数学帝葛军

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2010年江苏省高考数学试卷

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，3}，B＝{a+2，a2+4}，A∩B＝{3}，则实数a＝．

2．（5分）设复数z满足z（2﹣3i）＝6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为．

3．（5分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜

色不同的概率是．

4．（5分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉

花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方

图如图所示，则其抽样的100根中，有根在棉花纤维的长度小于20mm．

5．（5分）设函数f（x）＝x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a＝．

6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则

M到双曲线右焦点的距离是．

7．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．

8．（5分）函数y＝x2（x＞0）的图象在点（a

k

，a

k

2）处的切线与x轴交点的横坐标为a

k+1

，

k为正整数，a

1

＝16，则a

1

+a

3

+a

5

＝．

9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2＝4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c

＝0的距离为1，则实数c的取值范围是．

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10．（5分）定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，

过点P作PP

1

⊥x轴于点P

1

，直线PP

1

与y＝sinx的图象交于点P

2

，则线段P

1

P

2

的长

为．

11．（5分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范

围是．

12．（5分）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是．

13．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+＝6cosC，则+

的值是．

14．（5分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯

形，记，则S的最小值是．

二、解答题（共9小题，满分110分）

15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足（）•＝0，求t的值．

16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥

DC，∠BCD＝90°．

（1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

17．（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆

BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β．

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（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的

值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），

使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多

少时，α﹣β最大？

18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，

右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x

1

，y

1

）、N（x

2

，y

2

），

其中m＞0，y

1

＞0，y

2

＜0．

（1）设动点P满足PF2﹣PB2＝4，求点P的轨迹；

（2）设x

1

＝2，x

2

＝，求点T的坐标；

（3）设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

19．（16分）设各项均为正数的数列{a

n

}的前n项和为S

n

，已知2a

2

＝a

1

+a

3

，数列是

公差为d的等差数列．

（1）求数列{a

n

}的通项公式（用n，d表示）；

（2）设c为实数，对满足m+n＝3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S

m

+S

n

＞cS

k

都成立．求证：c的最大值为．

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20．（16分）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在

实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）

＝h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）＝，

其中b为实数．

（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；

②求函数f（x）的单调区间．

（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x

1

，x

2

∈（1，+∞），x

1

＜x

2

，设m为实数，

α＝mx

1

+（1﹣m）x

2

，β＝（1﹣m）x

1

+mx

2

，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g

（x

1

）﹣g（x

2

）|，求m的取值范围．

21．（10分）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若

多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝

DC，求证：AB＝2BC．

B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣2，1）．设k为非

零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为

A

1

、B

1

、C

1

，△A

1

B

1

C

1

的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．

C：在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a＝0相切，求实数a

的值．

D：设a、b是非负实数，求证：．

22．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一

等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是

二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则

亏损2万元．设生产各种产品相互独立．

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布

列；

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（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

23．（10分）已知△ABC的三边长都是有理数．

（1）求证cosA是有理数；

（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．

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2010年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，3}，B＝{a+2，a2+4}，A∩B＝{3}，则实数a＝1．

【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．

【解答】解：∵A∩B＝{3}

∴3∈B，又∵a2+4≠3

∴a+2＝3即a＝1

故答案为1

【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，

也是高考常会考的题型．

2．（5分）设复数z满足z（2﹣3i）＝6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为2．

【分析】直接对复数方程两边求模，利用|2﹣3i|＝|3+2i|，求出z的模．

【解答】解：z（2﹣3i）＝2（3+2i），

|z||（2﹣3i）|＝2|（3+2i）|，

|2﹣3i|＝|3+2i|，z的模为2．

故答案为：2

【点评】本题考查复数运算、模的性质，是基础题．

3．（5分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜

色不同的概率是．

【分析】算出基本事件的总个数n＝C

4

2＝6，再算出事件A中包含的基本事件的个数m

＝C

3

1＝3，算出事件A的概率，即P（A）＝即可．

【解答】解：考查古典概型知识．

∵总个数n＝C

4

2＝6，

∵事件A中包含的基本事件的个数m＝C

3

1＝3

∴

故填：．

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【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数

n；

（2）算出事件A中包含的基本事件的个数m；

（3）算出事件A的概率，即P（A）＝．

4．（5分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉

花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方

图如图所示，则其抽样的100根中，有30根在棉花纤维的长度小于20mm．

【分析】由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于20mm段的频率，根据频率与频数的关

系可得频数．

【解答】解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，

则频数为100×（0.01+0.01+0.04）×5＝30．

故填：30．

【点评】本题考查频率分布直方图的知识．考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，

解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给

出的数学实际问题．

5．（5分）设函数f（x）＝x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a＝﹣1．

【分析】由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可

【解答】解：因为函数f（x）＝x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，

所以g（x）＝ex+ae﹣x为奇函数

由g（0）＝0，得a＝﹣1．

另解：由题意可得f（﹣1）＝f（1），

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即为﹣（e﹣1+ae）＝e+ae﹣1，

即有（1+a）（e+e﹣1）＝0，

解得a＝﹣1．

故答案是﹣1

【点评】考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法．

6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则

M到双曲线右焦点的距离是4．

【分析】d为点M到右准线x＝1的距离，根据题意可求得d，进而先根据双曲线的第二

定义可知＝e，求得MF．答案可得．

【解答】解：＝e＝2，

d为点M到右准线x＝1的距离，则d＝2，

∴MF＝4．

故答案为4

【点评】本题主要考查双曲线的定义．属基础题．

7．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是63．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序

的作用是利用循环求满足条件S＝1+2+22+…+2n≥33的最小的S值，并输出．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是利用循环求满足条件S＝1+2+22+…+2n≥33的最小的S值

∵S＝1+2+22+23+24＝31＜33，不满足条件．

S＝1+2+22+23+24+25＝63≥33，满足条件

故输出的S值为：63．

故答案为：63

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，

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其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算

的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数

据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③

解模．

8．（5分）函数y＝x2（x＞0）的图象在点（a

k

，a

k

2）处的切线与x轴交点的横坐标为a

k+1

，

k为正整数，a

1

＝16，则a

1

+a

3

+a

5

＝21．

【分析】先求出函数y＝x2在点（a

k

，a

k

2）处的切线方程，然后令y＝0代入求出x的值，

再结合a

1

的值得到数列的通项公式，再得到a

1

+a

3

+a

5

的值．

【解答】解：在点（a

k

，a

k

2）处的切线方程为：y﹣a

k

2＝2a

k

（x﹣a

k

），

当y＝0时，解得，

所以．

故答案为：21．

【点评】考查函数的切线方程、数列的通项．

9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2＝4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c

＝0的距离为1，则实数c的取值范围是（﹣13，13）．

【分析】求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于1即可．

【解答】解：圆半径为2，

圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c＝0的距离小于1，即，

c的取值范围是（﹣13，13）．

【点评】考查圆与直线的位置关系．（圆心到直线的距离小于1，此时4个，等于3个，

等于1，大于1是2个．）是有难度的基础题．

10．（5分）定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，

过点P作PP

1

⊥x轴于点P

1

，直线PP

1

与y＝sinx的图象交于点P

2

，则线段P

1

P

2

的长为．

【分析】先将求P

1

P

2

的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx＝5tanx可求出sinx

的值，从而得到答案．

【解答】解：线段P

1

P

2

的长即为sinx的值，

且其中的x满足6cosx＝5tanx，即6cosx＝，化为6sin2x+5sinx﹣6＝0，解得sinx

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＝．线段P

1

P

2

的长为

故答案为．

【点评】考查三角函数的图象、数形结合思想．

11．（5分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范

围是（﹣1，﹣1）．

【分析】由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）＝1，故满足不等

式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．

【解答】解：由题意，可得

故答案为：

【点评】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问

题解决问题的能力．

12．（5分）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是27．

【分析】首先分析题目由实数x，y满足条件3≤xy2≤8，4≤≤9．求的最大值的

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问题．根据不等式的等价转换思想可得到：，，

代入求解最大值即可得到答案．

【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，

则有：，，

再根据，即当且仅当x＝3，y＝1取得等号，

即有的最大值是27．

故答案为：27．

【点评】此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用

不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意，属于中档题．

13．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+＝6cosC，则+

的值是4．

【分析】由+＝6cosC，结合余弦定理可得，，而化简+＝

＝，代入可求

【解答】解：∵+＝6cosC，

由余弦定理可得，

∴

则+＝＝

＝＝＝

＝＝

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故答案为：4

【点评】本题主要考查了三角形的正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属

于基本公式的综合应用．

14．（5分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯

形，记，则S的最小值是．

【分析】先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，

方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数

的单调性进而确定最小值；

方法二：令3﹣x＝t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．

【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3﹣x，

（方法一）利用导数求函数最小值．，

＝

，

当时，S′（x）＜0，递减；当时，S′（x）＞0，递增；

故当时，S的最小值是．

（方法二）利用函数的方法求最小值．

令，

则：

故当时，S的最小值是．

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【点评】考查函数中的建模应用，等价转化思想．一题多解．

二、解答题（共9小题，满分110分）

15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足（）•＝0，求t的值．

【分析】（1）（方法一）由题设知，则

．

从而得：．

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：

由E是AC，BD的中点，易得D（1，4）

从而得：BC＝、AD＝；

（2）由题设知：＝（﹣2，﹣1），．

由（）•＝0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）＝0，

从而得：．

或者由，，得：

【解答】解：（1）（方法一）由题设知，则

．

所以．

故所求的两条对角线的长分别为、．

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC＝、AD＝；

（2）由题设知：＝（﹣2，﹣1），．

由（）•＝0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）＝0，

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从而5t＝﹣11，所以．

或者：，，

【点评】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基

本的求解能力．

16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥

DC，∠BCD＝90°．

（1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面

ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得

证；

（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：

方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E

到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第

一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等

腰直角三角形PDC中易求；

方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P

﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距

离，设为h，则利用体积相等即求．

【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，

又PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，

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所以BC⊥平面PCD．

因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．

因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°．

从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S

△ABC

＝1．

由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P﹣ABC的体积．

因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．

又PD＝DC＝1，所以．

由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积．

由V

A﹣PBC

＝V

P﹣ABC

，，得，

故点A到平面PBC的距离等于．

【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考

查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．

17．（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆

BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β．

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的

值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），

使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多

少时，α﹣β最大？

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【分析】（1）在Rt△ABE中可得AD＝，在Rt△ADE中可得AB＝，BD＝，

再根据AD﹣AB＝DB即可得到H．

（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α﹣β）＝

，再根据均值不等式可知当d＝＝＝55时，tan（α

﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．

【解答】解：（1）＝tanβ⇒AD＝，同理：AB＝，BD＝．

AD﹣AB＝DB，故得﹣＝，

得：H＝＝＝124．

答：算出的电视塔的高度H是124m．

（2）由题设知d＝AB，得tanα＝，tanβ＝＝＝，

tan（α﹣β）＝＝＝＝

d+≥2，（当且仅当d＝＝＝55时，取等号）

故当d＝55时，tan（α﹣β）最大．

因为0＜β＜α＜，则0＜α﹣β＜，所以当d＝55时，α﹣β最大．

答：所求的d是55m．

【点评】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问

题时，可考虑用不等式的性质来解决．

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18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，

右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x

1

，y

1

）、N（x

2

，y

2

），

其中m＞0，y

1

＞0，y

2

＜0．

（1）设动点P满足PF2﹣PB2＝4，求点P的轨迹；

（2）设x

1

＝2，x

2

＝，求点T的坐标；

（3）设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

【分析】（1）设点P（x，y），由两点距离公式将PF2﹣PB2＝4，变成坐标表示式，整理即

得点P的轨迹方程．

（2）将分别代入椭圆方程，解出点M与点N的坐标由两点式写出直线AM

与直线BN的方程联立解出交点T的坐标．（3）方法一求出直线方程的参数表达式，然后

求出其与x的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过x轴上的定点．

方法二根据特殊情况即直线与x轴垂直时的情况求出定点，然后证明不垂直于x轴时两

线DM与DN斜率相等，说明直线MN过该定点．

【解答】解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（﹣3，0）．

由PF2﹣PB2＝4，得（x﹣2）2+y2﹣[（x﹣3）2+y2]＝4，化简得．

故所求点P的轨迹为直线．

（2）将分别代入椭圆方程，以及y

1

＞0，y

2

＜0，

得M（2，）、N（，）

直线MTA方程为：，即，

直线NTB方程为：，即．

第18页（共27页）

联立方程组，解得：，

所以点T的坐标为．

（3）点T的坐标为（9，m）

直线MTA方程为：，即，

直线NTB方程为：，即．

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x

1

≠﹣3，x

2

≠3，

解得：、．

（方法一）当x

1

≠x

2

时，

直线MN方程为：，

令y＝0，可得＝x﹣，

即为x＝，

令y＝0，解得：x＝1．此时必过点D（1，0）；

当x

1

＝x

2

时，直线MN方程为：x＝1，与x轴交点为D（1，0）．

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．

（方法二）若x

1

＝x

2

，则由及m＞0，得，

此时直线MN的方程为x＝1，过点D（1，0）．

若x

1

≠x

2

，则，直线MD的斜率，

第19页（共27页）

直线ND的斜率，得k

MD

＝k

ND

，所以直线MN过D点．

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．

【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考

查运算求解能力和探究问题的能力

19．（16分）设各项均为正数的数列{a

n

}的前n项和为S

n

，已知2a

2

＝a

1

+a

3

，数列是

公差为d的等差数列．

（1）求数列{a

n

}的通项公式（用n，d表示）；

（2）设c为实数，对满足m+n＝3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S

m

+S

n

＞cS

k

都成立．求证：c的最大值为．

【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a

1

、d的方程，求出a

1

，

进而推出s

n

，再利用a

n

与s

n

的关系求出a

n

．

（2）利用（1）的结论，对S

m

+S

n

＞cS

k

进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c

的最大值的范围，利用夹逼法求出a的值．

【解答】解：（1）由题意知：d＞0，＝+（n﹣1）d＝+（n﹣1）d，

∵2a

2

＝a

1

+a

3

，

∴3a

2

＝S

3

，即3（S

2

﹣S

1

）＝S

3

，

∴，

化简，得：，

当n≥2时，a

n

＝S

n

﹣S

n﹣1

＝n2d2﹣（n﹣1）2d2＝（2n﹣1）d2，适合n＝1情形．

故所求a

n

＝（2n﹣1）d2

第20页（共27页）

（2）（方法一）S

m

+S

n

＞cS

k

⇒m2d2+n2d2＞c•k2d2⇒m2+n2＞c•k2，恒成立．

又m+n＝3k且m≠n，，

故，即c的最大值为．

（方法二）由及，得d＞0，S

n

＝n2d2．

于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有

．

所以c的最大值．

另一方面，任取实数．设k为偶数，令，则m，n，k符合条

件，且．

于是，只要9k2+4＜2ak2，即当时，．

所以满足条件的，从而．

因此c的最大值为．

【点评】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、

分析及论证的能力．

20．（16分）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在

实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）

＝h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）＝，

其中b为实数．

（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；

②求函数f（x）的单调区间．

（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x

1

，x

2

∈（1，+∞），x

1

＜x

2

，设m为实数，

α＝mx

1

+（1﹣m）x

2

，β＝（1﹣m）x

1

+mx

2

，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g

（x

1

）﹣g（x

2

）|，求m的取值范围．

【分析】（1）①先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）＝h（x）

第21页（共27页）

（x2﹣bx+1）这种形式，再说明h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，即可证

明函数f（x）具有性质P（b）；

②根据第一问令φ（x）＝x2﹣bx+1，讨论对称轴与2的大小，当b≤2时，对于x＞1，

φ（x）＞0，所以f′（x）＞0，可得f（x）在区间（1，+∞）上单调性，当b＞2时，

φ（x）图象开口向上，对称轴，可求出方程φ（x）＝0的两根，判定两根的

范围，从而确定φ（x）的符号，得到f′（x）的符号，最终求出单调区间．

（2）先对函数g（x）求导，再m分m≤0，m≥1，0＜m＜1进行，同时运用函数的单调

性即可得到．

【解答】解：（1）①f′（x）＝

∵x＞1时，恒成立，

∴函数f（x）具有性质P（b）；

②当b≤2时，对于x＞1，φ（x）＝x2﹣bx+1≥x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0

所以f′（x）＞0，故此时f（x）在区间（1，+∞）上递增；

当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴，

方程φ（x）＝0的两根为：，而

当时，φ（x）＜0，f′（x）＜0，

故此时f（x）在区间上递减；

同理得：f（x）在区间上递增．

综上所述，当b≤2时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）；

当b＞2时，f（x）的单调减区间为；f（x）的单调增区间为

第22页（共27页）

．

（2）由题设知：g（x）的导函数g′（x）＝h（x）（x2﹣2x+1），其中函数h（x）＞0

对于任意的x∈（1，+∞）都成立，所以，

当x＞1时，g′（x）＝h（x）（x﹣1）2＞0，

从而g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．

①当m∈（0，1）时，有α＝mx

1

+（1﹣m）x

2

＞mx

1

+（1﹣m）x

1

＝x

1

，α＜mx

2

+（1﹣m）

x

2

＝x

2

，得

α∈（x

1

，x

2

），同理可得β∈（x

1

，x

2

），

所以由g（x）的单调性知g（α），g（β）∈（g（x

1

），g（x

2

）），

从而有|g（α）﹣g（β）|＜|g（x

1

）﹣g（x

2

）|，符合题设；

②当m≤0时，α＝mx

1

+（1﹣m）x

2

≥mx

2

+（1﹣m）x

2

＝x

2

，β＝mx

2

+（1﹣m）x

1

≤mx

1

+（1

﹣m）x

1

＝x

1

，

于是由α＞1，β＞1及g（x）的单调性知g（β）≤g（x

1

）＜g（x

2

）≤g（α），所以

|g（α）﹣g（β）|≥|g（x

1

）﹣g（x

2

）|，与题设不符．

③当m≥1时，同理可得α≤x

1

，β≥x

2

，进而得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x

1

）﹣g（x

2

）

|，与题设不符

因此，综合①、②、③得所求的m的取值范围为（0，1）．

【点评】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形

结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．

21．（10分）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若

多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝

DC，求证：AB＝2BC．

B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣2，1）．设k为非

零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为

A

1

、B

1

、C

1

，△A

1

B

1

C

1

的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．

C：在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a＝0相切，求实数a

的值．

第23页（共27页）

D：设a、b是非负实数，求证：．

【分析】A、连接OD，则OD⊥DC，又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，再

证明OB＝BC＝OD＝OA，即可求解．

B、由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解．

C、在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a＝0相切，由题意将

圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a值．

D、利用不等式的性质进行放缩证明，

然后再进行讨论求证．

【解答】解：A：（方法一）证明：连接OD，则：OD⊥DC，

又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，

∠DOC＝∠DAO+∠ODA＝2∠DCO，

所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，

所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC．

（方法二）证明：连接OD、BD．

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°，AB＝2OB．

因为DC是圆O的切线，所以∠CDO＝90°．

又因为DA＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB＝CO．

第24页（共27页）

即2OB＝OB+BC，得OB＝BC．

故AB＝2BC．

B满分（10分）．由题设得

由，可知A

1

（0，0）、B

1

（0，﹣2）、C

1

（k，﹣2）．

计算得△ABC面积的面积是1，△A

1

B

1

C

1

的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2．

所以k的值为2或﹣2．

C解：ρ2＝2ρcosθ，圆ρ＝2cosθ的普通方程为：x2+y2＝2x，（x﹣1）2+y2＝1，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a＝0的普通方程为：3x+4y+a＝0，

又圆与直线相切，所以，

解得：a＝2，或a＝﹣8．

D（方法一）证明：

＝

＝

因为实数a、b≥0，

所以上式≥0．即有．

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

＝

＝

当a≥b时，，从而，得；

当a＜b时，，从而，得；

所以．

【点评】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力，及图形在矩阵对应

的变换下的变化特点，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转

第25页（共27页）

化问题的能力．另外此题也考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，

根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

22．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一

等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是

二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则

亏损2万元．设生产各种产品相互独立．

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布

列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，﹣3，结合变量对应的事件和

相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．

（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件，根据生产4件甲产

品所获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整

数，得到结果，根据独立重复试验写出概率．

【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，﹣3，且

P（X＝10）＝0.8×0.9＝0.72，P（X＝5）＝0.2×0.9＝0.18，

P（X＝2）＝0.8×0.1＝0.08，P（X＝﹣3）＝0.2×0.1＝0.02．

∴X的分布列为：

X1052﹣3

P0.720.180.080.02

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件．

由题设知4n﹣（4﹣n）≥10，

解得，

又n∈N，得n＝3，或n＝4．

所求概率为P＝C

4

3×0.83×0.2+0.84＝0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，

考查独立重复试验的概率公式，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作

为高考题的解答题目出现．

第26页（共27页）

23．（10分）已知△ABC的三边长都是有理数．

（1）求证cosA是有理数；

（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．

【分析】（1）设出三边为a，b，c，根据三者为有理数可推断出b2+c2﹣a2是有理数，b2+c2

﹣a2是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理

数，根据余弦定理可知＝cosA，进而可知cosA是有理数．

（2）先看当n＝1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n＝2时，根据余弦的

二倍角推断出cos2A也是有理数，再假设n≥k（k≥2）时，结论成立，进而可知coskA、

cos（k﹣1）A均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得cos（k+1）A，根据cosA，coskA，

cos（k﹣1）A均是有理数推断出cosA，coskA，cos（k﹣1）A，即n＝k+1时成立．最后

综合原式得证．

【解答】解：（1）证明：设三边长分别为a，b，c，，

∵a，b，c是有理数，b2+c2﹣a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法

的具有封闭性，

∴必为有理数，

∴cosA是有理数．

（2）①当n＝1时，由（1）得cosA是有理数；

当n＝2时，∵cos2A＝2cos2A﹣1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；

②假设当n＝k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k﹣1）A均是有理数．

当n＝k+1时，cos（k+1）A＝coskAcosA﹣sinkAsinA，

，

，

解得：cos（k+1）A＝2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A

∵cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数，∴2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A是有理数，

∴cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数．

即当n＝k+1时，结论成立．

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．

【点评】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析

第27页（共27页）

问题、解决问题的能力．

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