相交线

第五章相交线与平行线

第1讲相交线

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1．对顶角定义及其性质

2．邻补角定义及其性质

3．垂直定义、性质及其画法

4．垂线段和点到直线的距离的概念，理解并掌捱“垂线段最短”的性质

【板块一】相交线

题型一对顶角与邻补角的概念

方法技巧

1．判断两个角是否互为对顶角的关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是否为另一个角两边

的反向延长线．

2．判断两个角是否互为邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是否是公共边，另外两边是否互为

反向延长线．

【例1】判断题:

(1)若两个角有一条公共边，且这两个角相等，则这两个角互为对顶角；()

(2)若两个角有一条公共边，且这两个角的和为180°，则这两个角互为邻补角；()

(3)三条直线最多把平面分成7个部分．()

题型二对顶角邻补角的性质

方法技巧

(1)对顶角相等；

(2)角α的邻补角为180°－α

【例2】如图，直线a、b、c两两相交，∠3＝2∠1，∠2＝x°，|x－155|＝－|310－2x|，求∠4的度数．

b

a

c

4

3

1

2

题型三运用方程思想求角

方法技巧

题目含有多个未知角，且未知角之间有某种确定的数量关系时，往往设未知数，列方程求解．

【例3】如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOE＝30°，OF平分∠COE，如果∠AOD∶∠BOE＝4∶1，

求∠AOF的度数．

O

F

E

D

C

A

B

题型四利用整体思想求角

方法技巧

具有多个数量关系的未知角问题，设一个或多个未知数整体求解．

【例4】如图，直线AB，CE交于点O，∠AOD＝120°，OH平分∠EOD，OF平分∠COD，求∠HOF的

度数．

AO

B

C

D

E

F

H

题型五分类讨论思想求角

【例5】如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，∠EOF

＝∠BOF，若∠BOF＝∠AOE＋45°，求∠BOF．

O

A

B

C

D

E

F

2

O

A

B

C

D

E

F

1

题型六相交线的规律探究问题

【例6】l

1

与l

2

是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点．如果在这个平面内再画第3条直线l

3

，

那么这3条直线最多可有个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l

4

，那么这4条直线最多可有6

个交点．由此可以猜想:在同一平面内，6条直线最多可有个交点；n(n为大于1的整数)条直线最多可

有个交点(用含n的代数式表示)．

针对练习1

1．观察，在如图所示的各图中找对顶角(不含平角):

(1)如图1，图中共有对对顶角；

(2)如图2，图中共有对对顶角；

(3)如图3，图中共有对对顶角；

(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对

顶角?

(5)若有100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角?

图3

图2

图1

H

G

D

A

O

B

C

E

F

A

O

B

C

D

O

A

B

C

D

E

F

2．如图，直线AB、CD、EF交于点O，OE平分∠AOM，OD平分∠BON，若∠MON＝100°，求∠COF

的度数．

O

A

B

C

D

E

F

M

N

3．如图，直线MD、CN交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝

70°．

(1)若∠AOC＝30°，∠BOD＝

1

2

∠COD，求∠BON的度数；

(2)若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．

O

A

B

C

D

M

N

4．如图，直线AB，CD交于点O，∠AOD比∠AOC的2倍还多30°，∠AOE＝2∠AOC，求∠DOE的度

数．

O

D

C

B

A

A

B

C

D

E

1

E

2

O

5．如图1，点O在直线AB上，∠AOE＝α°，若关于x，y的多项式:ax2y－50xy2＋axy＋1－60xy中不含x，

y的二次项．

(1)求∠AOE的度数；

(2)作射线OC，使∠AOC＝100°，求∠EOC的度数；

(3)如图2，将直线AB绕点O逆时针旋转，∠AOC＜120°，若OM平分∠COE，ON平分∠BOD，求∠MON

的度数．

E

B

A

O

图1

O

A

B

C

D

E

M

N

图2

图1

O

A

B

E

C

1

C

2

【板块二】垂线

◆题型一垂线的画法与计算

方法技巧

1．过一点画已知直线的垂线有两种方法：一是用三角板，二是用量角器．用这两种工具时，应掌握以下

要领：

一贴：将三角形的一条直角边紧贴在已知直线上，或将量角器的0°刻度线与已知直线重合；

二过：使三角板的另一直角边经过已知点，或使量角器的90°刻度线经过已知点和另一点；

三画：沿已知点所在直角边画出所求直线，或用量角器的直边连接已知点和另一点．

2．画垂线时，常在垂足处打上垂直符号“”，便于识别和应用．

3．注意等积(面积)法求高或底．

【例1】如图，在△ABC中，AB＝39，BC＝25，AC＝56，过点A作BC的垂线交CB延长线于点D．

(1)过点B作AC的垂线，垂足为点E；过点C作AB的垂线，垂足为点F，画出图形；

(2)若AD＝

168

5

，求BE，CF的长；

(3)你发现题目中三条垂线的位置关系有何特征?

DCB

A

◆题型二运用方程思想求与垂直有关的角度问题．

方法技巧

1．将线的垂直关系转化为特殊角——90°．

2．理清题目中多个未知量之间的数量关系，巧设未知数，列方程求解．

【例2】直线AB，EF交于点O，OC⊥AB，OM平分∠EOB，若∠COM＝2∠EOC，求∠AOE的度数．

F

E

A

B

C

O

M

◆题型三整体思想求角

方法技巧

多个具有某种确定数量关系的未知角的问题，可以巧设一个或两个未知数，运用角的和或差整体求角．

【例3】如图，∠AOB＝120°，OC⊥OD，OE平分∠DOB，OM平分∠AOC，OM的反向延长线为射线ON．求

∠EON的度数．

E

A

B

C

D

O

M

N

◆题型四分类讨论思想求角

方法技巧

1．无图或关键线没有画出的题目，考虑是否有多种情形，运用分类讨论法求解．

2．分类讨论的标准有：线在角的内部或外部；一条射线在另一条射线的左边还是右边，上面还是下面等．

【例4】如图，∠AOB＝110°，OD为∠AOB内一条射线，∠AOE＝∠DOE，∠DOF＝∠BOF．求∠EOF

的度数．

A

B

D

O

◆题型五垂线的性质及其应用

方法技巧

1．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成“垂线段最短"．

【例5】在△ABC中，BC＝6，AC＝＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为点P，则CP长的最大值为(C)

A．5B．4C．3D．2

【分析】根据垂线段最短得出结论．

【解答】根据垂线段最短可知PC≤3．∴CP长的最大值为3，故选C．

针对练习2

1．如图，图中已标明了三组互相垂直的线段，那么点A到BC的距离是线段AD的长度，点B到AC的距

离是线段_______的长度，点C到AB的距离是线段________的长度．若BF＝3cm，CF＝4cm，BC＝5cm，

则F到BC边的距离为________cm．

E

F

A

BCD

2．点P为直线l外的一点，点A，B，C在直线l上，PA＝5，PB＝4，PC＝3，则点P到直线l的距离(

)

A．大于等于3B．等于3C．小于3D．小于等于3

3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OD平分∠AOE，下列结论：

①∠BOE的余角是∠AOE，补角是∠BOF；②∠AOD＝∠DOE＝

1

2

∠AOE；

③∠BOE＝2∠COF；④∠BOF＝∠COF．其中正确的有()

E

F

A

B

C

D

O

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，OF⊥CD，OG⊥OE，∠BOD＝52°．

(1)求∠AOF的度数；

(2)∠EOF与∠BOG是否相等呢?请说明理由；

(3)直接写出图中∠AOE的所有余角．

E

F

A

B

C

D

O

G

5．如图，OB⊥AC，垂足为点O，∠EOF＝120°，OC平分∠EON，OF平分∠AON．求∠BOE的度数。

E

F

A

B

CO

N

6．如图，已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的3倍少60°，求∠COD的度

数．

O

B

A

备用图

A

B

O