椭圆形

椭圆的标准方程(说课稿)

河南省信阳高中陆威

一、教材分析

1、地位及作用

圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、

生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重

要素材。

推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作

用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承

前启后的作用，是本章的重点内容。

2、教学内容与教材处理

椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简

单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂

教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验

证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各

种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的

愿望和兴趣。

3、教学目标

根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下：

1.知识目标

①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，

②能根据已知条件求椭圆的标准方程，

③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结

合的数学思想。

2.能力目标

①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力，

②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，

③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

3.情感目标

①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，

②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理

性和严谨，

③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积

极态度。

4、重点难点

基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：

①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法，

②难点：椭圆的标准方程的推导。

二、教法设计

在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采

用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少

年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新说课稿网站

事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，

自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。

三、学法设计

通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想

——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为

自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了

学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。

四、学情分析

1.能力分析

①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，

②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。

2.认知分析

①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，

②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有

一定的了解，

③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。

3.情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。

五、教学程序

从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，在数

学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，

发展了情感态度和思维品质。基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成六个

步骤来进行，下面我向各位作详细说明：

教学过程设计意图

1.创设问题情境：

情境1请同学们举出生活中椭圆形物体的实例

（展示一些椭圆形物体图片）

情境2宿迁中学校园内一些椭圆形小花坛

（展示自拍图片）

问题1施工时工人师傅是怎样砌建小花坛的？

（复习椭圆定义，动画演示）

问题2宿迁中学新校区绿化、美化工作正在进行，

准备在一块长10米、宽6米的矩形空地上建造一个椭

圆形花园，要尽可能多地利用这块空地，请问：如何画

这个花园的边界线？

问题情境的创设应

有利于激发学生的求知

欲。为了复习椭圆的定

义，我设计如下两个学

生熟悉的情境：

通过情境1，让学

生感受到椭圆的存在非

常普遍。小到日常生活

用品，大到建筑物的外

形，天体的运行轨道。

通过情境2和问题

1，让学生主动思考如何

画椭圆及椭圆的定义。

通过问题2，要求

学生以小组为单位进行

实验、观察、归纳、猜

想、概括，激发学生探

6米

10米

（动画演示，书写课题）

索的欲望和浓厚的学习

兴趣，使学生的主体地

位得到体现。

2.探求椭圆方程

回顾圆的方程的建立过程，首先是做什么？

（提问学生）

如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢？

（学生回答）

在学生复习圆的方

程的建立过程的基础

上，让学生讨论思考如

何选择适当的坐标系来

建立椭圆的方程，我想

学生通过这些活动能够

建立几种常见的坐标

系，并列出相应的代数

方程。我认为这样有利

于培养学生的动手实

验，分析比较，相互协

作等能力。让学生体验

到知识的产生过程。

在不同建系下，列出关于x，y的等式。它们都含有

两个根式，如何化简这种方

程？（学生思考回答，师生共

同比较选择）

22

22

22

nn

xyxym









2

222xyxnym

由于化简两个根式

的方程的方法特殊，难

度较大，估计学生容易

想到直接平方，这时可

让学生预测这样化简的

难度，从而确定移项平

方可以简化计算。为此，

我首先启发学生如何去

掉根号较好，让学生动

手比较，最后得出移项

平方化简方程比较简

单，这样有利于培养学

生的分析比较能力。

x

y

O

F

1

F

2

M

图1

F

1

F

2

M

x

y

O

图2

法一以两定点F

1

、F

2

所在直线为

x

轴，线段F

1

F

2

的垂

直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图1）．

设

M(x,y)

为椭圆上的任意一点，设MF

1

+MF

2

=m，F

1

F

2

=n，

（m>n>0）

则

1

n

F-0

2







，

、

2

n

F0

2







，

．

由MF

1

+MF

2

=m得

22

22

22

nn

xyxym









移项得

22

22

22

nn

xymxy









平方得

222

22222

222

nnn

xymmxyxy









整理得

2

2222

2

n

nxmmxy









再平方得2

2

2222244

2

n

nx-mmxmy









再整理得2222222244m-nxmymmn

所以

22

222

44

1

xy

mmn





即

22

222

1

222

xy

mmn











令m=2a,n=2c即

MF

1

+MF

2

=2a,F

1

F

2

=2c,上面方程

化简可得

22

222

1

xy

aac





在比较如何化简方

程简单后，我选择放手

让学生化简，让学生体

验化简方程的艰辛，经

受锻炼，尝试成功，提

高学生参与教学过程的

积极性。

为了让学生明白设

常数2a、2c的合理性。

我选择首先设常数m,n，

然后以2a,2c替换，其

目的是让学生体会到设

2a,2c的合理性。

移项后

再平方

x

y

O

F

1

F

2

M

图1

结合图形，找出方程中a、

c对应的线段．

如图，OF

2

=c，MF

2

=a，

a与c可以看成Rt△MOF

2

的

斜边和直角边．那么a2-c2就

是另一直角边的平方，因此我

们令b2=a2-c2（b>0），

则方程变为

22

22

1

xy

ab



（a＞b

＞0）

由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面

这个方程；满足这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上。

所以，这个方程就是所求得椭圆的方程.

法二以两

定点F

1

、F

2

所在

直线为x轴，F

1

为原点，建立直

角坐标系（如图

2）．

设

M(x,y)

为椭圆上的任

意一点，设MF

1

+

MF

2

=m,F

1

F

2

=n，

m>n>0，则



1

F00，、



2

Fn0，．

由MF

1

+MF

2

=m得2

222xyxnym

类似第一种方法,移项后平方，整理可得

2222

2mx+y=m-n+2nx

再平方，整理可得

n

22222222

4(m-n)(x-)+4my=(m-n)m

2

所以

2

4()

2

4

2

1

222

-

n

x

y

mmn



即

2

()

2

2

1

222

-

222

n

x

y

mmn











令m=2a,n=2c即MF

1

+MF

2

=2a,F

1

F

2

=2c,上面方程为

这里我选择设

b2=a2-c2（b>0）其作用

是

首先美化方程：使方程

简洁美、对称美、和谐

美，

其次使b具有明显的几

何意义：原点与椭圆和

y轴的交点之间的线段

长。

x

y

O

F

1

F

2

M

c

a

F

1

F

2

M

x

y

O

图2

2

2

222

1

xc

y

aac







令b2=a2-c2（b>0），则方程变为

22

22

()

1(0)

xcy

ab

ab





通过比较可知，方程

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）更简洁。

把方程

22

22

1

xy

ab

叫做椭圆的标准方程。

总结推导椭圆的标准方程的步骤：

（1）建系——建立适当的坐标系

（2）设点

（3）列式

（4）化简

（5）证明

如果椭圆竖起放置，怎样建

系？

建立如图所示的直角坐标系，

类似于刚才的推导过程可得椭圆的

方程，过程留给同学们课后完成。

让学生猜想结论：

22

22

1

yx

ab



（a＞b＞0），并说明理由。

教师从另一角度分析：得到方程

22

22

1

xy

ab

的原始等

式为

22

22

x+c+y+x-c+y=2a

而焦点在y轴上时，由MF

1

+MF

2

=2a得

通过这两种方法所得到

的椭圆方程的比较，让

学生在比较中体会哪种

方程更能反映椭圆的对

称美，从而引出椭圆的

标准方程。

在得到椭圆的标准

方程之后，我和学生共

同总结推倒椭圆标准方

程的步骤，其目的是进

一步强化求曲线方程的

一般步骤，同时也让学

生享受成功的喜悦。

对于焦点在y轴上

的椭圆的标准方程的建

立，我选择让学生在比

较、分析、猜想得到。

O

F

1

F

2

x

y

M

曲线相对于

坐标轴有较

多的对称性

移项后

再平方

x

y

O

F

1

F

2

M

22

22

1

xy

ab



x

y

O

F

1

F

2

M

2

2

22

1

cx

y

a

-

b



22

22

x+y+c+x+y-c=2a

对比这两个等式，能发现什么结论？互换x，y

因此，焦点在y轴上的椭圆的方程为

22

22

1

yx

ab



由于这两种形式的方程都很简单，因此我们把这两种

方程都叫椭圆的标准方程（其中b2=a2-c2）

3.标准方程比较

（1）相同点

①方程中x，y表示椭圆上任意一点的坐标；

②关于x，y的二元二次方程；

③方程右边是常数1，左边是平方和的形式；

④a是椭圆上的点到两焦点距离和的一半，b2＝a2-c2，

c是焦距的一半；

a2＝b2+c2，a>b>0,a>c>0,b与c大小不定

⑤焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的坐

标轴上

（2）不同点

标

准

方

程

01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

1

2

2

2

2



b

x

a

y

0ba

图

形

焦

点

坐

标

F

1

(-c,0），F

2

(c,0）F

1

(0,c），F

2

(0,-c）

在得到焦点在y轴

上的椭圆的标准方程过

程中，考虑到学生对这

一标准方程可能有怀疑

的情绪，我选择引导学

生回到建立方程的起

始，让学生对比分析原

来两个方程只是交换两

个变量。

互换x，y

O

F

1

F

2

x

y

M

A

1

x

y

O

F

1

F

2

M

A

1

A

2

B

1

B

2

A

2

B

1B

2

与

坐

标

轴

交

点

A

1

（-a，0）A

2

（a，

0）

B

1

（0，-b）B

2

（0，

b）

A

1

（0，a）A

2

（0，-a）

B

1

（-b，0）B

2

（b，0）

4.初步运用知识

（1）若椭圆的焦距为8，a=5，那么它的标准方程是

（

22

1

259

xy

或

22

1

259

yx

）

（2）已知椭圆的方程为

22

1

94

yx



，则a＝___，b

＝___，c＝___，焦点坐标为，与坐标轴交点坐

标为，焦距等于；如果点P为

该椭圆上一点，则PF

1

+PF

2

＝____（F

1

，F

2

为焦点）.

(总结：定位、定量待定系数法)

5.课堂小结

1.推导椭圆的标准方程

2.椭圆两种标准方程的比较

3椭圆的标准方程的基本求法及应用

4.自主探索，合作交流

（总结本课学习内容及学习方式）

为了让学生建构自

己的知识体系，我让学

生自己概括所学的内

容。我认为这样既能培

养了学生的概括能力，

又能营造民主和谐的师

生关系。

6.课后作业布置

1.基础训练题：课本P

28

1.2.

2.动手操作题：课本P

29

7（或用几何画板探求）

3.课后思考题：有关资料显示：“神舟六号”飞船的运行轨道是

以地球的中心F

2

位一个焦点的椭圆。已知它的近地点A(离地面最

近的点)距地面200公里，远地点B(离地面最远的点)距地面347

公里，并且在F

2

、A、B同一直线上，地球半径约为6371km。你

能计算出“神舟六号”飞船的轨道方程吗?(精确到0.01km)

（动画模拟演示）

为了进一步巩固椭

圆的标准方程，我布置

如下作业：

六、板书设计

我选择这样的板书设计，其目的是让学生清楚的认识到本节课的重要内容。

七、评价设计

1、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，充分利用教具演示，并运用“实

验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理。我

认为这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代

教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。

2、在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”

的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程

建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的

浓厚兴趣。

3、在创设情境、推导椭圆的标准方程的过程中，培养学生的实验、归纳能

力，在辨析几种建系方法所得到方程的繁简，比较两个标准方程的特点过程中培

养学生的分析、判别能力，在运用标准方程中，培养学生解决实际问题的能力；

另外，通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品

质，并为以后进一步学习双曲线和抛物线作好辅垫。

以上是我对椭圆的标准方程的第一课时的构思与设计，欢迎各位专家批评指

正。

谢谢！

§2.2.1椭圆的标准方程（一）

一、椭圆的两个标准方程

二、求曲线方程的基本步骤

三、初步尝试