2012年全国各地中考数学压轴题专集答案
圆
八、圆
1.(北京模拟)在△ABC中,分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2,其中O1和O2分别为两个半圆的圆心.F是边BC的中点,点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.
(1)如图1,连接O1F,O1D,DF,O2F,O2E,EF,证明:△DO1F≌△FO2E;
(2)如图2,过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线,交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q,连接PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求线段PQ的长;
(3)如图3,过点A作半圆O2的切线,交CE的延长线于点Q,过点Q作直线FA的垂线,交BD的延长线于点P,连接PA.求证:PA是半圆O1的切线.
(1)证明:∵O1,O2,F分别是AB,AC,BC边的中点
A
O1
C
B
O2
E
D
F
∴O1F∥AC且O1F=AO2,O2F∥AB且O2F=AO1∴∠BO1F=∠BAC,∠CO2F=∠BAC
∴∠BO1F=∠CO2F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点
∴O1F=AO2音标英语教学视频=O2E,O2F=AO1=O1D,∠BO1D=90°,∠CO2E=90°
∴∠BO1D=∠∠CO2E,∴∠DO1F=∠FO2E
∴△DO1Frabbit是什么意思≌△FO2E
A
O1
C
B
O2
E
D
F
P
Q
G
(2)解:延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE
∵点E是半圆O2圆弧的中点,∴AE=CE=3
∵AC为半圆O2的直径,∴∠AEC=90°发票管理办法
∴∠ACE=∠CAE=45°,AC=3
∵AQ是半圆O2的切线,∴CA⊥AQ,∴∠CAQ=90°
∴∠AQE=∠ACE=红宝书考研英语词汇怎么样45°,∠GAQ=90°,∴AQ=AC=AG=3
同理:∠BAP=90°,AB=AP=5
∴CG=6,∠GAB=∠QAP
∴△AQP≌△AGB,∴PQ=BG
∵∠ACB=90°,∴BC==4
∴BG==2,∴PQ=2
(3)设直线FA与PQ的垂足为M,过C作CG⊥MF于G,过B作BH⊥compileMF于H,连接DH、AD、DM
∵F是BC边的中点,∴S△ABF =S△ACF ,∴BH=CG
由(2)知,∠CAQ=90°,AC=AQ,∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°,∴∠1=∠3
同理:∠2=∠4
F
P
Q
M
G
H
∴△AMQ≌△CGA,∴AM=CG,∴AM=BH同(2)可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°
∴∠ADB=∠AHB=90°,∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、H四点在以3899AB为直径的圆上
A、D、P、Madpersonin四点在以AP为直径的圆上
且∠DBH+∠DAH=180°
∴∠5=∠8,∠6=∠7
∵∠DAM+∠DAH=180°,∴∠DBH=∠DAM
∴△DBH≌△DAM,∴∠5=∠9
∴∠HDM=90°,∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠8=90°,∴∠PAB=90°,∴PA⊥AB
又AB是半圆O1的直径,∴PA是半圆O1的切线
2.(上海)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由;
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.
解:(1)∵OD⊥BC,∴BD= BC=
在Rt△BOD中,OD= =
连接AB
∵OA=OB=2,∠AOB=90°,∴AB= =2
∵OD⊥BC,OE⊥AC,∴D是BC中点,E是AC中点
∴DE= AB=
(3)连接OC,过D作DF⊥OE于F
∵OD=2,BD=x,∴OD=
∵OA=OB=OC,OD⊥BC,OE⊥AC
∵∠AOB=90°,∴∠DOE=45°
在Rt△DOF中,DF=OF=
在Rt△DFE中,EF= = = x
∴y= OE·DF= ( + x )·
即y= (0<x <)
3.(上海模拟)B
A
C
N
P
M
如图,已知在△ABC中,AB=15,AC=20,cotA=2,P是边AB上的一个动点,⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时,⊙P恰好与边AC相切;当点P与点B不重合,且⊙P与边AC相交于点M和点N时,设AP=x,MN=y. (1)求⊙P的半径;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当AP=6 时,试比较∠CPN与∠A的大小,并说明理由.
解:(1)过B作BD⊥AC于D
∵⊙P与边AC相切,∴BD是⊙P的半径
又∵sinA= ,AB=15,∴BD=3
(2)过P作PH⊥MN于H
则PH= x,PM=BD=3
∴MH= =
∴y=2MH=2
即y= (3≤x <15)
(3)当AP=6 时,∠CPN=∠A
理由如下:
当AP=6 时,PH=6,MH=3,AH=12,∴AM=9
∵AC=20,MN=6,∴CN=5
∵ = = , = ,∴ =
又∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM
∴∠AMP=∠PNC,∴△AMP∽△PNC
∴∠CPN=∠A
4.(上海模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,∠B=60°,AB=10,AD=4,⊙M与∠BAD的两边相切,点N在射线AB上,⊙N与⊙M是等圆,且两圆外切.
(1)设AN=x,⊙M的半径为y,求y关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,⊙M与CD相切?
(3)直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等?如果能,求出符合要求的x的值;如果不能,请说明理由.
解:(1)连接AM、MN,设⊙M与AB相切于点E,连接ME
∴在Rt△MNE中,MN=2ME,∴∠ANM=30°
∵AD∥BC,∠B=60°,∴∠BAD=120°
∵⊙M与∠BAD的两边相切
∴∠NAM=60°,∴∠AMN=90°
∴在Rt△AMN中AM= AN= x
∴ME=AM·sin60°= x
即y= x(x >0)
A
M
C
B
D
N
G
F
(2)设⊙M分别与AD、CD相切于点F、G,连接MA、MF、MG则MF=FD=MG=y
且AF=MF·cot60°= y= · x= x
∵AD=4,AF+FD=AD,∴ x+ x=4
∴x=8( -1 )
(3)作NH⊥BC于点H
若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等,则弦心距MG=NH
H
F
G
①go vern ment
当点N在线段AB上时∵AB=10,∴BN=10-x
∴FD=MG=NH=BN·sin60°= (10-x )