第44卷第3期应 用科技Vol.44 N q.3 2017 年 6 月Applied Science and Technology Jun. 2017
DOI:10.11991/yykj.201605016
网络出版地址：knski/kcms/detaiV23.1191.u.20170519.0644.008.html
极化敏感阵列的D O A及极化参数降维估计算法
曾富红，曲志昱，司伟建
分钟的英文缩写哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨150001
摘要：为解决极化MUSIC算法运算量大的问题，提出了一种适用于极化敏感阵列的秩亏损MUSIC算法。在极化MUSIC 算法的基础上，通过运用矩阵秩亏损原理将谱函数进行降维优化成只与空域参数相关的二维谱函数，大大降低了谱 峰搜索过程中的运算量，同时保证了波达方向（DOA)估计精度。在获得人射信号的DOA之后，通过公式可直接计算得 到人射信号的极化参数，具有较低的运算量。通过仿真实验可以验证秩亏损MUSIC算法存在着较高的估计精度，并通 过将其与极化MUSIC算法的计算复杂度进行对比，可以发现秩亏损MUSIC算法具有较好的实时性，在人射信号相同并 含有极化信息的条件下，秩亏损MUSIC算法的计算复杂度相较于极化MUSIC算法降低了104数量级。
顺时针方向
关键词：DOA估计；极化敏感阵列；极化MUSIC算法；秩亏损MUSIC算法；降维优化；实时性；估计精度
中图分类号:TN911.7 文献标志码:A 文章编号：1009-671X( 2017) 03-039-05
Dimension-reduction for DOA and polarization
estimation bad on polarization nsitive array
ZENG Fuhong，QU Zhiyu，SI Weijian
College of Inlormation and Communication Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China Abstract ：T〇solve the problem that polarization MUSIC algorithm has large computational complexity，a rank loss MUSIC algorithm suitable for polarization nsitive array was propod.On the basis ol polarization MUSIC algorithm，using the principle of matrix rank loss to reduce the dimensionality of the spectral function to two-dimensional spectral function related to the airspace parameters，the computation significantly was decread but also guarantees the direction of arrival(DOA)estimation accuracy.After getting the DOA of the incident signal，the polarization parameters can be directly calculated by formula which has low computational complexity.Simulation
results show that the propod algorithm has high estimation precision.The propod algorithm has better real-time performance compared with that polarization MUSIC algorithm.
Keywords ：DOA estimation；polarization nsitive array;polarization MUSIC algorithm；rank loss MUSIC algorithm；dimensionality reduction optimization;real-time performance;estimation precision
电磁波的极化特征是除信号幅度、相位、频率和 波形等信息外，另一个可以利用的重要特征信息。对极化信息的充分挖掘和利用，有利于提高雷达和 通信等系统的性能[|-4]，因此引起了很多相关领域 学者的关注[5_6]。与常规标量阵列相比，极化敏感 阵列[7_8]的优势有：能以矢量方式感知人射电磁波 在不同方向上的投影分量，可提取更多的有用信息; 空域信息辅之以极化域信息，使得空间源信号多维
收稿日期：2016-05-23. 网络出版日期：2017-05-19
基金项目：航空科学基金项目（201401P6001).
作者简介：曾富红（1993-)，女，硕士研究生；
司伟建（1971-)，男，研究员，博士生导师.
通信作者：曾富红，E-mail：fuhongzeng@ 参数估计的性能得到进一步改善；在一些空间受限 的实际应用场合，如安装在飞行器上的传感器阵列，电磁矢量传感器更加能够发挥其单天线具有的多分 量结构形式，且对共形阵列的信号处理更加灵活。当在实际工程中所使用的接收天线为共形阵列天线 时，其不是全向接收的，且各个天线阵元有一定的极 化方式。当人射信号的极化方式与接收天线阵元的 极化方式不匹配时，各个阵元所接收到的信号可能 只是人射信号在某个方向上的分量，也有可能完全 无法接收到人射信号，从而导致各个阵元实际所接 收到的信号与雷达辐射的信号在幅度以及相位上有 较大误差，此时传统MUSIC 算法失效。因而针对于
• 40 •应 用科技第44卷
此实际情况，便需要在经典MUSIC算法的基础上引 人极化修正因子[9-11]，形成跟极化相关的极化MUSIC算法 。极化 MUSIC算法需在空域以及极化域参 数范围内进行四维谱峰搜索，相对于经典MUSIC算 法，算法的计算复杂度大大增加，而在实际系统中往 往要求信号可以进行实时处理，因此需要研究相关 的基于极化敏感阵列的参数降维估计算法。电汇手续费
1数学模型
假设空间有D个远场窄带电磁信号人射到如 图所示的空间阵元上，天线阵是由8个天线阵元组 成的均匀圆阵，各阵元均为与圆周表面相切的极化 敏感天线，如图1所示。
极化辅助角和极化相位差分别为Y n和。进 一步假定阵元噪声为圆空-时-极化白噪声，其方差 为人射信号互不相关，并与噪声统计独立，则有 阵列输出信号矢量可表示为
D
X(t)=l a m sm(t)+N(t)=A S(t)+N(t)(1)
式中:0为阵列的Mx1维快拍数据矢量;S(t)为 空间信号的D x1维矢量;N(t)为阵列的M x1维噪 声数据矢量;A为空间阵列的M xD维阵列流型矩阵 (导向矢量阵），其中am为第m个信号的导向矢量。
以坐标系原点即圆阵的圆心为参考点，信号人 射到天线阵所在空间直角坐标系上的方向单位矢量 为厂=(cos p c o s沒，cos p s in沒，sin p)，心为各个天线 阵元的位置坐标矢量，则信号人射到阵列的空域相 移因子为
'=e，/A(/，T)，“=1，2,…，8) ⑵
lfesteem则该接收信号的导向矢量为
a= r(6,p)B^( 6,p)h(y,n)(3)式中：r(沒，p)= diag|M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7，M8l 为由人射信号在阵列各阵元处的空域相位因子构成的对角阵，4为人射信号波达方向角的函数;B称为极 化敏感矩
阵，由各阵元的极化敏感矢量构成，B= [《1，《2，“《5，“《8]T，当天线阵列的阵元摆 放位置确定时，该阵列为一个常数矩阵。
4(e，p)=
-sin6sin pcos 6
cos6sin psin 6
0-cos p
sin pcos6sin 6
sin psin6-cos 6
-cos p0
⑷
cos y
h()-
|_sin(yejn)
(5) 2秩亏损MUSIC算法原理
本文提出的算法主要分为2个部分：首先是利 用矩阵的秩亏原理对人射信号进行D0A估计，在得 到人射信号的D0A(即方位角和仰角）之后，将人射 信号的D0A估计值代人到应用拉格朗日乘子法所 得到的计算极化参数的公式中计算得到人射信号的 极化参数（即极化辅助角和极化相位差）。
2.1入射信号D0A估计
从导向矢量的表达式中可以看到，导向矢量只 跟人射信号的空域参数以及极化参数有关，因而可 以将其表示为
a=D(e，p)h(y，n)(6)极化MUSIC算法的谱函数可表示为
hH(y，V)D H(0，p)E N E H N D(0，p)h(Y，V)
(7)
取式(7)的倒数，有
r=hH(Y，V)(D H(e，p)ENEH N D(e，p))h(y，V)= hH(7，V)H(e，p)h(7，V)(8)
在极化MUSIC算法中，当利用式（7)所构造的 谱函数进行谱峰搜索得谱峰值时，即相当于解决式 (8)的函数值最小优化问题，也就是在理想情况下 应满足式(9):
h N(y，n)H(0，p)h(y，n)= 0 (9)
而又由于信号特征矢量所张成的子空间与阵列 导向矢量所张成的子空间是一致的，再根据信号子 空间与噪声子空间的正交性，即可得到结论，噪声子 空间中的任意一个噪声特征矢量都和阵列导向矢量 矩阵的任意一列向量是正交的。即有
musicboxE N a()=〇(10)在式(9)左端乘E N即有
E n E N a(6,p,y,n)=〇
(11)
第3期曾富红，等：极化敏感阵列的DOA及极化参数降维估计算法• 41 •
在式（10)左侧左乘■D H M A)，则可得到
(d h(e,，p)e n e h n d(e,，p)) h(y,v)=
H(e,(p)h(Y，n)= 〇(12)
比较式(9)和式（12)可知，两式同时成立。将 两式均看成是以极化参数(Y，n)未知数的齐次线性 方程组。最终极化参数的解为两式解的交集。由式 (12)可以看出，其极化域解的集合即为两式解的交 集。因而只需考虑式（12)所表示的齐次线性方程 组的解的情况即可。
由于在本算法中所考虑的极化参数的范围为：极化辅助角Y e [0, n/2]，极化相位差n e (-n, n]，因而对于式（12)的未知数为（Y，n)的齐次线性 方程组，其必定存在非零解。因而此齐次线性方程 组的系数矩阵H(0，p)必定会发生亏秩现象，其行 列式的值为0。即可表示为
H(0，p)= D n(0，p)E n END(0，p)= 0 (13)
由行列式的值为0，对应可求得使系数矩阵H(0，p)发生亏秩现象时的方位角0以及仰角p，即为人射信号的DOA。将谱峰搜索函数转化为搜索 系数矩阵H(0,p)行列式的极小值，即为求取行列 式倒数的极大值：
audj0,p) = arg maxdet-1j H(0,p) )(14)由式（14)可以看到，在利用了秩亏损方法之 后，构造空间谱时无需考虑极化参数，即构造的谱函 数与极化参数无关，因而在进行谱峰搜索时依然只 是两维搜索，只搜索方位角及仰角的值。将极化 MUSIC算法的四维搜索降维成了二维搜索，大大地 减少了算法的计算量，能够很大程度地提高算法程 序运行的实时性。进行谱峰搜索之后，所得到的谱 峰极大值处所对应的方位角0及仰角p为人射信号 的 DOA。
2.2入射信号极化参数估计
根据秩亏MUSIC方法原理，在无噪等理想条件 下，矩阵H(0,p)在真实信号DOA处发生亏秩现 象，由满秩变为奇异，即H(0,p)为奇异的厄尔米特 矩阵；又乃（0^广乃（0^)为厄尔米特正定矩阵，所 以jH(0,p)，乃（0^)%(0^))的最小广义特征值 应为零。而 H(0,p)h(Y,n)=0，所以 h(Y,n)与 jH (0,p)，乃（0^广乃（0^))的零广义特征值所对应 的广义特征矢量线性相关，即满足比例关系。
根据上述分析，有下述结论（下标m表示第m 个信号）：
(15)式中设m h X)表示矩阵束的广义特征矢量。
由信号极化矢量的含义，结合式（15)，可以得
到下面的信号极化参数确定公式：
lYmharctanj^…(2)/^…(1) )，m=1，2,…，财
(16)
jnm)=argj((2)/t(1)) ,m= 1,2,…，(17)
2.3算法步骤总结
2.3.1 入射信号的DOA估计
1) 根据D个接收信号矢量得到协方差矩阵的 估计值。
由阵列输出信号的采样值求协方差矩阵及的
估计值及，阵列输出信号向量为X(r a)= ['(ra),
*2(ra),…，*M(ra)]T,—次估计所用的米样快拍数为
N，则共有N个数据向量X(ra)，ra=1，2，…，N，于是
R =!?I X(ra)X H(ra)(18)
N r a=1
害怕的英文
2) 对及进行特征值分解，获得特征值和特
征向量v('=1,2,…，）。
3) 按照某种准则确定矩阵及最小特征值的数 目r a fi，设这r a fi个最小特征值分别为A f l+1,A f l+2，…，AM，与之对应的特征向量为vfl+1,vfl+2,…，v M，并利
用这些特征向量构造噪声特征向量矩阵：
[N=卜 D+1,VM,…，V M](19)
4) 按照式（20)计算谱P R M u sic(0, P)，进行谱峰 搜索，它的D个极大值所对应的0、p就是信号源的
方向。
尸R M U S I C(0,p)= det-1j H(0,p)) (20)
2.3.2入射信号的极化信息估计
1) 将DOA代人H(0,p)，得到H(0心p丄对矩阵束j H(0心p丄D h(0心％)D(0心％))进行广义特
征值分解，求得对应最小广义特征值的广义特征矢
量^。
2) 根据式（16)与（17)计算人射信号的极化辅 助角和极化相位差。
3运算量分析
在对于各种MUSIC算法的应用过程中，计算接
收数据协方差矩阵部分、特征分解部分、信源数估计
部分以及构造信号子空间和噪声子空间部分的计算
量在人射信号相同的情况下都是一致的，因而在对
各种MUSIC算法的运算量进行分析时，只考虑MU
SIC算法的谱峰搜索部分，即重点考虑构造谱函数
部分的运算量。由于乘法运算的计算量要远大于加
°-455 10
15
20 25
信噪比/dB
图3
DOA 估计均方根误差随信噪比变化图
从图3中可以看到，随着信噪比的增加，DOA 估计均方根误差越来越小，最终稳定在0.5°左右。 由此可看出秩亏损MUSIC 算法的DOA 估计精度较 高，能够满足工程中的精度要求。
5结论
本文主要介绍了秩亏损MUSIC 算法的原理，通
cho
过将秩亏损MUSIC 算法与极化MUSIC 算法的算法 原理进行对比可以得到以下结论：
1) 相对于极化MUSIC 算法来说，秩亏损MUSIC 算法的计算复杂度大大降低，算法运算量降低；
2)
通过计算机仿真实验可以得到秩亏损MU
SIC 算法在降低算法运算量的同时保证了算法的 DOA 估计精度。
(下转第90页）
图2
DOA 估计均方根误差随快拍数变化图
2)秩亏损MUSIC 算法DOA 估计均方根误差随
信噪比的变化。
设置快拍数为100，信噪比在5〜25 d B 之间以 步长5 d B 变化，则可得DOA 估计均方根误差随信 噪比的变化图像如图3所示。
数的变化图像如图2所示。从图2中可以看到，随 着快拍数的增加，DOA 估计均方根误差越来越小， 最终稳定在0.5°左右。可以看出秩亏损MUSIC 算
a
/-I -> I ▲、味 Aki a —tfft —P v
法运算的计算量，因而在进行算法的运算量分析的 时候不考虑加、减法运算的计算量。统计计算复杂 度时，谱峰搜索部分的各参数的搜索步长均为1°， 极化MUSIC 算法和秩亏损MUSIC 算法的各参数的 搜索范围均相同：方位角为0°〜360。，仰角为54。〜 90°。极化MUSIC 算法的极化参数搜索范围为极化 辅助角为0°〜90°，极化相位差为-180°〜180°，秩亏 损MUSIC 算法中计算一个谱函数（矩阵相乘）共需 要834次实数乘法，共需要构造361 x 37 = 1.3x 104 个谱函数，共需要834x 361 x 37 = 1.1 x 107次实数乘 法；极化MUSIC 算法计算一个谱函数共需要524次 实数乘法，共需要构造361x 37x 91x 361 =4.4x 108 个谱函数，共需要实数乘法524x 361x 37x 91x 361 = 2.3x 10n 次，则可得到各算法的计算复杂度如表1 所示。
表1
两类
MUSIC 算法的计算复杂度
算法类型需构造谱函数个数需实数乘法次数
极化MUSIC 算法 秩亏损MUSIC 算法
4.4x
108
1.3x 104
2.3x 1011
1.1x 107
从表1中可以看到，极化MUSIC 算法的运算量 要远远大于秩亏损MUSIC 算法的运算量，其运算量 为秩亏损MUSIC 算法运算量的10 000倍。由此可 见，本文所提出的秩亏损MUSIC 算法在极化MUSIC 算法的基础上大大降低了算法的运算量，具有较好 的实时性。
4仿真分析
本文中的接收天线阵列为八元均匀圆阵，天线 盘半径为140 mm 。仿真分析中用到的误差分析指 标为均方根误差，其定义公式为
R M S E :
失-沒)2 + (^ I )2 (21)
式中:m 为测量次数，（^，^ )为人射信号方位角与 仰角的估计值，（心为人射信号方位角与仰角的 真值。
仿真条件：人射的2个窄带信号的频率为 3 GHz ，方位角沒=[35°40°]，仰角为p =[55°70°]，极 化辅助角为Y = [ 10° 20°]，极化相位差为[40° 60°]，以1通道为基准，6通道加人通道不一致性 10°，其余各通道的通道不一致性在0°〜10°之间。
1)秩亏损MUSIC 算法DOA 估计均方根误差随 快拍数的变化。
设置信噪比为20 dB ，快拍数在10〜250之间以 步长40变化，则可得DOA 估计均方根误差随快拍pokerface
42应用科技第44
卷
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(上接第42页）
秩亏损MUSIC算法是极化MUSIC算法的降维算法，解决了极化MUSIC算法计算复杂度高、无法应用于实际工程的问题。本文算法能够应用于实际工程中，解决了经典MUSIC算法在接收天线为共形阵列的情况下无法正确测向的问题。
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