区间套

应用闭区间套定理的步骤及方法

作者：张珅

来源：《新课程学习·上》2010年第04期

摘要:本文首先介绍了闭区间套的定义及闭区间套定理,然后举例说明闭区间套定理的应用,

最后总结出应用闭区间套定理的一般步骤和方法。

关键词:区间套闭区间套定理有界性定理

实数系的连续性是分析学的基础,对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无

比的重要性,实数系R的连续性,从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”,本文

将以实数系的连续性中的闭区间套定理为例来说明其应用。

一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理

定义1(闭区间套定义)设闭区间列{[an,bn]｝具有如下的性质:

(1){[an,bn]｝[an+1,bn+1],n=1,2,…

(2)lim(bn-an)=0

则称{[an,bn]｝为闭区间套,或简称区间套。

定理1(闭区间套定理)若{[an,bn]｝是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得

∈[an,bn],n=1,2,…即an≤≤bn,n=1,2,…且==.

二、举例说明闭区间套定理的应用

例1.(有界性定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.

证明:假设f(x)在[a,b]上无界,则闭区间[a,b]具有性质:f(x)在闭区间[a,b]无界,记该性质为p*.

将闭区间[a,b]二等分得到[a,]和[,b]两个闭区间,则其中至少有一个闭区间具有性质p*,在此将具

有性质p*的闭区间记为[a1,b1],用同样的方法将[a1,b1]两等分得到具有性质p*的闭区间[a2,b2]

如此无限的等分下去就可得到一个闭区间列{[an,bn]｝满足:

(1){[an,bn]｝[an+1,bn+1],n=1,2,…

(2)bn-an=→0(n→∞)

则存在唯一的实数∈[an,bn],n=1,2,…且==.因为f(x)在闭区间[a,b]上连续,而∈[a,b].故取=1

存在>0,当x∈[a,b]。且x-0存在正整数N,当n>N时,有[an,bn](-,+)∩[a,b],此与f(x)在每个[an,bn]

上无界相矛盾.故若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则它在[a,b]上必有界。

例2.(介值性定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b)。若为介于f(a)与f(b)之间的

任何实数(f(a)>f(b)),则存在x0∈(a,b)使得f(x0)=

证明[1]:不妨设f(a)

f(x)-,则g(x)也是闭区间[a,b]上的连续函数,且g(a)0,问题即可转化为证明存在x0∈(a,b),使得

g(x0)=0.将[a,b]等分为两个子区间[a,]和[,b]。若g()=0则即为所求;若g()≠0.则当g()>0时,记

[a,]=[a1,b1].当g()0且[a,b][a1,b1],b1-a1=(b-a).

用同样的方法处理闭区间[a1,b1]得到:或者在[a1,b1]的中点上有g()=0或者有闭区间[a2,b2],

满足g(a2)0且[a1,b1][a2,b2],b1-a1=(b1-a1)=(b1-a1).

将上述过程不断地进行下去,可能出现两种情形:

(1)在某一个区间的中点上有g()=0即为所求;

(2)在任一区间的中点上均有g()≠0.

则得到闭区间列{[an,bn]｝满足:

①g(an)0且[an,bn][an+1,bn+1],n=1,2,…

②bn-an=(b-a),n=1,2,…

由闭区间套定理,存在x0∈[an,bn],n=1,2,…且往证==x0

假设g(x0)≠0不妨设g(x0)>0,则由局部保号性,存在∪(x0,)使在其内有g(x)>0.又因为==x0即

对上述的>0,存在N>0使得当n>N时有因而有g(x0)>0.但这与[an,bn]选取时应满足g(x0)

例3.设f(x)在闭区间[a,b]上可积,则的连续点在这个区间上处处稠密.

证明:由于f(x)在闭区间[a,b]上可积,则由反证法可证对任一子区间[a0,b0][a,b],存在子区间

[a1,b1],使得b1-a1

三、应用闭区间套定理的步骤及方法

闭区间套定理是实数系连续性定理的一个比较简单而且容易被初学者掌握的定理,它在应

用时也比较方便,基于以上对闭区间套定理的应用,一般说来,若证明某命题是需要找到具有某种

性质p*的一个数,常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来,其步骤为:(1)构造一个具有性质的闭

区间,性质要根据性质p*来定。(2)通常采用二等分法,将此闭区间二等分,至少有一个闭区间具

有性质p*,然后继续使用二等分法,得到满足闭区间套的和具有性质的闭区间列,根据闭区间套

定理就得到一个具有性质的数,如本文的例2,若证明某闭区间具有某种性(下转第92页)(上接第

91页)质,应用闭区间套定理时,其步骤为:(1)用反证法,假设该区间不具有该种性质.(2)通常应用

二等分法,将此闭区间二等分,至少有一个闭区间不具有该种性质,接着使用二等分法,得到一个满

足闭区间套定理的闭区间列,然后根据闭区间套定理,就可以“套”出一个数.(3)结合已知条件找出

矛盾。如本文的例1。

对于闭区间列的构造有多种方法,并不一定要应用二等分法,如本文的例3,因此我们在构造

闭区间列时要视具体情况而定,不能搞“一刀切”。

参考文献:

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,1991:161~171.

[2]宋国柱.分析中的基本定理和典型方法[M].科学出版社,2004:14~15.

[3]李莲洁.实数连续性等价命题的证明及应用[J].淮北煤师院学报.2002.23(2):73~78.

[4]胡丽平.实数集连续性定理的证明[J].固原师专学报(自然科学版).2001.22(3):50.

[5]周明.用闭区间套定理证明闭区间上连续函数的性质[J].西安工程学院学

报.1998.20(2):20~21.

作者单位:上海中华职业技术学院