几何不等式
知识定位
不等式是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常大比例，几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。本文归纳总结了几何不等式的若干性质及定理，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理
1、几何不等式定理：几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。下面先给出几个基本定理：
定理1 在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．
定理2 同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．
定理3 在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．
定理4 三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．arranged
定理5 自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．
说明： 如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影
若HA＞HB，则PA＞PB；
若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知：PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，
所以PA2-PB2=HA2-HB2．
从而定理容易得证．
定理6 在△ABC中，点粘贴英文P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点cgtvP为A或B时等号成立．
说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB零基础英语学习网站，AC｝．
同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝
例题精讲
【试题来源】
【题目】在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC
【答案】如下解析
【解析】 证： 在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
由定理3知，∠AMB＞∠AMC，
所以∠AMC＜90°
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，
所以PB＞PC．
【知识点】几何不等式
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知P是△ABC内任意一点
（1）求证：1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c
（2）若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2
【答案】如下解析
【解析】 证明：（1）由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b
把这三个不等式相加，再两边除以2，
便得PA+PB＋PC>1/2（a+b+c）
又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．
把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．
所以1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c
（2）过P作DE∥BC交正三角形ABC的边ABuniversiade，AC于D，E，于是
PA＜max｛AD，AE｝＝AD，
PB＜BD＋孟晓驷DP，PC＜PE＋EC，
m族 所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．
天气的英文【知识点】几何不等式
【适用场合】当堂练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，在线段BC同侧作两个三角形成都外国语学校官网ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE
【答案】如下解析
【解析】 证： 在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和fgdAD．
