2015广东高考数学

广东省深圳市2015届高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁

U

A=（）

A．φB．{0，2}C．{1，5}D．{2，0，1，5}

2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）

A．B．C．D．

3．（5分）若函数y=a

x

+b的部分图象如图所示，则（）

A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0B．0＜a＜1，0＜b＜1C．a＞1，﹣1＜b＜0

D．a＞1，0＜b＜1

4．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）

A．3B．4C．6D．9

5．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A．16B．25C．36D．49

7．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x

3

+bx

2

+

（a

2

+c

2

﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）

A．（0，）B．（0，]C．[，π）D．[，π]

8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小

到大排成一列a

1

，a

2

，a

3

…，若a

n

=2015，则n=（）

A．83B．82C．39D．37

二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做

题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作

答．

9．（5分）（x﹣）

4

的展开式中常数项为．（用数字表示）

10．（5分）（x

2

﹣2sinx）dx=．

11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小

值为．

12．（5分）已知圆C：x

2

+y

2

+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x

2

=4y的焦点，则抛物线E的准线

与圆C相交所得的弦长为．

13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．

三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）

14．（5分）在极坐标系中，曲线C

1

：ρcosθ=与曲线C

2

：ρ

2

cos2θ=1相交于A，B两点，则

|AB|=．

四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）

15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O

与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为．

三、解答题

16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．

（1）求f（）的值；

（2）若sinx

0

=，且x

0

∈（0，），求f（x

0

）的值．

17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空

气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网

站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：

城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数

值城市AQI数值城市AQI数值

广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80

深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47

佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84

（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：

空气质量优质良好轻度污染中度污染

AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）

城市个数

（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城

市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良

好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．

18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三

棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．

（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平

面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；

（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；

（3）求点C到面PAB的距离．

19．（14分）已知数列{a

n

}的首项大于0，公差d=1，且+=．

（1）求数列{a

n

}的通项公式；

（2）若数列{b

n

}满足：b

1

=﹣1，b

2

=λ，b

n+1

=b

n

+，其中n≥2．

①求数列{b

n

}的通项b

n

；

②是否存在实数λ，使得数列{b

n

}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直

线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点

Q的轨迹方程．

21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．

（1）求f（x）的解析式和值域；

（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．

①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；

②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a

k

，其中k=1，2，…，

n．

证明：a

1

+a

2

+…+a

n

＜（n∈N

*

）．

广东省深圳市2015届高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁

U

A=（）

A．φB．{0，2}C．{1，5}D．{2，0，1，5}

考点：交、并、补集的混合运算．

专题：集合．

分析：根据集合的补集的定义求出A的补集即可．

解答：解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，

∴∁

U

A={1，5}，

故选：C．

点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．

2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）

A．B．C．D．

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则即可得出．

解答：解：∵z（1+i）=1，

∴=．

故选：D．

点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

3．（5分）若函数y=a

x

+b的部分图象如图所示，则（）

A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0B．0＜a＜1，0＜b＜1C．a＞1，﹣1＜b＜0

D．a＞1，0＜b＜1

考点：指数函数的图像与性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：根据指数函数的图象和性质即可判断

解答：解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，

因为函数y=a

x

的图象过定点（0，1），函数y=a

x

+b的图象过定点（0，b），

∴﹣1＜b＜0，

故选：A

点评：本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．

4．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）

A．3B．4C．6D．9

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．

解答：解：作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），

变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，

代值计算可得z=2x+y的最大值为6

故选：C

点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．

5．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：简易逻辑．

分析：根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，

可得其是真命题，

②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．

解答：解：根据题意，分两步来判断：

①当α∥β时，

∵a⊥α，且α∥β，

∴a⊥β，又∵b⊂β，

∴a⊥b，

则a⊥b是α∥β的必要条件，

②若a⊥b，不一定α∥β，

当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，

即a⊥b不是α∥β的充分条件，

则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，

故选B．

点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线

面垂直的性质．

6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A．16B．25C．36D．49

考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．

分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，n，S的值，当i=6时，满足条件i＞5，

退出循环，输出S的值为36．

解答：解：执行程序框图，可得

S=0，n=1，i=1

S=1，

不满足条件i＞5，i=2，n=3，S=4

不满足条件i＞5，i=3，n=5，S=9

不满足条件i＞5，i=4，n=7，S=16

不满足条件i＞5，i=5，n=9，S=25

不满足条件i＞5，i=6，n=11，S=36

满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．

故选：C．

点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确判断退出循环时S的值是解题的关键，属于

基础题．

7．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x

3

+bx

2

+

（a

2

+c

2

﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）

A．（0，）B．（0，]C．[，π）D．[，π]

考点：利用导数研究函数的极值．

专题：计算题；导数的综合应用；解三角形．

分析：先求导f′（x）=x

2

+2bx+（a

2

+c

2

﹣ac），从而化函数f（x）=x

3

+bx

2

+（a

2

+c

2

﹣ac）x+1

有极值点为x

2

+2bx+（a

2

+c

2

﹣ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．

解答：解：∵f（x）=x

3

+bx

2

+（a

2

+c

2

﹣ac）x+1，

∴f′（x）=x

2

+2bx+（a

2

+c

2

﹣ac），

又∵函数f（x）=x

3

+bx

2

+（a

2

+c

2

﹣ac）x+1有极值点，

∴x

2

+2bx+（a

2

+c

2

﹣ac）=0有两个不同的根，

∴△=（2b）

2

﹣4（a

2

+c

2

﹣ac）＞0，

即ac＞a

2

+c

2

﹣b

2

，

即ac＞2accosB；

即cosB＜；

故∠B的范围是（，π）；

故选：D．

点评：本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．

8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小

到大排成一列a

1

，a

2

，a

3

…，若a

n

=2015，则n=（）

A．83B．82C．39D．37

考点：数列递推式．

专题：点列、递归数列与数学归纳法．

分析：利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论．

解答：解：由题意，一位数时只有8一个；

二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个

三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，

（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，

（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，

共1+4×3+2+3×3+6×2=36个，

四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，

（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6

个，

（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，

共有3×4+6×3+1+7=38个数，

∴小于等于2015的一共有1+8+36+38=83个，即a

83

=2015

故选：A

点评：本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做

题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作

答．

9．（5分）（x﹣）

4

的展开式中常数项为．（用数字表示）

考点：二项式定理．

专题：计算题；二项式定理．

分析：利用二项展开式的通项公式T

r+1

=（﹣）

r

••x

4﹣2r

，令4﹣2r=0得r=2，即可求

出（x﹣）

4

的展开式中常数项．

解答：解：设（x﹣）

4

展开式的通项为T

r+1

，则T

r+1

=（﹣）

r

••x

4﹣2r

，

令4﹣2r=0得r=2．

∴展开式中常数项为：（﹣）

2

•=．

故答案为：．

点评：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．

10．（5分）（x

2

﹣2sinx）dx=18．

考点：微积分基本定理．

专题：导数的概念及应用．

分析：根据微积分基本定理计算即可．

解答：解：（x

2

﹣2sinx）dx=（x

3

+2cosx）|=×3

3

+2cos3﹣×（﹣3）

3

﹣2cos

（﹣3）=9+9=18

故答案为：18

点评：本题考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题

11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小

值为9．

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：根据⊥，得到x+y=xy，由x+4y≥4结合“=”成立的条件，求出此时x，y的值，

从而得到答案．

解答：解：∵⊥，（x＞0，y＞0），

∴•=﹣1+=0，

∴+=1，

∴x+4y=（x+4y）（+）=1+++4≥5+2=9，

当且仅当=即x

2

=4y

2

时“=”成立，

故答案为：9

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题．

12．（5分）已知圆C：x

2

+y

2

+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x

2

=4y的焦点，则抛物线E的准线

与圆C相交所得的弦长为4．

考点：抛物线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：求出抛物线E：x

2

=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1，确定圆的方程，即可求出抛

物线E的准线与圆C相交所得的弦长．

解答：解：抛物线E：x

2

=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1．

（0，1）代入圆C：x

2

+y

2

+8x+ay﹣5=0，可得1+a﹣5=0，∴a=4

∴圆C：x

2

+y

2

+8x+4y﹣5=0，即（x+4）

2

+（y+2）

2

=25，

∴圆心到直线的距离为d=1，

∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2=4．

故答案为：4．

点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计

算能力，比较基础．

13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：计算题；作图题；导数的综合应用．

分析：由题意作图，从而可得点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；从而求

解．

解答：解：由题意作图如下，

令y′==1得，

x=1，y=0；

故点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；

故d==；

故答案为：．

点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．

三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）

14．（5分）在极坐标系中，曲线C

1

：ρcosθ=与曲线C

2

：ρ

2

cos2θ=1相交于A，B两点，则

|AB|=2．

考点：简单曲线的极坐标方程．

专题：坐标系和参数方程．

分析：曲线C

1

：ρcosθ=化为x=．曲线C

2

：ρ

2

cos2θ=1化为ρ

2

（cos

2

θ﹣sin

2

θ）=1，可

得x

2

﹣y

2

=1，联立解得即可．

解答：解：曲线C

1

：ρcosθ=化为x=．

曲线C

2

：ρ

2

cos2θ=1化为ρ

2

（cos

2

θ﹣sin

2

θ）=1，∴x

2

﹣y

2

=1，

联立，解得．

∴|AB|=2．

故答案为：2．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、弦长问题，考查了计算能力，属于基础

题．

四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）

15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O

与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为4．

考点：与圆有关的比例线段．

专题：立体几何．

分析：连接OE，由已知得∠AEO=90°，OA=2OE，OD=AD，由直角三角形斜边中线等于斜

边的一半，得DE=OD，由此能求出DE的长．

解答：解：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴∠AEO=90°，

∵∠A=30°，∴OA=2OE，

∵OA=OD+AD，OD=OE，∴OD=AD，

∴DE=OD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，

∴AB=2BC=12，

∵AB=OB+OD+AD=3OD=12，

∴OD=4，

∴DE=OD=4．

故答案为：4．

点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理

运用．

三、解答题

16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．

（1）求f（）的值；

（2）若sinx

0

=，且x

0

∈（0，），求f（x

0

）的值．

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题：计算题；三角函数的求值．

分析：（1）由已知可求ω的值，从而可得解析式，即可根据诱

导公式求值．

（2）由已知可求得cos2x

0

的值，即可求sin2x

0

的值，由两角和的正弦公式展开所求代入即可

求值．

解答：解：（1）∵f（x）的周期是π，即T=π，…（1分）

∴ω==2，即．…（3分）

∴．…（5分）

（2）由得，…（7分）

又，∴2x

0

∈（0，π），…（8分）

∴，…（9分）

∵

=．

∴．…（12分）

点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，同角三角函数的关

系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力，属于基

础题．

17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空

气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网

站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：

城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数

值城市AQI数值城市AQI数值

广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80

深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47

佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84

（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：

空气质量优质良好轻度污染中度污染

AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）

城市个数

（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城

市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良

好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．

专题：概率与统计．

分析：（1）根据已知数据，能完成表格．

（2）按分层抽样的方法，抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根

据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学

期望．

解答：解：（1）根据数据，完成表格如下：

空气质量优质良好轻度污染中度污染

AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）

城市频数21261

…（2分）

（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，…（3分）

从“轻度污染”类城市中抽取个，…（4分）

所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．

根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．

∵，

，

．…（8分）

∴ξ的分布列为：

ξ123

p

所以．…（11分）

答：ξ的数学期望为2个．…（12分）

点评：本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，

考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．

18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三

棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．

（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平

面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；

（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；

（3）求点C到面PAB的距离．

考点：二面角的平面角及求法．

专题：空间位置关系与距离；空间角．

分析：（1）由已知条件能用出三棱锥P﹣ABC直观图，由三视图知△ABC和△PCA是直

角三角形．

（2）过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，取PC的中点E，过E

作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角，由此能求

出二面角B﹣PA﹣C的正切值．

（3）记C到面PAB的距离为h，由V

P﹣ABC

=V

C﹣PAB

，能求出C到面PAB的距离．

解答：解：（1）三棱锥P﹣ABC直观图如图1所示；

由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．…（3分）

（2）如图2，过P作PH⊥BC交BC于点H，

由三视图知△PBC为等腰三角形，

∵BC=4，，∴PB=PC=BC=4，

取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA

于点F，连接BE，BF，

因为BE⊥PC，由三视图知AC⊥面PBC，

且BE⊂面PBC，∴AC⊥BE，

又由AC∩PC=C，∴BE⊥面PAC，

由PA⊂面PAC，∴BE⊥PA，BE∩EF=E，∴PA⊥面BEF，

由BF⊂面BEF，∴PA⊥BF，

所以∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角．…（6分）

∵△PEF∽△PAC，∴，

∵，∴，…（8分），∴在直角△BFE中，有

．

所以，二面角B﹣PA﹣C的正切值为．…（9分）

（3）记C到面PAB的距离为h，

由（1）、（2）知，∴，

PB=4，V

C﹣PAB

==，…（12分）

三棱锥P﹣ABC的体积，…（13分）

由V

P﹣ABC

=V

C﹣PAB

，得C到面PAB的距离．…（14分）

点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱

锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向

量方法解决数学问题的能力．

19．（14分）已知数列{a

n

}的首项大于0，公差d=1，且+=．

（1）求数列{a

n

}的通项公式；

（2）若数列{b

n

}满足：b

1

=﹣1，b

2

=λ，b

n+1

=b

n

+，其中n≥2．

①求数列{b

n

}的通项b

n

；

②是否存在实数λ，使得数列{b

n

}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

考点：数列与不等式的综合．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（1）由已知得

=，从而

，由此能求出数列{a

n

}的通项公式．

（2）①由已知得=+1，令c

n

=，则c

2

=λ，c

n+1

=c

n

+1，

由此能求出数列{b

n

}的通项公式．

②若数列{b

n

}为等比数列，则有，由此能求出存在实数λ=1，使

得数列{b

n

}为等比数列．

解答：解：（1）∵数列{a

n

}的首项大于0，公差d=1，且+=，…（2分）

∴=，…（3分）

整理得，解得a

1

=1或a

1

=﹣3（舍去）．…（4分）

因此数列{a

n

}的通项a

n

=n．…（5分）

（2）①∵b

n

+，

∴=+1．…（6分）

令c

n

=，则有c

2

=λ，c

n+1

=c

n

+1，（n≥2）．

∴当n≥2时，c

n

=c

2

+（n﹣2）=n﹣2+λ，．…（8分）

∴数列{b

n

}的通项b

n

=．…（9分）

②∵b

1

=﹣1，b

2

=λ，，…（10分）

∴若数列{b

n

}为等比数列，则有=b

1

b

3

，

即，解得λ=1或．…（11分）

当时，（n≥2），

不是常数，数列{b

n

}不是等比数列，

当λ=1时，b

1

=﹣1，，（n≥2），数列{b

n

}为等比数列．

所以，存在实数λ=1，使得数列{b

n

}为等比数列．…（14分）

点评：本题考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、

等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．

20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直

线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点

Q的轨迹方程．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（1）由椭圆E的离心率为，可得=，解得a

2

=2b

2

，可得c=b．故

椭圆E的方程可设为x

2

+2y

2

=2b

2

，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为45°

的直线方程为l′：y=x+b．与椭圆方程联立可得交点坐标，利用弦长公式

|AB|===，解得b即可得出．

（2）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得（1+2k

2

）

x

2

+4kmx+2m

2

﹣2=0，根据直线l和椭圆E有且仅有一个交点，可得△=0，m

2

=2k

2

+1．由于直

线MQ与l垂直，可得直线MQ的方程为：y=﹣，联立，解

得，消去m，k即可得出．

解答：解：（1）∵椭圆E的离心率为，

∴=，解得a

2

=2b

2

，

∴c

2

=a

2

﹣b

2

=b

2

，即c=b．

故椭圆E的方程可设为x

2

+2y

2

=2b

2

，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为

45°的直线方程为l′：y=x+b．

设直线l′与椭圆E的交点记为A，B，联立，消去y，得3x

2

+4bx=0，

解得x

1

=0，x

2

=﹣，

∴|AB|===，解得b=1．

故椭圆E的方程为．

（2）（i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，

联立，消去y并整理，得（1+2k

2

）x

2

+4kmx+2m

2

﹣2=0，

∵直线l和椭圆E有且仅有一个交点，∴△=16k

2

m

2

﹣4（1+2k

2

）（2m

2

﹣2）=0，

化简并整理，得m

2

=2k

2

+1．

∵直线MQ与l垂直，∴直线MQ的方程为：y=﹣，

联立，解得，

∴x

2

+y

2

====2．（*）

（ii）当切线l的斜率为0时，此时Q（1，±1），符合（*）式．

（iii）当切线l的斜率不存在时，此时Q或，符合（*）式．

综上所述，点Q的轨迹方程为x

2

+y

2

=2．

点评：本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦

长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归

与转化思想，属于难题．

21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．

（1）求f（x）的解析式和值域；

（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．

①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；

②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a

k

，其中k=1，2，…，

n．

证明：a

1

+a

2

+…+a

n

＜（n∈N

*

）．

考点：数列与函数的综合．

专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．

分析：（1）由奇函数性质得f（0）=0，当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）

（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域．

（2）①当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实

根，当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．设h（x）=，

x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，由此利用导数性质能求出函数F（x）

=g（f（x））的零点个数．

②由已知得g（f（1+））=0，g（f（1+））=g（）=ln（﹣a

k

（）=0，从

而，记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，由此利用导数

性质能证明a

1

+a

2

+…+a

n

＜（n∈N

*

）．

解答：（1）解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0．

当x∈[﹣2，0）时，﹣x∈（0，2]，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），

∴f（x）=．

∵x∈[0，2]时，f（x）∈[﹣1，0]，x∈[﹣2，0），f（x）∈[0，1]，

∴f（x）的值域为[﹣1，1]．

（2）①解：函数f（x）的图象如图a所示，当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，

当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实根，

当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．

由g（x）=0，解得a=，

∵f（x）的值域为[﹣1，1]，

∴只需研究函数y=在[﹣1，1]上的图象特征．

设h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，

，

令h′（x）=0，得x=e﹣2∈（0，1），h（e﹣2）=．

∵当﹣1＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，当e﹣2＜x＜1时，h′（x）＜0，

又∵ln2

3

＜ln3

2

，即，

由h（0）=，h（1）=，得h（0）＜h（1），

∴h（x）的大致图象如图b所示．

根据图象b可知，当0＜a＜、、a=时，

直线y=a与函数y=h（x）的图象仅有一个交点，

则函数g（x）在[﹣1，1]上仅有一个零点，记零点为t，

则t分别在区间（﹣1，0）、（0，1）上，根据图象a，

方程f（x）=t有两个交点，

因此函数F（x）=g（f（x））有两个零点．

类似地，当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上仅有零点0，

因此函数F（x）有﹣1、0、1这三个零点．

当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，一个零点是1，

另一个零点在（0，1）内，因此函数Y（x）有三个零点．

当时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，

且这两个零点均在（0，1）内，因此函数F（x）有四个零点．

当a＞时，函数g（x）在[﹣1，1]上没有零点，因此函数F（x）没有零点．

②证明：∵1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点，

∴有g（f（1+））=0，∵1+∈（0，2），∴f（1+）=，

∴g（f（1+））=g（）=ln（）﹣a

k

（）=0，

∴，k=1，2，…，n．

记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，

∵当x∈（0，1]时，m′（x）＜0，

∴当x∈（0，1]时，m（x）＜m（0）=0，即ln（x+1）＜x．

故有ln（）＜，则＜=，k=1，2，…，n．

当n=1时，a

1

．

当n≥2时，∵＜=﹣，

∴a

1

+a

2

+a

3

+…+a

n

＜+…+

＜

=

=＜．

综上，有a

1

+a

2

+…+a

n

＜（n∈N

*

）．

点评：本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数

的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及

计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．