对称矩阵

对称矩阵的基赋性质之阿布丰王创作

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称

矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.

1对称矩阵的定义

定义1设矩阵

()

ijsn

Aa





，记

()T

jins

Aa





A满足条件TAA，则称

A为对称矩阵.由定义知：

1.对称矩阵一定是方阵.

aa

，对任意i、

j

11121

12222

12

n

n

nnnn

aaa

aaa

aaa













.

定义2形式为

1

2

00

00

00

l

a

a

a













的矩阵，其中i

a

是数

(1,2,,)il

，

通常称为对角矩阵.

定义3若对称矩阵A的每一个元素都是实数，则称A为实对称

矩阵.

定义4若矩阵A满足TAA，则称A为反对称矩阵.由定义

知：

1.反对称矩阵一定是方阵.

ijji

aa

，当

ij

时，iiii

aa

121

122

12

0

0

0

n

n

nn

aa

aa

aa

















.

下面就对称矩阵的一些基赋性质展开讨论.

2对称矩阵的基赋性质

性质1同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.

性质2设A为n阶方阵，则TAA，TAA，TAA是对称矩阵.

性质3设

A

为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1A

是对称矩阵（反对陈矩阵）.

性质4任一nn矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之

和.

性质5设

A

为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则TXAX是对称

矩阵.

性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅

当A、B可交换.