一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法与流程
1.本发明涉及结构动力学分析技术领域，具体涉及一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法。
背景技术：
2.提升机主轴是矿井提升机的核心组件，不仅承担在提升中产生的扭矩，还要承受钢丝绳的张力，在长时间高负荷工作后，主轴关键位置出现疲劳损坏的概率会大大增加，直接影响提升机的工作性能，严重可能危及工作人员的生命安全。此外，提升机主轴具有阶梯式结构，采用现有方法建模会产生较大误差。因此，研究基于提升机主轴结构特点的先进建模方法，同时掌握其力学性能具有重要的现实意义。
3.传统的梁理论和实体单元建模方法计算量呈量级增长，求解过程复杂，在计算短轴时会产生较大的误差，并且无法采用现有的一维优化设计算法，所以不适合工程应用。
技术实现要素：
4.针对上述存在的技术不足，本发明的目的是提供一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法。
5.为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：
6.本发明提供一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法，包括以下步骤：
7.(1)求解提升机主轴变形的径向位移u
ρ
(x,y,z；t)、切向位移和轴向翘曲uz(x,y,z；t)；
8.(2)建立主轴段的三维cartesian坐标系，根据建立的坐标系，用步骤(1) 求解的三个位移分量表示主轴段的位移场；
9.(3)引入carrera通用格式，根据一维梁理论，将步骤(2)的主轴位移场采用张量表示，然后基于二元级数展开，主轴上一点与z轴的垂直距离ρ在柱坐标系下用矩阵形式表示广义坐标向量ψ；
10.(4)根据经典弹性力学理论，小位移变形情况下，由步骤3求出的主轴位移场，在柱坐标系下表示出线性微分算子c，由hooke定律求出应力向量σ，计算本构矩阵e；
11.(5)根据虚位移原理，由应变能公式、势能公式和动能公式分别计算出主轴的应变能、势能和动能，采用hamilton原理，得到相应的控制微分方程；
12.(6)运用插值函数，表示出节点的广义位移d，带入步骤(5)中的微分控制方程，化简得到最终结果；
13.(7)根据步骤(1)-步骤(6)，利用matlab求出提升机主轴的总体质量矩阵和总体刚度矩阵，进一步求解可得到主轴的固有频率，将该计算结果与 ansys模拟得到的结果进行对比，验证提升机主轴的动力学建模方法的准确性。
14.优选地，所述步骤(2)中位移场为：
15.u(x,y,z；t)＝ψi(x,z)ui(y；t)i＝1,2,
…
,n；
16.其中ψi是广义坐标向量，是截面上坐标x和z的函数，ui是广义位移向量， n是展开式项数，下标i表示张量叠加。
17.优选地，所述广义位移向量ui表示为：
18.u
x
＝u1+xu2+yu3+x2u4+xyu5+y2u6；
19.uy＝v1+xv2+yv3+x
2v4
+xyv5+y
2v6
；
20.uz＝w1+xw2+yw3+x2w4+xyw5+y2w6；
21.根据极坐标与直角坐标的转换为：
[0022][0023]
其中x、y表示主轴截面的坐标，ρ、表示主轴在柱坐标系下的坐标，u
x
、 uy、uz表示主轴任意一点在直角坐标系下三个方向的位移分量，u
ρ
、表示主轴在柱坐标下ρ轴和轴的位移分量，u1～u6表示x轴方向的6个广义位移， v1～v6表示y轴方向的6个广义位移，w1～w6表示z轴方向的6个广义位移。
[0024]
主轴广义坐标向量ψi选用的是由n阶基函数xiyj构成的二元taylor多项式，当下标张量i＝2时，ψ＝ψ2，其中ψ参数表示为：
[0025][0026]
其中：
[0027][0028][0029][0030][0031]
其中ψ表示下标张量为2的广义坐标向量，ρ、表示主轴在柱坐标系下的坐标。
[0032]
优选地，步骤(4)中线性微分算子矩阵c表示为：
[0033][0034]
根据hooke定律，应力向量σ表示为：
[0035]
σ＝eε；
[0036]
式中：为应变向量；其中ε表示应变向量，εr、εz表示主轴在柱坐标系下三个方向的线应变，γ
rz
、表示主轴在柱坐标系下的三个角应变，c表示线性微分算子矩阵，u表示主轴在柱坐标系下的位移场；
[0037][0038]
其中σ表示应力向量，σr、σz表示主轴在柱坐标系下三个方向的正应力，σ
rz
、表示主轴在柱坐标系下的三个切应力；
[0039]
利用上述公式得出：
[0040]
本构矩阵e为：
[0041][0042]
λ和μ分别记为：
[0043]
其中λ和μ是lame常数，e表示材料的弹性模量，ν表示材料的泊松比。
[0044]
优选地，步骤(5)中应变能、势能和动能分别表示为u、u
p
和t，根据hamiltion原理，采用以下公式推导出相应的控制微分方程：
[0045][0046][0047][0048]
其中λ是轴长区间，α是截面面域，ω表示轴段截面，u是广义位移向量， p是体分布力向量，q是表面分布力向量，z1,z2(z1《z2)是轴两端的轴向坐标，是端面上应力向量，()表示端面上的物理量，表示径向应力分量，表示轴向应力分量，η表示材料密度，t表示主轴运动时间，r表示轴段半径；
[0049][0050]
根据hamiltion原理：
[0051][0052]
其中δ表示变分运算，t表示运动时间，u表示主轴位移场；
[0053]
导出控制微分方程为：
[0054][0055]
优选地，步骤(6)中节点广义位移和插值函数分别记为d和n，带入控制微分方程并化简得到最终结果的过程如下；
[0056]
d是节点广义位移；
[0057]
d＝{d
u1t d
v1t d
w1t d
u2t d
v2t d
w2t
}
t
；
[0058]du(1)
＝{u
1(1)
…u6(1)
}
t
，d
v(1)
＝{v
1(1)
…v6(1)
}
t
，d
w(1)
＝{w
1(1)
…w6(1)
}
t
；
[0059]du(2)
＝{u
1(2)
…u6(2)
}
t
，d
v(2)
＝{v
1(2)
…v6(2)
}
t
，d
w(2)
＝{w
1(2)
…w6(2)
}
t
；
[0060]
采用c0插值函数：
[0061]
u＝nd＝[n
1 n2]d；
[0062][0063][0064]
其中n是插值函数，d是节点广义位移，ξ是单元内的自然坐标，其取值区间为[-1,1]；
[0065]
带入控制微分方程并化简得：
[0066][0067]
其中表示端面上的插值函数，()表示端面上的物理量；
[0068]
整理为：
[0069][0070][0071][0072][0073]
其中jacobian函数j＝l/2，l为轴段轴向长度积分空间，m为质量矩阵，k 为刚度矩阵，f为边界条件。
[0074]
本发明的有益效果在于：
[0075]
(1)本发明提供的提升机主轴建模方法相比于传统的梁理论和实体单元建模方法具有更高的计算效率，适用范围广，为提升机主轴动力学设计提供了一种新的设计方法。
[0076]
(2)本发明对于提升机主轴建模立的动力学模型与传统的梁理论和实体单元建模相比，精度得到提高，方法可靠。
[0077]
(3)本发明提供的提升机主轴建模方法具有一般性，适用于任意截面形状的轴类结构。
附图说明
[0078]
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
[0079]
图1为多绳摩擦式提升机主轴装置示意图；
[0080]
图2为多绳摩擦式提升机主轴机械结构图；
[0081]
图3为阶梯状主轴结构及坐标系统；
[0082]
图4为梁单元位移场的轴向插值与截面扩展示意图；
[0083]
图5为ansys模型和文本模型计算结果对比图。
具体实施方式
[0084]
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0085]
如图1至图5所示，本实施例提供一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法，包括如下步骤：
[0086]
(1)在基于有限单元法的基础上，分别采用径向位移、切向位移和轴向翘曲来表示提升机主轴的变形情况，分别求解对应的位移分量；
[0087]
(2)根据所求解的位移分量建立主轴轴段的三维cartesian坐标系，将径向位移、切向位移和轴向翘曲在该坐标系下表示，根据carrera一元化理论，基于二元级数展开，主轴位移场写成张量形式；
[0088]
(3)建立极坐标系，根据极坐标与直角坐标的转换关系，在极坐标系下表示主轴轴段位移场；
[0089]
(4)根据经典弹性力学理论，表示出应变向量和应力向量，由柱坐标系下的几何方程，求解出线性微分算子，由hooke定律，求出本构矩阵；
[0090]
(5)由公式计算应变能、势能和动能，根据虚位移原理和hamilton原理求解出主轴轴段位移场的控制微分方程；
[0091]
(6)采用插值函数，用节点广义位移表示出广义位移向量，带入控制微分方程并化简得到最终控制方程；
[0092]
(7)利用matlab求出提升机主轴的总体质量矩阵和总体刚度矩阵，进一步求解可得到主轴的固有频率，将该计算结果与ansys模拟得到的结果进行对比，证明提升机主轴的动力学建模方法的可靠性。
[0093]
以图1所示的提升机主轴为对象进行动力学建模，具体实施步骤如下：
[0094]
步骤1：求解提升机主轴变形模式分为径向位移u
ρ
(x,y,z；t)、切向位移和轴向翘曲uz(x,y,z；t)。
[0095]
步骤2：如图3所示，建立主轴段的三维cartesian坐标系，根据建立的坐标系，用三个位移分量表示主轴段的位移场。
[0096]
步骤3：如图4所示，引入carrera通用格式，根据一维梁理论，将主轴位移场采用张量表示，然后基于二元级数展开，ρ在柱坐标系下用矩阵形式表示广义坐标向量ψ。
[0097]
步骤4：根据经典弹性力学理论，小位移变形情况下，在柱坐标系下表示出线性微分算子c，由hooke定律求出应力向量σ，计算本构矩阵e。
[0098]
步骤5：根据虚位移原理，由公式计算出应变能、势能和动能，采用hamilton 原理，得到相应的控制微分方程。
[0099]
步骤6：运用插值函数，表示出节点的广义位移d，带入微分控制方程，化简得到最终结果。
[0100]
步骤7：如图5所示，利用matlab求解该建模方法提升机主轴的固有频率，然后与ansys所求的结果进行对比分析，验证提升机主轴动力学建模的准确性。所述提升机主轴物理参数为密度η＝7850kg/m3，弹性模量e＝2.06
×
10
11
pa，泊松比v＝0.3。
[0101]
具体的，所述步骤1中径向位移u
ρ
(x,y,z；t)、切向位移和轴向翘曲 uz(x,y,z；t)三个位移向量分别表示为：
[0102][0103]
具体的，所述步骤3位移场u(x,y,z；t)张量表示为：
[0104]
u(x,y,z；t)＝ψi(x,z)ui(y；t)i＝1,2,
…
,n
[0105]
其中ψi是广义坐标向量，是截面上坐标x和z的函数，ui是广义位移向量，n 是展开式项数，下标i表示张量叠加。
[0106]
具体的，所述广义位移向量ui可表示为：
[0107]ux
＝u1+xu2+yu3+x2u4+xyu5+y2u6[0108]
uy＝v1+xv2+yv3+x
2v4
+xyv5+y
2v6
[0109]
uz＝w1+xw2+yw3+x2w4+xyw5+y2w6[0110]
根据极坐标与直角坐标的转换关系：
[0111][0112]
采用矩阵形式表示ψ：
[0113][0114]
其中ω
11
、ω
12
、ω
21
、ω
22
、ω3分别表示为
[0115][0116][0117][0118][0119][0120]
具体的，所述步骤4中应变向量ε和应力向量σ分别表示为：
[0121]
[0122][0123]
在小位移变形情况下，柱坐标系下的几何方程为：
[0124]
ε＝cu
[0125]
线性微分算子矩阵c表示为：
[0126][0127]
根据hooke定律，应力向量σ表示为：
[0128]
σ＝eε
[0129]
本构矩阵e记为：
[0130][0131]
其中λ和μ是lame常数，由材料的弹性模量e和泊松比ν决定，分别记为：
[0132][0133]
具体的，应变能、势能和动能分别表示为u、u
p
和t：
[0134][0135][0136][0137]
其中λ是轴长区间，α是截面面域，p是体分布力向量，q是表面分布力向量，z1,z2(z1《z2)是轴两端的轴向坐标，是端面上应力向量，η表示材料密度，() 表示端面上的物理量。
[0138][0139]
hamiltion原理表示为：
[0140][0141]
根据上述条件，导出微分控制方程
[0142]
[0143]
具体的，所述步骤6中节点广义位移和插值函数分别记为d和n：
[0144]
d＝{d
u1t d
v1t d
w1t d
u2t d
v2t d
w2t
}
t
[0145]du(1)
＝{u
1(1)
…u6(1)
}
t
，d
v(1)
＝{v
1(1)
…v6(1)
}
t
，d
w(1)
＝{w
1(1)
…w6(1)
}
t
[0146]du(2)
＝{u
1(2)
…u6(2)
}
t
，d
v(2)
＝{v
1(2)
…v6(2)
}
t
，d
w(2)
＝{w
1(2)
…w6(2)
}
t
[0147]
采用c0插值函数
[0148]
u＝nd＝[n
1 n2]d
[0149][0150]
式中
[0151]
带入控制微分方程并化简得：
[0152][0153]
运动微分方程表达式为：
[0154][0155][0156][0157][0158]
其中jacobian函数j＝l/2，m为质量矩阵，k为刚度矩阵，f为边界条件。所述ansys建立的实体单元模型采用高阶三维20节点固体结构单元(solid186)进行单元划分，轴向划分单元数目为20个，基于级数展开的建模方法主轴截面扩展函数ψi选用的是由n阶基函数xiyj构成的二元taylor多项式，其中n＝2，采用40个等长梁单元进行数值求解。
[0159]
本实施例运用carrera通用表达格式描述阶梯轴轴段位移场，采用级数展开的方法建立截面位移场，然后运用hamiltion原理建立主轴轴段运动微分方程，得到控制微分方程，最后利用线性lagrange插值函数构建一维动力学分析单元，得到有限单元扩展的四指标基础矩阵，以hamiltion原理为基础，结合有限单元法构建动力学模型，将模型计算出的提升机主轴固有频率与 ansys计算结果进行对比，检验了该建模方法的可靠性；本实施例提出的提升机主轴建模方法在相同精度的条件下有着更高的计算经济性，对于不同结构的提升机主轴，只需修改相应的模型参数，无需重新建模。
[0160]
显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围
之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。
技术特征：
1.一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法，其特征在于，包括以下步骤：(1)求解提升机主轴变形的径向位移u
ρ
(x,y,z；t)、切向位移和轴向翘曲u
z
(x,y,z；t)；(2)建立主轴段的三维cartesian坐标系，根据建立的坐标系，用步骤(1)求解的三个位移分量表示主轴段的位移场；(3)引入carrera通用格式，根据一维梁理论，将步骤(2)的主轴位移场采用张量表示，然后基于二元级数展开，主轴上一点与z轴的垂直距离ρ在柱坐标系下用矩阵形式表示广义坐标向量ψ；(4)根据经典弹性力学理论，小位移变形情况下，由步骤3求出的主轴位移场，在柱坐标系下表示出线性微分算子c，由hooke定律求出应力向量σ，计算本构矩阵e；(5)根据虚位移原理，由应变能公式、势能公式和动能公式计算出提升机主轴的应变能、势能和动能，采用hamilton原理，得到相应的控制微分方程；(6)运用插值函数，表示出节点的广义位移d，带入步骤(5)中的微分控制方程，化简得到最终结果；(7)根据步骤(1)-步骤(6)，利用matlab求出提升机主轴的总体质量矩阵和总体刚度矩阵，进一步求解得到主轴的固有频率，将该计算结果与ansys模拟得到的结果进行对比，验证提升机主轴的动力学建模方法的准确性。2.如权利要求1所述的一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法，其特征在于，所述步骤(2)中位移场为：u(x,y,z；t)＝ψ
i
(x,z)u
i
(y；t)i＝1,2,
…
,n；其中ψ
i
是广义坐标向量，是截面上坐标x和z的函数，u
i
是广义位移向量，n是展开式项数，下标i表示张量叠加。3.如权利要求2所述的一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法，其特征在于，所述广义位移向量u
i
表示为：u
x
＝u1+xu2+yu3+x2u4+xyu5+y2u6；u
y
＝v1+xv2+yv3+x
2v4
+xyv5+y
2v6
；u
z
＝w1+xw2+yw3+x2w4+xyw5+y2w6；根据极坐标与直角坐标的转换为：其中x、y表示主轴截面的坐标，ρ、表示主轴在柱坐标系下的坐标，u
x
、u
y
、u
z
表示主轴任意一点在直角坐标系下三个方向的位移分量，u
ρ
、表示主轴在柱坐标下ρ轴和轴的位移分量，u1～u6表示x轴方向的6个广义位移，v1～v6表示y轴方向的6个广义位移，w1～w6表示z轴方向的6个广义位移。主轴广义坐标向量ψ
i
选用的是由n阶基函数x
i
y
j
构成的二元taylor多项式，当下标张量i＝2时，ψ＝ψ2，其中ψ参数表示为：
其中：其中：其中：其中：其中：其中ψ表示下标张量为2的广义坐标向量，ρ、表示主轴在柱坐标系下的坐标。4.如权利要求1所述的一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法，其特征在于，步骤(4)中线性微分算子矩阵c表示为：根据hooke定律，应力向量σ表示为：σ＝eε；式中：；为应变向量；其中ε表示应变向量，ε
r
、ε
z
表示主轴在柱坐标系下三个方向的线应变，γ
rz
、表示主轴在柱坐标系下的三个角应变，c表示线性微分算子矩阵，u表示主轴在柱坐标系下的位移场；其中σ表示应力向量，σ
r
、σ
z
表示主轴在柱坐标系下三个方向的正应力，σ
rz
、表示主轴在柱坐标系下的三个切应力；利用上述公式得出：本构矩阵e为：λ和μ分别记为：其中λ和μ是lame常数，e表示材料的弹性模量，ν表示材料的泊松比。5.如权利要求1所述的一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法，其特征在于，步骤(5)中应变能、势能和动能分别表示为u、u
p
和t，根据hamiltion原理，采用以下公式推导出相应的控制微分方程：
其中λ是轴长区间，α是截面面域，ω表示轴段截面，u是广义位移向量，p是体分布力向量，q是表面分布力向量，z1,z2(z1<z2)是轴两端的轴向坐标，是端面上应力向量，()表示端面上的物理量，表示径向应力分量，表示轴向应力分量，η表示材料密度，t表示主轴运动时间，r表示轴段半径；根据hamiltion原理：l＝t-u-u
p
；其中δ表示变分运算，t表示运动时间，u表示主轴位移场；导出控制微分方程为：6.如权利要求5所述的一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法，其特征在于，步骤(6)中节点广义位移和插值函数分别记为d和n，带入控制微分方程并化简得到最终结果的过程如下；d是节点广义位移；d＝{d
u1t d
v1t d
w1t d
u2t d
v2t d
w2t
}
t
；d
u(1)
＝{u
1(1)
ꢀ…ꢀ
u
6(1)
}
t
，d
v(1)
＝{v
1(1)
ꢀ…ꢀv6(1)
}
t
，d
w(1)
＝{w
1(1)
ꢀ…ꢀ
w
6(1)
}
t
；d
u(2)
＝{u
1(2)
ꢀ…ꢀ
u
6(2)
}
t
，d
v(2)
＝{v
1(2)
ꢀ…ꢀv6(2)
}
t
，d
w(2)
＝{w
1(2)
ꢀ…ꢀ
w
6(2)
}
t
；采用c0插值函数：u＝nd＝[n
1 n2]d；]d；其中n是插值函数，d是节点广义位移，ξ是单元内的自然坐标，其取值区间为[-1,1]；
带入控制微分方程并化简得：其中表示端面上的插值函数，()表示端面上的物理量；整理为：整理为：整理为：整理为：其中jacobian函数j＝l/2，l为轴段轴向长度积分空间，m为质量矩阵，k为刚度矩阵，f为边界条件。
技术总结
本发明公开了一种基于级数展开的提升机主轴动力学建模方法，包括以下步骤：(1)求解提升机主轴变形的径向位移、切向位移和轴向翘曲；(2)求解的三个位移分量表示主轴段的位移场；(3)将步骤(2)的主轴位移场采用张量表示，主轴上一点与z轴的垂直距离ρ在柱坐标系下用矩阵形式表示广义坐标向量ψ；(4)在柱坐标系下表示出线性微分算子C，由Hooke定律求出应力向量σ，计算本构矩阵E；(5)得到相应的控制微分方程；(6)运用插值函数，表示出节点的广义位移d，带入步骤(5)中的微分控制方程，化简得到最终结果；(7)验证提升机主轴的动力学建模方法的准确性，具有更高的计算效率，适用范围广。适用范围广。适用范围广。
