于是,Filippov系统（4）有唯一的平衡点Ep=
A____________A§_
佝"=（心+;）+竹0+金+/因此Ep为Filippov系统（4）的伪平衡点V S p< s+.
又由于马导*”=一入—缶<0，故£”若存在则必是稳定的.
n+丿7/+40]（£ +1）A
--------------------------------由S<Sp，即
201（g+1）
warwick
A
得
入（£+1）+笊
（A+T/）2?2+[（入+q）2+入（入+可）一+人（入+乃）一A^\V0.（5）记g（F）=（入+r）y+[（入+rj）2+A（A+可）—邙1]$+入（入+可）一•只有当入（入+乃）一卯1V0，即R ol>1时，g（£）=0有且仅有唯一正解u*_—[a+乃）2+入（入+#）—縮1]+
&_2（A+?）2，
其中A\=+r/）24~A（A+rf）—A^\~]z—4（入+rj）?Ro】.
记
a_ASj—A（A+n）
KE】=
“_Ap2—入（入+乃）
K e?=（a+7）2・
（6）
（A+V）2
当心>
心—&
1时，
_却\—入（入+#）+（入+乃）2+J卜\
2（A+7/）2
>0，即<0・
于是，式（5）的正解g满足g VH<K E i.
同理，当入（入+乃）一Ap2V0，即R q2>1时，
A<”+J寸+4/¾（F十1）A得dq
m A（f+l）+^2/?2（W+l ）
第1期边彩莲等：基于媒体报道的Filippov传染病模型的全局动力学87
<K E2.这里
e*_——[（A+乃）24■入（A+乃）一卯2]+
&=2（A+,）2'其中企=[（入+4）?+入（入+耳）—4^2]'—
4（A+r/）2R（）2・
故Ep为Filippov系统（4）的伪平衡点冷&2> 1且陆<^<k E i.
2.4Poincare映射
当&为实平衡点时，必存在一点（So,$So）e x，使得从该点出发的轨线将先进入h，经过一段时间后与工相切于点（S-，扫-）c工（见图1）.当E】为虚平衡点时，取Sd=S-（见图2）.因此，由子系统（2）诱导的半Poincare映射P】（•）可以定义：
，So,So e（0,So）,
Pi（So）=<S~,S o=So,（7）
So9So E[So,+co）.
So6(S[,+oo),
So=SJ,
So6(0,SR・
[So,
meer
P2(S0)=(s+,
I So,
P2（・）的示意图
(8)
易感者/人
图4当E2为虚平衡点时•半Poincare映射
卩2（・）的示意图
图1当Ei为实平衡点时，半Poincare映射
P】（・）的示意图于是，系统（1）的全Poincare映射可以定义为：P（S°）=Pz（Pi（S。））.（9）
3全局动力学
图2当E{为虚平衡点时，半Poincare映射
P】（・）的示意图
类似地，当E2为实平衡点时，必存在一点（S扌，$SJ）e s，使得从该点出发的轨线将进入2+，经过一段时间后与艺相切于点（S+，扫+）w工（如图3所示）•当E2为虚平衡点时，我们取久=S+（如图4所示）•从而由系统（3）诱导的半Poincare映射B（・）可以定义如下：
引理3Filippov系统（4）不存在环绕滑模线段瓦的极限环，这里丈为2的闭包.
证明假设存在一条包含实平衡点EF及滑模z的闭轨厂，记r=r}+r2，其中八=rn^,r2 =rnh.u是被厂限定的有界区域且5=1/n =c;n w+.庁是由F和応围成的有界区域
且满足U,^U,,P,—P,（e-
*0）（i=1,2）.
取Dulac函数D（S,I）=寺，则
d(DF,)
3S
+a(or2)
~dl dSdl=
M.as~~+3(DF,2)—57-dSd/= M.
^fdSdI<0.
88经济数学第36卷
这里F“，F,2分别表示F,,F2的第一、二个分量
(i=l,2).
当e—0时，可〜U,，则
rr a（DF n）,a（DF,2）JCJr
L,^s-+~^dSdI=
..rr a（DF,j,3（DF,2）jejr
叫—
沿着D时，dS=F n dt,dl=F12dz.
在区域Ui上应用格林公式（Greens Theorem）
3（DF]]）~1S +a（DF12）
~~di dSdl=
j^DF n dI-DF}2dS=
[DF n d/-DF12dS+ J片
[df u^-df12as=
[DFuf-DF^dS.
」*
类似地，可以得到图5当E?为实平衡点时，系统(4)不存在包含瓦在内的闭轨的示意图
丄J(鉴"+匹曙2dSd!
as di
DF2i f—DF22dS.
J霍
从而
凯智卉号
2
o>'
a（DF n）""as +辔沁n
o1
lim（[DF n e-DF12dS+
e-*0J宵
f DF2i—DF22dS）.
J務
记闭轨厂与直线J=於的交点为「和T2, T n,T12以及T21,T22分别为直线1=决一e和直线I=Sf+e与和可的左右两个交点(见图5)，则上述不等式可写为
0>lim[[(DF11f—DF12)dS—
l O JT12
f T22(DF21f-DF22)]dS=
J t”differentiated
「'(DF“g-DF”)dS+
J T2
r2(DF21f-DF22)dS=
J"
(€+1)(01—02)(丁2—T])>0,
产生矛盾，从而排除了环绕滑模线段瓦的闭轨的存在性.
animalx
命题2对于式(9)定义的全Poincare映射
P(-)，存在正整数N，对任意的(S°,$S。)€2且S。€(0,+oo)，都有pN(s°)e H，其中
(i)当E，为实平衡点，E2为虚平衡点时，Q= (S/S)U瓦.
(ii)当E为虚平衡点，E2为实平衡点时，O= (s+.sj)u X.
(iii)当Ei,e2均为虚平衡点时，n=X.
注1由于式(6)中K弓>隹，故不存在E>, E2均为实平衡点的情形.
注2pN(s。)=p(pNT(s°)),pi(s。)= P(So).
证明(i)首先，可以证明：对任意的S。6(0, S?)，都有P(S°)>So.
记
力(S)=P(S')—S.
(反证法)假设存在一点(S|.6SJ6X且5e (O,So)，使得P(SJVS1，即肛S1)VO.结合图2跟图4得P(S?)=S>So，即/i(S?)>0.因此，必存在一点(S-,$S-)62且S'e(S|,S7)使得h(S
*)=0，即PCS')=s-.这就表明存在环绕滑模线段瓦的闭轨，与引理3产生矛盾.因此，对任意的So€(0,S?)，都有P(S0)>So.
接下来，证明：存在正整数N=N(S。)，使得对任意的(So,$s o)e2,s0e(o,So)都有p n(s0) e q.
假设存在一点$，矗)€w且占e(o,s?)，使得对任意的正整数”，都有P"(S)€(o,s?).由于P"+1(S)=P(P"(S))>P"(S)，故序列<P"(S)｝是
单调递增的.因此，limP”(占)必存在，不妨设
”一•00
limP"(S)=S.则S e(0,S?)且
”f O
O
