习题1
1.1 设Ω为某试验的样本空间，A 为Ω的非空子集，令{}{}
12,,,,,,c A A ΩΩ=∅=∅F F 32Ω=F ，证明：F 1，F 2，F 3 皆为事件域且123⊂⊂F F F 。
1.2 一次投掷三颗匀称骰子并观察可能出现的点数，给出这一试验的概率空间。
1.3 证明1.1节定理1中的性质(1)~(5) 。
1.4 在给定的概率空间(Ω, F , P )中，设1,,,,
,,n A B C A A ∈F 证明下列不等式： (1) 1()()()4P AB P A P B -≤ (提示：对01,x ≤≤ 恒有214
x x -≤)； (2) ()()1()P AB P BC P AC -≤-；
(3) 若
1n
k k A A =⊂，则1()()(1)n
k k P A P A n =≥--∑。 1.5 设有n 张大小形状相同且编号分别为1, 2 ,…, n 的卡片。采用有放回随机抽取方式直至
抽到一张先前曾取过的卡片为止。设X 是达成这一目的所需的抽取次数。求X 的概率分布（提示：先算{}P X k >。）。
1.6 设X 与Y 为独立随机变量，其中X 服从参数为(2, 0.5)的二项分布，Y 服从参数为1的
泊松分布，计算{}P Y X ≥。
1.7 用归纳法证明n 元分布函数的性质(2)：若(1,2,,)i i x y i n ≤=，则
{}121111ΔΔΔ(,,),
,0,n n n n n F x x P x X y x X y =<≤<≤≥ 其中11111Δ(,,)
(,,,,,)(,,)i n i i i n n F x x F x x y x x F x x -+-表示F 对第i 个变元 (1≤ i ≤ n )作一阶差分。
1.8 设()(,),0,0x y h x y e x y -+=≥≥；1,0,(,)0,0.x y g x y x y +≥⎧=⎨+<⎩ 证明：h 是二元单调不减函
数但对每一变元却是单调减的；g 对每一变元是单调不减的但不是二元单调不减函数。
1.9 设X 1，X 2，X 3为相互独立的随机变量，已知22E()0,E(),1,2k k
单身节X X k σ===
。令132(Y X X X =+，求Y 的期望与方差。 1.10 设随机变量X 服从几何分布：{}P (1),0,1,2,,k X k p p k ==-= 其中0 < p <1。求
E 1X p -（提示：{}{}111X c X c ≤>≡+）。
1.11 设随机变量X 存在有限均值μ，g 为单调不减函数，证明[]E ()()0g X X μ-≥。
1.12 设随机变量X ~Exp (λ)，t > 0为常数，求
ptember缩写
(1) {}min ,X t 的概率分布；
(2) 在X t >的条件下，X 的条件概率密度。
1.13 对条件概率亦有相应的乘法公式及全概率公式，试推导下列等式：
(1) 设12,,,,n A B B B 为事件，若 ()1210n P AB B B ->，则
()()()()1212112
1n n n P B B B A P B A P B AB P B AB B B -=； (2) 设12,,,,
n A A A 为两两互斥事件，且事件1k k B A ∞=⊂，又()0P A >，则
()()()1
k k k P B A P A A P B AA ∞==∑。
1.14 设A , B , C 为三个事件，证明A 与 B 关于 C 条件独立当且仅当()()P A BC P A C =。
1.15 设X 为连续型随机变量，其概率密度为(), 0x X f x xe x -=>，求()E |1X X >。
1.16 设X 与Y 为随机变量，并且0 < D(X ) < ∞，0 < D(Y ) < ∞，证明：
()C o v ,E (|)C o v (,)
X Y X X Y =。 1.17 已知随机向量(X ,Y )的概率密度为：
,2,01,(,)0,X Y y x f x y <≤<⎧=⎨⎩
其他， 求条件期望()E |X y (0<y <1) 及()E |Y x (0<x <1)。
1.18 如果X 关于Y 的条件方差()D X Y 被定义为：()(){}2D E X Y X E X Y Y ⎡⎤=-⎣⎦，
试证：
(1) ()()()22D E X Y X Y E X Y ⎡⎤=-⎣⎦；
(2) （全方差公式）()()D()E D D E X X Y X Y ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦。北京广播网在线收听
1.19 设X 与Y 是相互独立的连续型随机变量，且Y ~U (0,1)，令Z=X+Y ，证明Z 的概率密度
为()()(1)Z X X f z F z F z =--。
1.20 设X 与Y 是相互独立的随机变量，其中X ~U (0,1)，Y 服从0-1分布，即{1}P Y p ==，
{0}1(01)P Y p p ==-<<，求X+Y 以及XY 的概率分布。
1.21 设X 1与X 2是独立同指数分布Exp (λ)的随机变量，
(1) 证明11212
X X X X X ++与独立；
(2) 令112212Y X X Y X X =+=-,，求Y 1, Y 2的联合概率密度与边缘概率密度。
1.22 设X 1与X 2为独立同2(,)N μσ分布的随机变量。令112Y X X =+，212Y X X =-，
(1) 求Y 1，Y 2的联合概率密度；
(2) 求Y 1与Y 2的协方差。
1.23 设123,,X X X 独立同指数分布Exp (1)
的随机变量，令12Y Y ==
3Y =求
guei
(1) 123,,Y Y Y 的联合概率密度；
(2) 12,Y Y 的联合概率密度。
1.24 已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布．假若λ本身是另一个随机变量，试就以下
两种情形，求X 的概率函数（分布律）。
(1) λ服从均值μ=1/c (c > 0)的指数分布；
(2) λ服从参数为α，c (α>0, c >0)的Γ分布
1
0,()()
0,0.c c e f ααλλλλΓαλ--⎧,>⎪=⎨⎪≤⎩
1.25 设X 是取非负整数值的随机变量，其概率母函数为0()n n n G z p z ∞
==∑。每观测到X ，
则做X 重贝努里试验，其每次成功的概率为p 。以Y 表示X 重贝努里试验中的成功次数，求Y 的概率母函数。
nydus1.26 已知随机变量X 的概率母函数为： 8()(3)(5)
X G z z z =
-- 求X 的概率分布{,0,1,}k p k =。 1.27 设X 1和X 2为相互独立的随机变量且同服从区间[]1,1θθ-+上的均匀分布。证明：
12X X -的概率密度与θ无关（考虑其矩母函数或特征函数）。
1.28 设随机变量X 服从二项分布B (n , p )，其中0 < p < 1，求X 的特征函数并借助特征函数
计算X 的期望和方差。
1.29 若()lim n n p X X →∞=，又存在常数c ，使得对一切n ，有n X c ≤，则(..)lim n n m s X X →∞
=。（提示：题设条件蕴含,..X c a s ≤）
1.30 已知随机变量X ~Exp (1)，令cug
1,,10,n n X n Y X n ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
. 当n →∞时，问Y n 是否 (1) 依分布收敛；(2) 依概率收敛；(3) 概率1收敛。如果收敛的话请指出相应的极限。
1.31 设随机过程{}
,0At e t -=>X ，其中A 为具有概率密度f 的随机变量。
卢卡斯莫拉(1) 求X 的一维和二维概率分布；
(2) 如果A ~Exp (2)，求X 的均值函数与自协方差函数。
1.32 设随机过程{},0At B t =+>X ，其中A 和B 是相互独立的标准正态变量，求X 的一
维和二维概率密度。
1.33 如果随机过程{}(),0X t t =>X 只有四条样本曲线：12(,)1,(,)1,X t X t ωω==- 34(,)sin ,(,)cos (0)X t t X t t t ωω==>，并且({})14,1,2,3,4k P k ω==，求X 的均值函数与自相关函数。
1.34 设{}(),X t t T =∈X 与{}(),Y t t T =∈Y 是定义在相同概率空间上的两个二阶矩过程，
假设X 与Y 相互独立，证明X 与Y 不相关。
1.35 设{}sin(),0,1,2,t t λ==±±X ，{}cos(),0,1,2,t t λ==±±Y ，其中λ是服从区间
(0, 2π)上均匀分布的随机变量，证明X 与Y 不相关。
习题2
2.1 设{}(),0N t t ≥为计数过程，{},0n S n ≥为与之相伴的到达时刻流，试指sharewithu
出下列事件之间的关系：
(1) {}()N t n >与{}n S t <；
d的笔顺怎么写
(2) {}()N t n <；与{}n S t >；
玩笑英语(3) {}()N t n ≤与{}n S t ≥。
2.2 证明：定义2.1.4的条件与定义2.1.2的条件等价。
2.3 设{}(),0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，求该过程的自协方差函数。
2.4 设{},0n S n ≥是强度为λ 的Poisson 过程的到达时刻流，证明：
012,(..)S S S a s <<<
2.5 设{}1(),0N t t ≥和{}2(),0N t t ≥是相互独立、强度分别为λ1 与 λ2 的
Poisson 过程，证明{}12()(),0N t N t t +≥是强度为λ1 + λ2 的Poisson 过程。
2.6 设{}(),0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，t > 0，求
(1) (){}2()P N t m N t n ==；
(2) (){}2()P N t k N t n ==。
2.7 小王居住的小区门口有条横马路，每个工作日小王都要到马路对面的公
交车站乘车上班。尽管距离小区门口150米远就有过街天桥，但小王嫌麻烦每次都选择从小区门口直接横穿马路（该处道路上无红绿灯）。设汽车以强度λ = 7（辆/分钟）的Poisson 过程通过小区门口。如果小王鲁莽从事，用时8秒横穿马路，那么他过马路时不被车撞的概率是多少?（假设人、车来不及作避让，因而在小王过马路时有车经过便被车撞。）
2.8 某景区提供电瓶车供游客游览时乘用，发车规则为：坐满5位游客即刻
发车。假设游客以速率2/5（人/分钟）的Poisson 过程依序到达发车点，且无人争抢或等候半途离去，又假定景区有足够多的电瓶车以履行其发车承诺，求第二位到达发车点的游客等候发车的平均等待时间。
2.9 某加油站为一次消费满一定金额的车辆提供一次免费洗车服务，假定参与免费洗车的汽车构成强度为1λ=（辆/分钟）的Poisson 过程。每次洗车需要10分钟。求第二辆接受洗车服务的汽车不用等待的概率，并计算其平均等待时间。
