第４１卷 第３期２０２１年５月
西安科技大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＸＩ’ＡＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｖｏｌ．４１ Ｎｏ ３Ｍａｙ２０２１
卢志强，侯媛彬，孟 芸，等．双足机器人节能步态规划算法［Ｊ］．西安科技大学学报，２０２１，４１（３）：５４０－５４８．
ＬＵＺｈｉｑｉａｎｇ，ＨＯＵＹｕａｎｂｉｎ，ＭＥＮＧＹｕｎ，ｅｔａｌ．Ｅｎｅｒｇｙ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｇａｉｔ ｐｌａｎｎｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｂｉｐｅｄｒｏｂｏｔｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉ’ａｎＵｎｉ ｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
，２０２１，４１（３）：５４０－５４８．收稿日期：２０２０－０９－１９ 责任编辑：高 佳基金项目：国家自然科学基金项目（Ｕ１６０４１１１２５）
通信作者：卢志强，男，河南开封人，讲师，博士研究生，Ｅ ｍａｉｌ：ｘｋｌｚｑ＠１６３．ｃｏｍ
双足机器人节能步态规划算法
卢志强１，２
，侯媛彬１，孟 芸２，周福娜２
（１．西安科技大学机械工程学院，陕西西安７１００５４；２．河南大学计算与信息工程学院，河南开封４７５００４）
摘 要：为提高双足机器人的步行性能，提出基于五质心倒立摆模型的节能步态规划算法。算法包括步态参数优化算法和步态合成算法。步态参数优化算法允许身体做三维运动，以有限阶傅里叶级数的系数表征特定步长下机器人身体的运动空间。通过离散化这些系数，使运动空间网格化。进而对网格交点进行逆动力学计算，划分出满足允许零力矩点区域要求的种子集合。算法以电机的负荷转矩和角速度的乘积为能耗指标函数，在每个种子的邻域迭代计算。按照最
大梯度原则逐次逼近函数极小值，此时的电机角度序列作为对应步长下的解，存入数据库。步
态合成算法按照步行距离，规划由起始步、中间步和停止步构成的完整行走轨迹。按照行走步长，从数据库读取腿关节电机的角度序列，并依据双足机器人行走中反馈的零力矩点，对序列进行修改。为验证算法有效性，进行了动态仿真实验和现实环境中双足步行实验。实验结果与固定身体高度或允许身体垂直运动的算法对比，证明步态算法具有明显的节能效果。该算法实现低能耗和高鲁棒性的折中，
较好地解决具有高度非线性特征的双足机器人行走问题，为煤矿救援机器人的开发开辟一种新途径。
关键词：双足机器人；五质心模型；步态规划；零力矩点；空间网格化；梯度逼近中图分类号：ＴＰ２４２．６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２－９３１５（２０２１）０３－０５４０－０９ＤＯＩ：１０．１３８００／ｊ．ｃｎｋｉ．ｘａｋｊｄｘｘｂ．２０２１．０３２０
开放科学（资源服务）标识码（ＯＳＩＤ）：
Ｅｎｅｒｇｙ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｇａｉｔ ｐｌａｎｎｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｂｉｐｅｄｒｏｂｏｔｓ
ＬＵＺｈｉｑｉａｎｇ１，２，ＨＯＵＹｕａｎｂｉｎ１，ＭＥＮＧＹｕｎ２，ＺＨＯＵＦｕｎａ
２
（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００５４，Ｃｈｉｎａ；
２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｅｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋａｉｆｅｎｇ４７５００４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｅｎｅｒｇｙ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｇａｉｔ ｐｌａｎｎｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｆｉｖｅ ｃｅｎｔｒｏｉｄｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｍｏｄｅｌｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｔｈｅｐａｐｅｒｆｏｒｉｍｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅｗａｌｋｉｎｇｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｂｉｐｅｄｒｏｂｏｔ．Ｔｈｅｇａｉｔ ｐｌａｎｎｉｎｇａｌｇｏ ｒｉｔｈｍｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｇａｉｔｐａｒａｍｅｔｅｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ（ＧＰＯ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄｇａｉｔｓｙｎｔｈｅｓｉｓ（ＧＳＹＮ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ＧＰＯａｌｇｏｒｉｔｈｍａｌｌｏｗｓｔｈｅｂｏｄｙｔｏｐｅｒｆｏｒｍｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｍｏｔｉｏｎ，ａｎｄｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅｍｏｔｉｏｎｓｐａｃｅｏｆｔｈｅｒｏｂｏｔｂｏｄｙｉｎａｇｉｖｅｎｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｗｉｔｈｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆｔｈｅｆｉｎｉｔｅ ｏｒｄｅｒＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓ．Ｂｙｄｉｓｃｒｅｔｉｚｉｎｇｔｈｅｓｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ｔｈｅｍｏｔｉｏｎｓｐａｃｅｉｓｇｒｉｄｄｅｄ．Ｔｈｅｎｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍｉｃｓｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓｏｆｇｒｉｄｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓａｒｅｃａｒｒｉｅｄｏｕｔ，ａｎｄｔｈｅｓｅｅｄｓｅｔｓａｔｉｓｆｙｉｎｇｔｈｅｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅａｌｌｏｗａｂｌｅｚｅｒｏｍｏｍｅｎｔｐｏｉｎｔ
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第３期卢志强等：双足机器人节能步态规划算法
ｒｅｇｉｏｎｉｓｄｉｖｉｄｅｄ．Ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｔａｋｅｓｔｈｅｐｒｏｄｕｃｔｏｆｔｈｅｌｏａｄｔｏｒｑｕｅａｎｄａｎｇｕｌａｒｖｅｌｏｃｉｔｙｏｆｍｏｔｏｒｓａｓｔｈｅｅｎｅｒｇｙ ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎｉｎｄｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｅｓｉｔｅｒａｔｉｖｅｌｙｉｔｉｎｔｈｅｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄｏｆｅａｃｈｓｅｅｄ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｍａｘｉｍｕｍｇｒａｄｉｅｎｔ，ｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅｌｙ，ｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔａｎｇｌｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓｏｆｍｏｔｏｒｓａｒｅｓｔｏｒｅｄｉｎｔｈｅｄａｔａｂａｓｅａｓｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈ．Ｇｉｖｅｎａｄｉｓｔａｎｃｅｔｏｂｅｔｒａｖｅｌｅｄ，ＧＳＹＮａｌｇｏｒｉｔｈｍｐｌａｎｓａｃｏｍｐｌｅｔｅｗａｌｋｉｎｇｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ，ｉ．ｅ．，ｔｗｏｓｔａｒｔｉｎｇｓｔｅｐｓ，ｍｕｌｔｉｐｌｅｃｙｃｌｉｃｓｔｅｐｓ，ａｎｄｔｗｏｓｔｏｐｐｉｎｇｓｔｅｐｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｗａｌｋｉｎｇｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈ，ａｎｇｌｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓｉｎｌｅｇｊｏｉｎｔｓｉｓｒｅａｄｆｒｏｍｔｈｅｄａｔａｂａｓｅ，ａｎｄｔｈｅｓｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓａｒｅｍｏｄｉｆｉｅｄｉｎｌｉｇｎｔｏｆｔｈｅｚｅｒｏ ｍｏｍｅｎｔ ｐｏｉｎｔｆｅｅｄｂａｃｋｄｕｒｉｎｇｔｈｅｂｉｐｅｄｒｏｂ
ｏｔｗａｌｋｉｎｇ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｉｄｅｎｔｉｆｙｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｎｄｔｈｅｂｉｐｅｄｗａｌｋｉｎｇｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｉｎｔｈｅｒｅａｌｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｗｅｒｅｃｏｎｄｕｃｔｅｄ．Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｇａｉｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｎｔｈｅｐａｐｅｒｈａｓａｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｅｎｅｒｇｙ ｓａｖｉｎｇｅｆｆｅｃｔｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｔｈｅｆｉｘｅｄｂｏｄｙｈｅｉｇｈｔｏｒａｌｌｏｗｅｄｂｏｄｙｖｅｒｔｉｃａｌｍｏｔｉｏｎ．Ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｏｐｔｉｍｉｚｅｔｈｅｔｒａｄｅｏｆｆｂｅｔｗｅｅｎｌｏｗｅｎｅｒｇｙｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎａｎｄｈｉｇｈｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓａｎｄｓｏｌｖｅｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｗａｌｋｉｎｇｉｎｂｉｐｅｄｒｏｂｏｔｓｗｉｔｈｈｉｇｈｌｙｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ，ｗｈｉｃｈｏｐｅｎｓｕｐａｎｅｗｗａｙｆｏｒｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｃｏａｌｍｉｎｅｒｅｓｃｕｅｒｏｂｏｔｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｉｐｅｄｒｏｂｏｔ；ｆｉｖｅｍａｓｓｍｏｄｅｌ；ｇａｉｔｐｌａｎｎｉｎｇ；ｚｅｒｏｍｏｍｅｎｔｐｏｉｎｔ；ｓｐａｔｉａｌｇｒｉｄｄｉｎｇ；ｇｒａｄｉｅｎｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ
０ 引 言
双足机器人具有类人的结构和外观，可以很好地适应人类的生活环境，是替代人类从事如煤矿救援等危险性工作的理想机器人［１］。人们期待双足机器人能够以类人的方式在现实环境中稳定可靠地行走［２］，甚至是奔跑［３］。虽然人类可以相对轻松地执行各种运动，但将人类的行为转化为双足机器人动态运动仍然是一项具有挑战性的任务。近４０ａ来，国内外研究机构与学者在双足机器人领域进行了许多理论［４］和实验研究［５］，并取得显著的发展，如ＨＲＰ－４可以将车辆行驶在道路中央［６］，ＡＴＬＡＳ能跨越障碍、攀爬楼梯等［７］。
牛津小学英语2b
双足行走问题是双足机器人运动研究中最重要且最根本的问题，按照研究思想的不同，提出双足行走方法可分为３类：其一是以人类行走特征为参考的步态生成方法。双足机器人设计的原型是人类本身，很多研究人员使用高速光学运动捕捉系统获取人体运动的轨迹，分析人类的运动特征，并将这些特征应用到仿人机器人的运动中。ＢＯＵ ＴＩＮ等捕捉人体全身运动轨迹，生成双足机器人步行模式，将该方法成功应用于ＨＲＰ－２和ＨＯＡＰ－３这２款机器人的行走［８］。吴伟国等采集人体髋、腿、踝的运动样本，构建机器人仿人步行样本库，实现机器人与人跟随步行［９］。其二是基于中枢模式发生器（ｃｅｎｔｒａｌｐａｔｔｅｒｎｇｅｎｅｒａｔｏｒ，ＣＰＧ）的步态生成方法。人类的双足运动具有周期节律性的特征，ＣＰＧ是能够产生节律运动的神经环路网络，模仿ＣＰＧ产生节律信号，可控制机器人步行运动。刘成菊等使用脚底压力和腰部加速度作为ＣＰＧ的驱动，实现了机器人ＮＡＯ对不同地形的自适应行走［１０］。ＪＵＡＮＧ等使用连续多目标蚁群优化的全连接
递归神经网络构成ＣＰＧ，解决ＮＡＯ的多目标步态生成问题［１１］。其三是基于双足机器人简化模型的步态生成方法。双足机器人一般有几十个自由度且没有固定的基座，导致其动力学系统非常复杂。考虑到系统复杂度和计算复杂度，利用完整的动力学系统模型难以实现双足机器人的步行运动，简化动力学系统便成为实现双足机器人步行运动很好且容易实现的方案。ＨＯＮＧ等将仿人机器人简化成一个单质点和可伸缩不计质量的腿构成的线性倒立摆模型［１２］，ＳＨＡＦＩＩ等将双足机器人简化成一个不计质量桌子与将全部质量集中在一辆在桌面上行驶小车构成的桌子－小车模型［１３］，ＳＨＩＭＭＹＯ等在单质点倒立摆模型的基础上，进一步考虑了支撑腿和摆动腿质量，构成了三质心倒立摆模型［１４］。
目前，已有的双足机器人结构复杂程度还远逊于人类，这决定了以人类特征为参考和基于中枢模式发生器的步态生成方法有其局限性，研究人员更倾向于采用双足机器人简化模型的方法。简化模型的精度决定了控制效果的精度，ＬＵＯ等
１
４
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在三质心模型中，采用加入角动量的模型预测控制，获得了比单质心模型或一般三质心模型高的
零力矩点寻迹精度［１５］。另一方面，减少机器人控
制中的约束条件能获得更优的控制效果，ＳＨＩＮ等允许机器人身体垂直运动，提高了行走速度、降低了驱动电机的能耗
［１６］
。若允许机器人身体有更多
自由度的运动，可以获得更好的控制效果。约束条件的减少，则意味着机器人控制中参数空间的增大，用人工智能的方法寻找最优解将是一个有意义的问题，ＷＲＩＧＨＴ等综述了机器人运动控制
中的常用智能算法［１７］。
结合当前双足机器人行走步态规划领域的研究成果和存在的不足，文中提出一种兼顾双足机器人行走稳定性的节能步态规划算法，解决双足机器人行走的步态规划与控制问题。
１ 问题陈述
１．１ 系统结构
文中使用的双足机器人，具有双臂和双腿，可以模仿人体的行走运动，机器人的每条腿有５个自由度，分别为髋部转角ｑ１／ｑ６，ｑ２／ｑ７，膝盖转角ｑ３／ｑ８，脚踝转角ｑ４／ｑ９和ｑ５／ｑ１０，设关节向量ｑ＝［ｑ１，ｑ２，爥，ｑ１０］Ｔ
。机器人前、侧和垂直方向，分别被定义为Ｘ轴、Ｙ轴和Ｚ轴方向。世界坐标系的原点定位于机器人直立时的两脚中点，机器人模型如图１所示。双足机器人每个脚底分别安装４片ＦＳＲ压力传感器，用来测量脚底作用力的分布，表１列出了机器人身体及右腿的质量及长度，机器人左腿的参数相同。
拟议的双足机器人步态行走基于以下假设。
表１ 双足机器人的基本参数Ｔａｂｌｅ１ Ｂａｓｉｃｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｂｉｐｅｄｒｏｂｏｔ
batch定义数值身体质量ｍｂ／ｋｇ１．２右腿上部质量ｍｒｕ／ｋｇ０．２右腿下部质量ｍｒｄ／
ｋｇ０．２髋宽度ｌｈ／ｍ０．０８ｑ１到ｑ２的距离ｌ１／
ｍ０．０４
定义
数值
ｑ２到ｑ３的距离ｌ２／ｍ０．０８５ｑ３到ｑ４的距离ｌ３／ｍ０．０７５ｑ４到ｑ５的距离ｌ４／ｍ０．０４脚的长度ｌｆｌ／ｍ０．１２脚的宽度ｌｆｗ／
ｍ０．０６
１）上身在任何时候都保持直立的姿态。人的
躯干俯仰角度一般在３°以内［１８］
，多数相关研究表明，这个假设是可以接受的［８－１０，１２－１６］
。
２）双脚总是与地面平行。常见的多数仿人机器人没有脚趾，在抬脚和落脚时，不能发挥改善驱
动性能的作用［
１９］line
。３）一个步态周期Ｔ，包括双支撑（ｄｏｕｂｌｅｓｕｐ ｐｏｒｔｐｈａｓｅ，ＤＳＰ）时间ＴＤＳＰ和单支撑（ｓｉｎｇｌｅｓｕｐｐｏｒｔｐｈａｓｅ，ＳＳＰ）时间ＴＳＳＰ
，定义ＤＳＰ占空比σ≡ＴＤＳＰ
Ｔ
。人行走时，σ区间约１
５％～２５％［１８］
，文中算法选择σ＝
２５％。１．２ ＺＭＰ方程
在诸多双足机器人的动态稳定性指标中，使用最为广泛的是零力矩点（ｚｅｒｏｍｏｍｅｎｔｐｏｉｎｔ，ＺＭＰ）概念，ＺＭＰ是地面上由重力和惯性产生的总
力矩水平分量为零的点［２０］
。设双足机器人的５个
质量点分别为身体ｂ，左腿ｌｕ，左足ｌｄ，右腿ｒｕ，右足ｒｄ，组成集合Ｐｃ＝｛ｂ，ｌｕ，ｌｄ，ｒｕ，ｒｄ｝，位置为｛ｒｉ｜ｉ∈Ｐｃ｝，其中ｂ与髋中心点的距离为ｈｂ。同时，设左髋关节ｌｈ，左膝关节ｌｋ，左踝关节ｌｆ，右髋关节ｒｈ，右膝关节ｒｋ，右踝关节ｒｆ，组成集合Ｐｒ＝｛ｌｈ，ｌｋ，ｌｆ，ｒｈ，ｒｋ，ｒｆ｝，位置为｛ｒｊ｜ｊ∈Ｐｒ｝。机器人的位置示意如图２所示。
在ＺＭＰ位置ｒＺＭＰ＝［ｘＺＭＰ，ｙＺＭＰ
，０］Ｔ
处，地面作用力的合力Ｆ产生的力矩ＭＺＭＰ，与由于各质心的重力和惯性施加于机器人身体的合力矩Ｍ，满足
ｎ×ＭＺＭＰ＝ｎ×（Ｍ－ｒＺＭＰ×
Ｆ）＝０（１
）
式中
Ｆ＝∑ｉ∈Ｐｃ
ｍｉ（ｇ－¨ｒｉ
）（２）
Ｍ＝∑ｉ∈Ｐｃ
［ｒｉ×ｍｉ（ｇ－¨ｒｉ）－Ｉｉרθｉ
］（３）式中 ｎ＝［０，０，１］Ｔ
为地面单位法向量；ｇ＝［０，
０，－ｇ］Ｔ为重力加速度向量；ｇ＝９．８ｍ／ｓ２；Ｉｉ和¨θｉ
分别为位置ｉ处的转动惯量和角加速度。ＫＡＪＩＴＡ
２４５ 西安科技大学学报 ２０２１年第４１卷
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图１ 实验机器人的连杆结构
Ｆｉｇ．１ Ｌｉｎｋｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｏｂｏｔ
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第３期
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卢志强等：双足机器人节能步态规划算法
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#'图２ 双足机器人的五质心模型Ｆｉｇ．２ Ｆｉｖｅｃｅｎｔｒｏｉｄｍｏｄｅｌｏｆｂｉｐｅｄｒｏｂｏｔｓ
等证明¨θ的影响较小，是可忽略的［２１］。将式（２）和
（３）代入（１），可得简化的ＺＭＰ等式如式（４）所
示。ｘｚｍｐ＝
∑ｉ∈Ｐ
ｃ
ｍｉ（¨ｚｉｘｉ＋ｇｘｉ－ｚｉ¨ｘｉ
）∑ｉ∈Ｐｃ
ｍｉ（¨ｚｉ＋ｇ
）ｙｚｍｐ＝punchlist
∑ｉ∈Ｐ
ｃ
ｍｉ（¨ｚｉｙｉ＋ｇｙｉ－ｚｉ¨ｙｉ
）
∑ｉ∈Ｐｃ
ｍｉ（¨ｚｉ＋ｇ
）（４）
１．３ 有效ＺＭＰ区域
双足机器人的建模中不可避免的存在建模误差，ＨＯＮＧ等将ＺＭＰ固定在支撑脚的中心，以实现
最稳定的行走［１２］
，但这并不是高效的方法。在支撑
脚的区域内，划出一些边缘区域，用来补偿建模误差
［１６］
，并使ＺＭＰ位于支撑脚中部的有效ＺＭＰ区域
（ａｌｌｏｗａｂｌｅＺＭＰｒｅｇｉｏｎ，ＡＺＲ）方法，是一种在克服误差与高效行走之间权衡
的较好方法。设足长ｌｆｌ、足宽ｌｆｗ的双足机器人，步行时步幅为ｓ，双足Ｙ轴距离是ｗ，ＡＺＲ示意如图３所示。文中分别用ηｌ＝ｌａｌ／ｌｆｌ和ηｗ＝ｌａｗ／ｌｆｗ表示脚长方向和脚宽方向的容限，后续步态规划算法中，ηｌ取固定值，并约定η＝ηｗ。以左脚在前，右脚在后为例，在第１个ＤＳＰ中，ＡＺＲ是由点ｒ１，ｒ２，ｒ３，ｒ４，ｒ５，ｒ６构成的六边形区域；在ＳＳＰ时，ＡＺＲ是由点ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７构成的长方形；在第２个ＤＳＰ中，ＡＺＲ是由点ｒ５，ｒ６，ｒ７，ｒ８，ｒ９，ｒ１０构成的六边形。１．４ 能耗指标函数
依赖电池提供能源的双足机器人，能耗Ｅ包括
运动能耗Ｅｍ和非运动能耗Ｅａ这２部分［２２］。Ｅｍ用
于维持电机的运行，是系统能耗的主要部分，其值
图３ 双足机器人的ＡＺＲＦｉｇ．３ ＡＺＲｏｆｂｉｐｅｄｒｏｂｏｔｓ
为电机瞬时电压向量ｕｍ（ｔ）和电流向量ｉｍ（ｔ）对时间ｔ的积分。Ｅａ用于传感器、控制器和内部电路运行，其功率Ｐａ在一段时间内是相对稳定的，可以表示为时间ｔ的线性函数。即
Ｅ＝Ｅｍ＋Ｅａ＝∫
ｔ
０
pk是什么意思
ｕＴ
ｍ（τ）ｉｍ（τ）ｄτ＋Ｐａ
ｔ（５）在机器人的能耗中，Ｅｍ可通过步态轨迹优化
显著降低［
２３］
。包含众多伺服电机的双足机器人，准确测量ｕｍ和ｉｍ（ｔ）并不容易，考虑到ｕＴ
ｍ（
ｔ）ｉｍ（ｔ）等于电机输出功率Ｐ２与铜损、铁损及附加损耗之和，而其中的主要成分Ｐ２为电机输出转矩Ｔ２
（ｔ）与角速度的乘积 ｑ（ｔ）。电机运行时，Ｔ２（ｔ）用于克服各质心对电机转轴形成的负载力矩Ｔｇ（ｔ）。在仿真或实测中，依据机器人的姿态即可计算Ｔｇ（ｔ）。因此，若双足机器人一个
步态周期有Ｎ个采样点，评价步态算法的能耗指标函数Ｅ定义为
Ｅ＝∑Ｎ
ｎ＝１Ｔｇ
（ｎ） ｑＴ（ｎ）（６）
１．５ 问题定义
基于前面的分析，文中的节能步态规划问题可表述为
１）给定双足机器人步长和ＡＺＲ，允许身体在行走中三维运动，满足１．１中假设条件，确定最小化能耗指标函数Ｅ的步态轨迹。
２）已知运动距离，确定包含开始步、中间步和停止步的完整步态轨迹，并利用ＡＺＲ，提高双足机器人行走的鲁棒性。
２ 步态规划算法
２．１ 算法概述
trims
文中提出的步态规划算法分为步态参数优化（ｇａｉｔｐａｒａｍｅｔｅｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＧＰＯ）算法和步态合成（
ｇａｉｔｓｙｎｔｈｅｓｉｓ，ＧＳＹＮ）算法２部分，如图４所示。３
４５ 博看网 . All Rights Rerved.
小风车翻译
１）ＧＰＯ算法从步长集合Ｓ和ＡＺＲ容限集合Ｈ选取元素ｓｉ和ηｉ，在ｓｉ傅里叶级数表示空间中布网运算，获得符合ηｉ要求的种子集合Ｐｉ，在Ｐｉ中元素ｐｉ的邻域，
依据文中１．４中的算法计算能耗指标函数，按照最优梯度法迭代运算，获得最小能耗指标函数的电机优化角度序列（步态轨迹）ｇｉ＝｛ｑｉ（ｎ）｜Ｎ＝１，２，爥，Ｎ｝，存入数据库。
ＧＰＯ算法运算时间较长，算法宜于离线运行，对Ｓ和Ｈ完成运算后，将离线数据库中的结果，复制到在线数据库，ＧＳＹＮ计算中可实时调用。
２）ＧＳＹＮ算法根据要求的步行距离ｄ，规划出
步长序列Ｓ
thanks是什么意思和初始ＡＺＲ容限序列Ｈ ，依次从Ｓ
和Ｈ 中取出每步元素ｓｊ和初始＾ηｊ
，查询在线数据库，得到步态控制的关节角度序列ｇｊ。ｇｊ中的数据依次输入电机，可实现机器人的行走。行走中按照脚步压力集合Ｆｊ
，计算真实的ＺＭＰ轨迹，并得到需要修正的Δηｊ。由Δηｊ构成步态反馈，将＾ηｊ修正为
ηｊ
，
可满足机器人运动低能耗和高鲁棒性的折中。图４ 步态规划算法示意
Ｆｉｇ．４ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍｏｆｇａｉｔ ｐｌａｎｎｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍ
２．２ ＧＰＯ算法
ＧＰＯ算法用于生成步态控制的电机角度序列，是文中算法的核心。按照双足机器人行走的精度要求，从最小步长至最大步长离散取值，确定Ｓ中的元素ｓｉ。Ｈ从值域［０，１］选取若干等级，对应不同的鲁棒性要求的ηｉ。ＧＰＯ算法从Ｓ和Ｈ依次选取元素ｓｉ和ηｉ，进行布网梯度优化计算，以获得满足最小化Ｅ的ｇｉ。２．２．１ 布网计算方法
所谓布网计算，是将多维参数取值按照一定间隙离散化为网格，使构成的参数空间网格化，进而计算各个网格交点函数值的过程。若机器人步长为ｓｉ
，身体ｂ进行满足１．１中假设１的三维周期运动，位置ｒｂ（ｎ）＝［ｘｂ（ｎ） ｙｂ（ｎ） ｚｂ
（ｎ）］Ｔ
可用有限阶的傅里叶级数表示，即
ｘｂ（ｎ）＝２ｓｉＮｎ＋∑３
ｋ＝１
ａｋｓｉｎ（ｋω０ｎ）＋ ∑６ｋ＝４ａｋｃｏｓ（（ｋ－３）ω０ｎ）ｙｂ（ｎ）＝∑１１ｋ＝７ａｋｓｉｎ（（ｋ－６）ω０
ｎ）ｚｂ（ｎ）＝ａ１２＋∑１５ｋ＝１３ａｋｓｉｎ（（ｋ－１２）ω０ｎ）＋ ∑１８ｋ＝１６best memory
ａｋｃｏｓ（（ｋ－１５）ω０
ｎ
）（７）
式中 ｒｂ（ｎ）用参数｛ａｋ｜ｋ＝１，２，爥，１８｝表示；Ｎ为步态周期，ω０＝２π／Ｎ。若ａｋ∈［ｄｋ，ｕｋ］按照间隙μｋ取值为Ａｋ＝｛ｄｋ，ｄｋ＋μｋ，ｄｋ＋２μｋ，爥，ｕｋ｝，ｋ＝１，２，爥，１８。则布网形成的交点集合Ｕ为（Ａｋ｜Ｋ＝１，２，爥，１８）的笛卡尔积，即 Ｕ＝Ａ１×Ａ２×爥×Ａ１８
。另一方面，若设机器人运动起始为左腿在前，右腿在后的双支撑阶段，随后右腿摆动向前，且右
脚ｒｆ起始位置为［０ ０ ０］Ｔ
，并设运动满足１．１中假设３，则位置ｒｒｆ（ｎ）＝［ｘｒｆ（ｎ） ｙｒｆ（ｎ） ｚｒｆ
（ｎ）］Ｔ运动轨迹为
ｘｒｆ（ｎ）＝０
，１≤ｎ≤Ｎ１ｓｉ１－ｃｏｓ（ｎ－Ｎ１
）πＮ３＋()
１，Ｎ１＜ｎ≤Ｎ２２ｓｉ，Ｎ２＜ｎ≤
Ｎｙｒｆ
（ｎ）＝－ｗ２， １≤ｎ≤Ｎｚｒｆ（ｎ）＝０， １≤ｎ≤Ｎ１ｈｆｓｉｎ（ｎ－Ｎ１
）πＮ３＋１， Ｎ１＜ｎ≤Ｎ２０， Ｎ２＜ｎ
≤
Ｎ（８）
式中 ｗ为步宽，ｃｍ；ｈｆ为步高，ｃｍ；Ｎ１＝Ｎ／１６，Ｎ２＝７Ｎ／１６，Ｎ３＝３Ｎ／８。
机器人的双足运动具有对称性，左脚轨迹ｒｌｆ（ｎ）为ｒｒｆ（ｎ）时移Ｎ／２，并在Ｙ方向对称取值。
ＨＥＲＺＯＧ等论述了已知ｒｂ（ｎ）和ｒｒｆ
（ｎ）求解双足机器人关节角度ｑ（ｎ）的逆动力学方法［
２４］
。布网空间Ｕ一般具有较大的元素数目，考虑ｒｂ（ｎ）具有的运动特性，可排除ｒｂ（ｎ）在Ｕ中的一些不合理取值，从而减少需要的逆动力学计算数量。常见的ｒｂ
（ｎ）特性有如下特点。１）ｘｂ
（ｎ）在步态周期内单调增。４４５ 西安科技大学学报 ２０２１年第４１卷
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