初三复习教案 | |
模块 | 探究开放性问题 |
第一讲 | 条件或结论的探究性问题 |
教学内容 | |
概要：英语b级考试题 本讲主要研究中考中较为特殊的一类问题——因条件或结论引起的探究开放性问题，这类问题结论或条件都不确定，只要答案能够满足条件或结论的需求就可以了，因此此类问题较为简单，为学生进行自我学习与探索提供了很好的准备条件。 教学目标： 1、教会学生了解条件或结论的探究性问题，懂得如何对此类题目进行审题、分析，能够找到此类题目的考查点，从而让学生自己掌握相关的解题方法。 2、能够让学生通过熟悉条件或结论的探究性问题，初步学会如何从条件或结论入手分析数学试题，体会试题中条件与结论的联系，从数学本质上理解数学题目的多样性与灵活性。 重难点： 对条件或结论的探究性问题进行审题与分析，找到相关解题方法。 知识要点 开放型问题是指题目的条件或结论是发散的、不确定的，其解答往往不拘泥于单一的、固定的模式，它的特点是正确答案不唯一。条件或结论的开放型探究性问题主要包括条件开放型问题、结论开放型问题、条件结论同时开放型问题、过程开放型问题。 1、给出题目的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题是条件开放型问题。填写条件时，应符合题意或相关的概念、性质与定理。 2、给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，这样的问题是结论开放型问题。得出的结论应尽可能用上题目及图形所给的条件。 3、问题的条件不完备，结论也具有开放性的题目，就属于条件结论同时开放型问题。 例题经典 例1：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，联结CE、BF。请你添加一个条件，使得△BDF≌△CDF，并加以证明。 图1 解： 思路一：若添加DE=DF，在△BDF和△CDF中，BD=DC，∠FDB=∠EDC，DF=DE，由判定SAS得，△BDF≌△CDF。 思路二：若添加BF//EC，由平行线的性质定理得，∠FBD=∠ECD，在△BDF和△CDF中，BD=DC，∠FDB=∠EDC，∠FBD=∠ECD，由判定ASA得，△BDF≌△CDF。 思路三：若添加∠FBD=∠ECD，在△BDF和△CDF中，BD=DC，∠FDB=∠EDC，∠FBD=∠ECD，由判定ASA得，△BDF≌△CDF。 思路四：若添加∠DFB=∠DEC，在△BDF和△CDF中，BD=DC，∠FDB=∠EDC，∠DFB=∠DEC，由判定AAS得，△BDF≌△CDF。 【点评】本题是一道条件开放型问题，考查的知识点是全等三角形的判定。因为三角形全等条件中必须是三个元素，而例1中，已知BD=DC，∠EDC=∠FDB，即已经确定一条边及此边相邻的一个角对应相等，根据全等三角形判定中的SAS、AAS、ASA，可以添加三类条件。若用到判定SAS，可添加DE=DF；若用到判定ASA或AAS，可添加EC//BF或者∠DEC=∠DFB或者∠ECD=∠FBD（只要从以上条件中选出任意一个条件添加都正确）。 因此解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求。 例2：已知二次函数的图像如图所示，问由此图像中所显示的抛物线特征，可以得到二次函数的系数的哪些关系和结论。 图2 解：由图2知，二次函数的图像开口向下，得；与y轴交于正半轴处得，对称轴直线x=2，得，即。 又∵对称轴直线x=2，即，得； 从图中分析还知图像与x轴交于两点，得； 当x=1时，，又∵，得； 再将变形得，代入得， 【点评】本题是一道结论开放型问题，考查的知识点是二次函数的图像与性质。例2中，二次函数基本图像已经给出，从它的开口方向、对称轴范围以及与坐标轴的交点可先确定的正负性，再根据对称轴的具体数值可以讨论出系数与的关系。本题结论不唯一，只要围绕之间的联系展开讨论，并且结论正确都可以。 因此解这种开放问题的一般思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍。 例3：如图3，在△ABC中，AB=AC，过点A作GE//BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G。试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。 图3 解：图3中有五对全等三角形，分别是△BCF≌△CBD、△BHF≌△CHD、△BAD≌△CAF、△BAE≌△CAG、△ADE≌△AFG。（只要从以上全等三角形中任选一个都正确）。 （1）证明△BCF≌△CBD。 在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， 又∵角平分线BD、CF相交于点H，∴∠DBC=∠FCB 在△BCF和△CBD中，∠ABC=∠ACB，BC=CB，∠FCB=∠DBC，∴△BCF≌△CBD（ASA） （2）证明△BHF≌△CHD。 在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， 又∵角平分线BD、CF相交于点H，∴∠DBC=∠FCB，∠ABD=∠ACF， 又∵∠DBC=∠FCB，∴BH=CH 有志者事竟成 英文在△BHF和△CHD中，∠ABD=∠ACF，BH=CH，∠FHB=∠DHC，∴△BHF≌△CHD（ASA） （3）证明△BAD≌△CAF。 在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵角平分线BD、CF相交于点H，∴∠ABD=∠ACF， 在△BAD和△CAF中，∠ABD=∠ACF，AB=AC，∠BAC=∠CAB，∴△BAD≌△CAF（ASA） （4）证明△BAE≌△CAG。 在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， 又∵角平分线BD、CF相交于点H，∴∠DBC=∠FCB，∠ABD=∠ACF， 又∵GE//BC，∴∠G=∠FCB，∠DBC=∠E，∴∠G=∠E 在△BAE和△CAG中，∠ABD=∠ACF，AB=AC，∠E=∠G，∴△BAE≌△CAG（AAS） adcenter（5）证明△ADE≌△AFG。 在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， 又∵角平分线BD、CF相交于点H，∴∠DBC=∠FCB，∠ABD=∠ACF， 又∵GE//BC，∴∠G=∠FCB，∠DBC=∠E，∴∠G=∠E 又∵GE//BC，∴∠GAB=∠ABC，∠ACB=∠EAC，∴∠GAB=∠EAC 手续费英语又∵GE//BC，∴∠G=∠FCB=∠ACF，∠DBC=∠E=∠ABD，∴AG=AC，AE=AB，∴AG=AE 在△ADE和△AFG中，∠GAB=∠EAC，AG=AE，∠GAB=∠EAC，∴△ADE≌△AFG（ASA） 【点评】本题也是一道结论开放型问题，考查的知识点是全等三角形的判定与性质。与例1不同的是，本题解题难点在于如何找出够数量的全等三角形并进行证明。 解这类题目要从图形与条件同时入手考虑，在例3中，从图形观察出，题目的背景图形是一个等腰三角形，根据对称性能发现有五组成对称性的三角形。要证明这五组成对称性的三角形全等，又要从条件入手，条件多从角度出发，因此学生也要从SAS、AAS、ASA等与角有关的判定证明。 mickey是什么意思例4：如图4，四边形ABCD中，点E在边CD上，联结AE、BE。给出下列五个关系式：①AD//BC；②DE=CE；③AE是∠DAB的角平分线；④BE是∠ABC的角平分线；⑤AD+BC=AB。将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。用序号写出所有可能的真命题（书写格式如：如果…那么…），并给出证明。 面试常用英语图4 解：第一种情况：①②③→④⑤。 证明一：如图5，延长AE、BC交于点F。 ∵AD//BC，∴∠DAE=∠F，又∵∠DAE=∠EAB，∴∠EAB=∠F，AB=BF 在△DAE和△CFE中，∠DAE=∠F，DE=EC，∠DEA=∠CEF，∴△DAE≌△CFE（AAS） ∴AD=CF，AE=EF，又∵BF=BC+CF，∴AB=BF=BC+CF=BC+AD 在△ABF中，AB=BF，AE=EF，∴BE是∠ABC的角平分线 图5 图6 图7 证明二：如图6，过点E作EG//BC交AB于点G。 ∵AD//BC//EG，∴∠DAE=∠AEG，又∵∠DAE=∠EAB，∴∠EAB=∠AEG，AG=GE， 又∵AD//BC//EG，∴，又∵DE=EC，∴AG=GB，∴EG是梯形ABCD的中位线 ∴，同时，∴AB=AD+BC ∵GB=GE，∴∠ABE=∠GEB，又∵EG//BC，∴∠GEB=∠EBC，∠ABE=∠EBC， 即BE是∠ABC的角平分线。 第二种情况：①②④→③⑤。证明方法同第一种类似，也有两种方法。 证明一：如图7，延长BE、AD交于点H。 ∵AD//BC，∴∠EBC=∠H，又∵∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠H，AB=AH 在△DEH和△CEB中，∠H=∠EBC，DE=EC，∠DEH=∠CEB，∴△DEH≌△CEB（AAS） ∴DH=CB，HE=EB，又∵AH=AD+DH，∴AB=AH=AD+DH=AD+BC 在△ABH中，AB=AH，HE=EB，∴AE是∠DAB的角平分线 证明二：如图6，过点E作EG//BC交AB于点G。 ∵AD//BC//EG，∴∠GEB=∠EBC，又∵∠ABE=∠EBC，∴∠GEB=∠ABE，BG=GE， 又∵AD//BC//EG，∴，又∵DE=EC，∴AG=GB，∴EG是梯形ABCD的中位线 ∴，同时，∴AB=AD+BC ∵GA=GE，∴∠BAE=∠AEG，又∵EG//AD，∴∠DAE=∠AEG，∠BAE=∠DAE， 即AE是∠DAB的角平分线。 marines第三种情况：①③④→②⑤。 证明一：如图5，延长AE、BC交于点F。give it away ∵AD//BC，∴∠DAE=∠F，又∵∠DAE=∠EAB，∴∠EAB=∠F，AB=BF 又∵BE是∠ABC的角平分线，∴AE=EF 在△DAE和△CFE中，∠DAE=∠F，AE=EF，∠DEA=∠CEF，∴△DAE≌△CFE（ASA） ∴AD=CF，DE=EC，∴BF=BC+CF =BC+AD 证明二：如图6，过点E作EG//BC交AB于点G。 angela aki∵AD//BC//EG，∴∠GEB=∠EBC，∠DAE=∠AEG， 又∵AE、BE分别是∠DAB和∠ABC的角平分线，∴∠GEB=∠ABE，∠DAE=∠EAG， ∴AG=GE，GE=GB，∴， 又∵AD//BC//EG，∴，又∵AG=GB，∴DE=EC，∴EG是梯形ABCD的中位线 ∴，∴AB=AD+BC 剩下三种情况证法一样，不再加以详述。 【点评】本题是一道条件与结论同时开放型问题，主要考查梯形的性质与中位线定理等几何知识，还涉及到全等三角形的判定与性质。本题难度较高，但是本题题型新颖，需要在梯形中通常作辅助线来构造三角形，转移有关线段来求解。例4中首先要确定梯形，①只能做条件，如果②作为条件，可得到以下两种情况：①②③→④⑤和①②④→③⑤；如果③作为条件，可得到以下两种情况：①③④→②⑤和①③⑤→②④；还有两种情况①④⑤→②③和①②⑤→③④也可以成立。 此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断。 课后作业 一、填空题 1、给出两个数3和6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数可以是 。（写出一个你认为正确的答案即可） 2、请从下列三个代数式中（）任选两个构造一个分式： 。（写出一个你认为正确的答案即可） 3、已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点D为垂足，由以上两个条件可得 。（写出一个你认为正确的结论） 4、多项式可分解为两个一次因式的积，整数p的值是 。（写出一个即可） 5、请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。 6、平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式 。 7、请给出一元二次方程 =0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根。 8、已知一次函数的图像经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： 。 9、已知：如图，AB//DE，且AB=DE，请只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是 。 第9题图 10、已知，从thorns这四个数中任意选取三个数，它们的和是 。 二、简答题 11、如图，点E、F分别是AD上的两点，AB//CD，AB=CD，AF=DE，问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明。 第11题图 12、如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE//DF；②AB=CD；③CE=BF； （1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果…...那么……”） （2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由； 第12题图 | |
本文发布于:2023-06-22 04:14:22，感谢您对本站的认可！
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