净胜球

足球排名问题数学模型及解决方法

电信——王熙水电——赵礼曦、张宇

一、模型的建立

通常，在足球循环比赛中，排名规则为：

a、积分高者排名靠前；

b、小组中总净胜球高者排名靠前；

c、小组中总进球数高者排名靠前。

如果按照以上规则仍有两支或两支以上的球队并列，则按以下顺序依次比较

以确定排名先后：

d、比较并列几队之间相互比赛的得分高低。如果仍然相等，则：

e、比较并列的几队之间相互比赛的净胜球多少。如果仍然相等，则

f、比较并列的几队之间相互比赛的进球数多少。如果仍然相等，则：

g、抽签。

根据题意和足球比赛常识可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优

排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法对此做出决策。

由上面的分析，可以认为相关的2项条件：平均每场积分，平均每场净球数

在解决这一问题中所起的作用不同，应有轻重缓急之分，因此，假设2项条件所

起的作用依次为平均每场积分，平均每场净球数。这样能够符合大多数球队的利

益。任何一种条件的优越，在排序中都不能是绝对的优越，需要的是综合实力的

优越。他们之间的关系如下图所示：

二、基本假设与符号说明

基本假设

（1）参赛各队存在客观的真实实力（见名词约定1），这是任何一种排名算法的

基础；

（2）在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力

对比为中心的互相对立的正态分布。这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据

对球队的真实实力进行排名；

（3）有的队伍没有两两相互比赛，从而出现数据残缺项，对此所建立的模型具

有包容性。

名词约定

1、称

w

=(

12

,,,

n

www…)为真实实力向量,如果

i

w的大小表现了

i

T的实力强弱．当

i

w的大小表现了

i

T在比赛中出色程度时,称w为排名向量．由假设（2）,两

者应是近似相同的,以后就把它们当成同一个．

符号说明

O————————表示层次模型中的目标层；

CK(k=1,2)—————分别表示准则层中的2个准则：平均每场积分、平均每场

净胜球数

(1,2,12)

i

Pi——分别表示方案层中的12支球队；

M

————————表示准则层对目标层的判断矩阵；

k

B（k=1,2）———表示方案层对准则

k

C的比较矩阵；

d(i,j)-------Pi队和Pj队比赛场数；

Nij------------------Pi与Pj赛场中，Pi队净胜球数（进球数减输球数）；

mi(i=1,2,···，12)——表示准则层中12支球队分别平局的总场数

ni（i=1,2，···，12）——表示准则层中12支球队分别比赛胜出的总场数

hi(i=1,2,···，12)——表示准则层中12支球队分别参加比赛的总场数

φi(i=1,2,···，12)——表示准则层中12支球队分别参加比赛的总积分

γi(i=1,2,···，12)——表示准则层中12支球队分别参加比赛的平均每场积分

j————————表示方案层中12支队伍分别比赛的净胜场数

Wi(i=1,2)

————————表示准则层对目标层的权重；

Q

————————表示方案层对准则层的权重；

W————————表示方案层对目标层的组合权重；

三、模型的推导

层次模型确定以后，决策者需要对同一层元素对于有隶属关系的某一上层元

素的相对重要性给出主观判断，这一判断是通过对这些元素进行两两比较构造判

断矩阵而实现的。在比较时，使用如下的决策规则：

重要程度定义解释

1同样重要对于某一上层元素二者有相同的贡献

3稍微重要一点二者相比，经验和判断稍微倾向于前者

5比较明显地重要二者相比，经验和判断明显倾向于前者

7明显地重要二者相比，经验和判断强烈倾向于前者

9绝对重要二者相比，有足够的证据肯定绝对喜好前者

2,4,6,8中间取值经验和判断介于两个相邻判断之间

心理学的试验表明，大部分人对事物之间差别的分辨能力在5~9级之间，采

用1~9的标度反映了大部分人的判断能力。如果相互比较的元素处于不同的数量

级时，可以将较高数量级的属性进一步分解，以保证被比较的元素适用于1~9

的标度。

首先，给出几个在层次分析法中经常涉及到的定义和定理：

定义1：设要比较n个因素

12

,,,

n

CCC对目标O的影响，从而确定它们在O中所

占的比重，每次取两个因素彼此两两比较，全部结果可用如下的成对比较矩阵表

示，即

1

,0,,1

ijijjiii

nn

ij

Aaaaa

a

,1,2,,ijn

称满足上述性质的矩阵A为正互反矩阵。

定义2：如果一个正互反矩阵A满足

ijjkik

aaa,,1,2,,ijkn

则称A为一致性矩阵，简称一致阵。

定理1：n阶一致阵有下列性质：

（1）A的秩为1，A的唯一特征根为n；

（2）A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。

算法：

1、假设准则层C1(平均每场积分)，C2（平均每场净球数）,采用上述决策准则进

行配对比较。根据《数学模型及其应用》戴明强李卫军杨鹏飞85页上所

获得的专家评估数据。所获得的准则层对目标层的成对比较矩阵（判断矩阵）

为：

M=[11/4;41];

利用MATLAB软件，求解矩阵

M

的特征向量B=[0.2425,0.9701]和特征根，然

后取最大的特征根，记为=2，，此0即可近似地作为矩

阵

M

的权重向量。

一致性检验：

通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性

和一致性。实际中，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不

一致的程度应在容许的范围内。主要考查以下指标：

（1）一致性指标：CI=0；

（2）随机一致性指标：RI=0；

（3）一致性比率指标：，当<0.1时，认为判断矩阵的一致性

是可以接受的。

2、判断C1(平均每场积分)对每支参赛球队P(i)的影响（i=1,2,···，12）。对于

参加比赛的每一个球队而言，mi(i=1,2,···，12)表示准则层中12支球队分别平

局的总场数,ni（i=1,2，···，12）表示准则层中12支球队分别胜利的总场数,用

下面一个公式定义：

上式表示赢得一场球可以获得8分的积分，平一场球可以获得4分的积分，而输

掉一场球则不能获得积分（此公式为现今亚洲、非洲、中北美足球赛采用的积分

制）。

则平均每场积分的计算公式为：

平均积分矩阵为：A1=[96/1916/392/1932/1928/916/5128/19

68/1972/1976/1916/928/9]

B=[0.2282,0.9736];

A1*B

W1=

[1.22534.9016

1.29335.1739

1.17424.6973

0.40841.6339

0.75443.0181

0.77603.1043

1.63376.5354

0.86793.4719

0.91893.6762

0.97003.8804

0.43111.7246

0.75443.0181]

2、判断C2（平均每场净球数）对每支参赛球队P(i)的影响（i=1,2,···，12）。

由于在题目所给出的数据中出现了有一些队伍相互比赛的情况（见假设3），

特此，引进一个函数

f=exp(Nij/d(ij))

当两队没有比赛时，此函数没有意义，定义平均净胜球数为0；本身对本身时值为1.

采用上述决策准则进行配对比较，所获得的准则层对决策层的成对比较矩阵（判

断矩阵）为：平均净胜球数的exp值

A2=[110.7175.2947.3892.7180.2230.60712.182100

110.7171.94812.718112.7180.36800

1.3961.39611.9482.71820.0860.3681.64911.64900

0.1890.5130.51310.3680.3680.050.6070.6070.60700

0.13510.3682.71810.368000011

0.3680.3680.0502.7182.7181000000

4.48212.71820.0860012.7185.2945.2947.3897.389

0.60710.6071.649000.3681117.3891

0.0820.36811.649000.189113.7942.7182.718

12.7180.6071.649000.18910.26412.7187.389

0000100.1350.1350.3680.36810.607

0000100.13510.3680.1351.649

1];

利用MATLAB软件，求解矩阵A的最大的特征根，为11.4808；该特征值对应

的归一化特征向量：[0.40790.2401

0.34100.07650.06990.06230.73190.17040.18250.20910.0348

0.0469];

B=[0.2425,0.9701];

A2*B

W2=

[0.09890.3957

0.05820.2329

0.08270.3308

0.01860.0742

0.01700.0678

0.01510.0604

0.17750.7100

0.04130.1653

0.04430.1770

0.05070.2028

0.00840.0338

0.01140.0455]

4、计算层次总排序权值：

W2=[0.09890.3957

0.05820.2329

0.08270.3308

0.01860.0742

0.01700.0678

0.01510.0604

0.17750.7100

0.04130.1653

0.04430.1770

0.05070.2028

0.00840.0338

0.01140.0455];

W1=[1.22534.9016

1.29335.1739

1.17424.6973

0.40841.6339

0.75443.0181

0.77603.1043

1.63376.5354

0.86793.4719

0.91893.6762

0.97003.8804

0.43111.7246

0.75443.0181];

Q=【H1H2】=W1+W2

[1.32425.2973

1.35155.4068

1.25695.0281

0.42701.7081

0.77143.0859

0.79113.1647

1.81127.2454

0.90923.6372

0.96323.8532

1.02074.0832

0.43951.7584

0.76583.0636]

最终权重W=H1+H2

[6.62156.75836.28502.13513.85733.95589.05664.5464

4.8164

5.10392.19793.8294]

排序

9.0566P7

6.7583P2

6.6215P1

6.2850P3

5.1039P10

4.8164P9

4.5464P8

3.9558P6

3.8573P5

3.8294P12

2.1979P11

2.1351P4

模型分析

足球排名问题是涉及多方面因素：场数、胜场数、对手数、净进球数、总进球数、对手强弱

等。此模型选取了与胜利场数和净进球有关的两个因素，即利用积分制更加客观公平的表示

胜的场次；平均每场净进球数的exp值，此算法也解决了矩阵出现负值的情况和两队间没有

比赛的情况以及矩阵中Pij（i=j）的情况。而这两个因素对真实实力的体现权值不同，利用

层次分析法构成比较矩阵进一步解决此问题。最后用这两个因素的权值和表示最后的实力。

参考文献：《数学模型及其应用》戴明强李卫军杨鹏飞