东营市一中

2022届山东省东营市东营区胜利一中学中考数学模试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

2．下列各式中计算正确的是（）

A

．

x3•x3=2x6B

．（

xy2）3=xy6C

．（

a3）2=a5D

．

t10÷t9=t

3．（

2016

福建省莆田市）如图，

OP

是∠

AOB

的平分线，点

C

，

D

分别在角的两边

OA

，

OB

上，添加下列条件，不能

判定

△

POC

≌△

POD

的选项是（）

A

．

PC

⊥

OA

，

PD

⊥

OB

B

．

OC

=

OD

C

．∠

OPC

=∠

OPD

D

．

PC

=

PD

4．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量

y

（单位：3m）与旋钮的旋转角度

x

（单位：度）（090x）近

似满足函数关系

y=ax2+bx+c(a≠0).

如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度

x

与燃气量

y

的三组数据，根

据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

A

．18B

．36C

．41D

．58

5．有下列四种说法：

①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；

③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．

其中，错误的说法有（）

A

．

1

种

B

．

2

种

C

．

3

种

D

．

4

种

6．已知一次函数

y=

﹣

2x+3

，当

0≤x≤5

时，函数

y

的最大值是（）

A

．

0B

．

3C

．﹣

3D

．﹣

7

7．

2014

年底，国务院召开了全国青少年校园足球工作会议，明确由教育部正式牵头负责校园足球工作．

2018

年

2

月

1

日，教育部第三场新春系列发布会上，王登峰司长总结前三年的工作时提到：校园足球场地，目前全国校园里面有

5

万多块，到

2020

年要达到

85000

块．其中

85000

用科学记数法可表示为（）

A

．

0.85



105B

．

8.5



104C

．

85



10-3D

．

8.5



10-4

8．如果

t>0,

那么

a+t

与

a

的大小关系是

()

A

．

a+t>aB

．

a+t

．

a+t≥aD

．不能确定

9．如图，在

△ABC

中，点

D

在

AB

边上，

DE∥BC

，与边

AC

交于点

E

，连结

BE

，记

△ADE

，

△BCE

的面积分别为

S

1，

S

2，（）

A

．若

2AD

＞

AB

，则

3S

1＞

2S

2

B

．若

2AD

＞

AB

，则

3S

1＜

2S

2

C

．若

2AD

＜

AB

，则

3S

1＞

2S

2

D

．若

2AD

＜

AB

，则

3S

1＜

2S

2

10．已知二次函数

y=ax2+bx+c

（

a≠1

）的图象如图所示，则下列结论：

①a

、

b

同号；

②当x=1

和

x=3

时，函数值相等；

③4a+b=1

；

④当y=

﹣

2

时，

x

的值只能取

1

；

⑤当﹣1

＜

x

＜

5

时，

y

＜

1

．

其中，正确的有（）

A

．

2

个

B

．

3

个

C

．

4

个

D

．

5

个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．分解因式：

x2y

﹣

2xy2+y3＝

_____

．

12．如图，线段

AB

的长为

4

，

C

为

AB

上一个动点，分别以

AC

、

BC

为斜边在

AB

的同侧作两个等腰直角三

角形

ACD

和

BCE

，连结

DE

，则

DE

长的最小值是

_____

．

13．小明统计了家里

3

月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足

10

分钟

的通话次数的频率是

_____

．

14．已知

a

，b，

c

，d是成比例的线段，其中3cma，2cmb，6cmc，则

d_______

cm

．

15．一个扇形的圆心角为

120°

，弧长为

2π

米，则此扇形的半径是

_____

米．

16．算术平方根等于本身的实数是

__________.

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）在平面直角坐标系中，关于

x

的一次函数的图象经过点

(47)M，

，且平行于直线

2yx

．

（

1

）求该一次函数表达式；

（

2

）若点

Q

（

x

，

y

）是该一次函数图象上的点，且点

Q

在直线

32yx

的下方，求

x

的取值范围．

18．（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块

“

传承文明，启智求真

”

的宣传牌

CD

．小明在山坡的坡脚

A

处测

得宣传牌底部

D

的仰角为

60°

，沿山坡向上走到

B

处测得宣传牌顶部

C

的仰角为

45°

．已知山坡

AB

的坡度

i

＝

1:

，

AB

＝

10

米，

AE

＝

15

米，求这块宣传牌

CD

的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到

0.1

米．参考数据：

≈1.414

，

≈1.732

）

19．（8分）如图，抛物线

y

＝

ax2+bx

﹣

2

经过点

A

（

4

，

0

），

B

（

1

，

0

）．

（

1

）求出抛物线的解析式；

（

2

）点

D

是直线

AC

上方的抛物线上的一点，求

△DCA

面积的最大值；

（

3

）

P

是抛物线上一动点，过

P

作

PM⊥x

轴，垂足为

M

，是否存在

P

点，使得以

A

，

P

，

M

为顶点的三角形与

△OAC

相似？若存在，请求出符合条件的点

P

的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（8分）一次函数y＝x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B

的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．

（

1

）求点

C

的坐标；

（

2

）设二次函数图象的顶点为

D

．

①若点D

与点

C

关于

x

轴对称，且

△ACD

的面积等于

3

，求此二次函数的关系式；

②若CD

＝

AC

，且

△ACD

的面积等于

10

，求此二次函数的关系式．

21．（8分）如图，在大楼

AB

正前方有一斜坡

CD

，坡角∠

DCE=30°

，楼高

AB=60

米，在斜坡下的点

C

处测得楼顶

B

的仰角为

60°

，在斜坡上的

D

处测得楼顶

B

的仰角为

45°

，其中点

A,C,E

在同一直线上

.

求坡底

C

点到大楼距离

AC

的

值；求斜坡

CD

的长度

.

22．（10分）如图，将等腰直角三角形纸片

ABC

对折，折痕为

CD

．展平后，再将点

B

折叠在边

AC

上（不与

A

、

C

重合），折痕为

EF

，点

B

在

AC

上的对应点为

M

，设

CD

与

EM

交于点

P

，连接

PF

．已知

BC=1

．

（

1

）若

M

为

AC

的中点，求

CF

的长；

（

2

）随着点

M

在边

AC

上取不同的位置，

①△PFM

的形状是否发生变化？请说明理由；

②求△PFM

的周长的取值范围．

23．（12分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为

1

个单位长度，

△

ABC

的三个顶点的坐标分别为

A

（﹣

1

，

3

），

B

（﹣

4

，

0

），

C

（

0

，

0

）

（

1

）画出将

△

ABC

向上平移

1

个单位长度，再向右平移

5

个单位长度后得到的

△

A

1

B

1

C

1；

（

2

）画出将

△

ABC

绕原点

O

顺时针方向旋转

90°

得到

△

A

2

B

2

O

；

（

3

）在

x

轴上存在一点

P

，满足点

P

到

A

1与点

A

2距离之和最小，请直接写出

P

点的坐标．

24．如图，

AB

是⊙

O

直径，

BC

⊥

AB

于点

B

，点

C

是射线

BC

上任意一点，过点

C

作

CD

切⊙

O

于点

D

，连接

AD

．求

证：

BC

＝

CD

；若∠

C

＝

60°

，

BC

＝

3

，求

AD

的长．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、

A

【解析】

考查简单几何体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图

【详解】

A

、圆锥的主视图是三角形，符合题意；

B

、球的主视图是圆，不符合题意；

C

、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；

D

、正方体的主视图是正方形，不符合题意．

故选

A

．

【点睛】

主视图是从前往后看，左视图是从左往右看，俯视图是从上往下看

2、

D

【解析】

试题解析：

A

、336xxx，原式计算错误，故本选项错误；

B

、3

236xyxy，原式计算错误，故本选项错误；

C

、2

36aa，原式计算错误，故本选项错误；

D

、109ttt，原式计算正确，故本选项正确；

故选

D

．

点睛：同底数幂相除，底数不变，指数相减

.

3、

D

【解析】

试题分析：对于

A

，由

PC⊥OA

，

PD⊥OB

得出∠

PCO=∠PDO=90°

，根据

AAS

判定定理可以判定

△

POC

≌△

POD

；

对于

BOC=OD

，根据

SAS

判定定理可以判定

△

POC

≌△

POD

；对于

C

，∠

OPC=∠OPD

，根据

ASA

判定定理可以判

定

△

POC

≌△

POD

；，对于

D

，

PC=PD

，无法判定

△

POC

≌△

POD，故选

D

．

考点：角平分线的性质；全等三角形的判定．

4、

C

【解析】

根据已知三点和近似满足函数关系

y

=

ax2+

bx

+

c

(

a

≠0)

可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在

36

和

54

之间即可选

择答案

.

【详解】

解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，

抛物线对称轴在

36

和

54

之间，约为

41℃

∴旋钮的旋转角度

x

在

36°

和

54°

之间，约为

41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.

故选：

C

，

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键

.

综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．

5、

B

【解析】

根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．

【详解】

解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；

直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；

弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；

④半圆是弧，

但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但

比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．

其中错误说法的是①③两个．

故选

B

．

【点睛】

本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．

6、

B

【解析】【分析】由于一次函数

y=-2x+3

中

k=-2

＜

0

由此可以确定

y

随

x

的变化而变化的情况，即确定函数的增减性，

然后利用解析式即可求出自变量在

0≤x≤5

范围内函数值的最大值．

【详解】∵一次函数

y=

﹣

2x+3

中

k=

﹣

2

＜

0

，

∴y

随

x

的增大而减小，

∴在0≤x≤5

范围内，

x=0

时，函数值最大﹣

2×0+3=3

，

故选

B

．

【点睛】本题考查了一次函数

y=kx+b

的图象的性质：①

k

＞

0

，

y

随

x

的增大而增大；②

k

＜

0

，

y

随

x

的增大

而减小．

7、

B

【解析】

根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为

a×10n，其中

1≤|a|

＜

10

，

n

为整数，表示时关键要正确确定

a

的值

以及

n

的值．在确定

n

的值时，等于这个数的整数位数减

1.

【详解】

解：

85000

用科学记数法可表示为

8.5×104，

故选：

B

．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

a×10n的形式，其中

1≤|a|

＜

10

，

n

为整数，表示时关键要

正确确定

a

的值以及

n

的值．

8、

A

【解析】

试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果

.

t

＞

0

，

∴a

＋

t

＞

a

，

故选

A.

考点：本题考查的是不等式的基本性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质

1

：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变

.

9、

D

【解析】

根据题意判定

△ADE∽△ABC

，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．

【详解】

∵如图，在△ABC

中，

DE∥BC

，

∴△ADE∽△ABC

，

∴

2

1

12BDE

S

AD

SSSAB





（）

，

∴若1AD

＞

AB

，即

1

2

AD

AB

＞

时，

1

12

1

4

BDE

S

SSS

＞

，

此时

3S

1＞

S

1

+S

△BDE，而

S

1

+S

△BDE＜

1S

1．但是不能确定

3S

1与

1S

1的大小，

故选项

A

不符合题意，选项

B

不符合题意．

若

1AD

＜

AB

，即

1

2

AD

AB

＜

时，

1

12

1

4

BDE

S

SSS

＜

，

此时

3S

1＜

S

1

+S

△BDE＜

1S

1，

故选项

C

不符合题意，选项

D

符合题意．

故选

D

．

【点睛】

考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意

利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平

行线构造相似三角形．

10、

A

【解析】

根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立．

【详解】

由函数图象可得，

a

＞

1

，

b

＜

1

，即

a

、

b

异号，故①错误，

x=-1

和

x=5

时，函数值相等，故②错误，

∵-

15

22

b

a





＝

2，得

4a+b=1

，故③正确，

由图象可得，当

y=-2

时，

x=1

或

x=4

，故④错误，

由图象可得，当

-1

＜

x

＜

5

时，

y

＜

1

，故⑤正确，

故选

A

．

【点睛】

考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

y

（

x

﹣

y

）2

【解析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可

【详解】

x2y

﹣

2xy2+y3＝

y

（

x2-2xy+y2）

=y

（

x-y

）2.

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12、

2

【解析】

试题分析：由题意得，；C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰

直角三角形△ACD和△BCE，AD=CD；CE=BE；由勾股定理得，解得

；而AC+BC=AB=4，，

∵=16；，∴，

，得出

考点：不等式的性质

点评：本题考查不等式的性质，会用勾股定理，完全平方公式，不等关系等知识，它们是解决本题的关键

13、

0.7

【解析】

用通话时间不足

10

分钟的通话次数除以通话的总次数即可得．

【详解】

由图可知：小明家

3

月份通话总次数为

20+15+10+5=50

（次）；

其中通话不足

10

分钟的次数为

20+15=35

（次），

∴通话时间不足10

分钟的通话次数的频率是

35÷50=0.7.

故答案为

0.7.

14、4

【解析】

如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义

ad

＝

cb

，将

a

，

b

及

c

的值

代入即可求得

d

．

【详解】

已知

a

，

b

，

c

，

d

是成比例线段，

根据比例线段的定义得：

ad

＝

cb

，

代入

a

＝

3

，

b

＝

2

，

c

＝

6

，

解得：

d

＝

4

，

则

d

＝

4cm

．

故答案为：

4

【点睛】

本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面．

15、

1

【解析】

根据弧长公式

l

＝，可得

r

＝，再将数据代入计算即可．

【详解】

解：∵

l

＝，

∴

r

＝＝＝

1

．

故答案为：

1

．

【点睛】

考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：

l

＝（弧长为

l

，圆心角度数为

n

，圆的半径为

r

）．

16、

0

或

1

【解析】

根据负数没有算术平方根，一个正数的算术平方根只有一个，

1

和

0

的算术平方根等于本身，即可得出答案．

解：

1

和

0

的算术平方根等于本身

.

故答案为

1

和

0

“

点睛

”

本题考查了算术平方根的知识，注意掌握

1

和

0

的算术平方根等于本身．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（

1

）

2-1yx

；（

2

）3x．

【解析】

（

1

）由题意可设该一次函数的解析式为：

2yxb

，将点

M

（

4

，

7

）代入所设解析式求出

b

的值即可得到一次函数

的解析式；

（

2

）根据直线上的点

Q

（

x

，

y

）在直线

32yx

的下方可得

2

x

－

1<3

x

+2

，解不等式即得结果

.

【详解】

解：（

1

）∵一次函数平行于直线

2yx

，∴可设该一次函数的解析式为：

2yxb

，

∵直线

2yxb

过点

M

（

4

，

7

），

∴8+

b

=7

，解得

b

=

－

1

，

∴一次函数的解析式为：

y

=2

x

－

1

；

（

2

）∵点

Q

（

x

，

y

）是该一次函数图象上的点，∴

y

=2

x

－

1

，

又∵点

Q

在直线

32yx

的下方，如图，

∴2

x

－

1<3

x

+2

，

解得

x

>

－

3.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数与不等式的关系，属于常考题型，熟练掌握待定系数法与一

次函数与不等式的关系是解题的关键

.

18、

2.7

米

【解析】

解：作

BF⊥DE

于点

F

，

BG⊥AE

于点

G

在

Rt△ADE

中

∵tan∠ADE=,

∴DE="AE"·tan∠ADE=15

∵山坡AB

的坡度

i=1

：，

AB=10

∴BG=5

，

AG=

，

∴EF=BG=5

，

BF=AG+AE=+15

∵∠CBF=45°

∴CF=BF=+15

∴CD=CF+EF—DE=20—10≈20—10×1.732=2.68≈2.7

答：这块宣传牌

CD

的高度为

2.7

米．

19、（

1

）

y=

﹣

1

2

x2+

5

2

x

﹣

2

；（

2

）当

t=2

时，

△DAC

面积最大为

4

；（

3

）符合条件的点

P

为（

2

，

1

）或（

5

，﹣

2

）或

（﹣

3

，﹣

14

）．

【解析】

（

1

）把

A

与

B

坐标代入解析式求出

a

与

b

的值，即可确定出解析式；（

2

）如图所示，过

D

作

DE

与

y

轴平行，三角

形

ACD

面积等于

DE

与

OA

乘积的一半，表示出

S

与

t

的二次函数解析式，利用二次函数性质求出

S

的最大值即可；

（

3

）存在

P

点，使得以

A

，

P

，

M

为顶点的三角形与

△OAC

相似，分当

1

＜

m

＜

4

时；当

m

＜

1

时；当

m

＞

4

时三种

情况求出点

P

坐标即可．

【详解】

（

1

）∵该抛物线过点

A

（

4

，

0

），

B

（

1

，

0

），

∴将A

与

B

代入解析式得：，解得：，

则此抛物线的解析式为

y=

﹣

x2+x

﹣

2

；

（

2

）如图，设

D

点的横坐标为

t

（

0

＜

t

＜

4

），则

D

点的纵坐标为﹣

t2+t

﹣

2

，

过

D

作

y

轴的平行线交

AC

于

E

，

由题意可求得直线

AC

的解析式为

y=x

﹣

2

，

∴E

点的坐标为（

t

，

t

﹣

2

），

∴DE=

﹣

t2+t

﹣

2

﹣（

t

﹣

2

）

=

﹣

t2+2t

，

∴S

△DAC

=×

（﹣

t2+2t

）

×4=

﹣

t2+4t=

﹣（

t

﹣

2

）2+4

，

则当

t=2

时，

△DAC

面积最大为

4

；

（

3

）存在，如图，

设

P

点的横坐标为

m

，则

P

点的纵坐标为﹣

m2+m

﹣

2

，

当

1

＜

m

＜

4

时，

AM=4

﹣

m

，

PM=

﹣

m2+m

﹣

2

，

又∵∠

COA=∠PMA=90°

，

∴①当==2

时，

△APM∽△ACO

，即

4

﹣

m=2

（﹣

m2+m

﹣

2

），

解得：

m=2

或

m=4

（舍去），

此时

P

（

2

，

1

）；

②当==

时，

△APM∽△CAO

，即

2

（

4

﹣

m

）

=

﹣

m2+m

﹣

2

，

解得：

m=4

或

m=5

（均不合题意，舍去）

∴当1

＜

m

＜

4

时，

P

（

2

，

1

）；

类似地可求出当

m

＞

4

时，

P

（

5

，﹣

2

）；

当

m

＜

1

时，

P

（﹣

3

，﹣

14

），

综上所述，符合条件的点

P

为（

2

，

1

）或（

5

，﹣

2

）或（﹣

3

，﹣

14

）．

【点睛】

本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里求三角形的面积及其最大值问题，要求

会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形

,

解决相似三角形问题时要注意分类讨论．

20、（1）点C（1，）；（1）①y＝x1－x；②y＝－x1＋1x＋．

【解析】

试题分析：（1）求得二次函数y＝ax1－4ax＋c对称轴为直线x＝1，把x＝1代入y＝x求得y=，即可得点C的坐标；

（1）①根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m，m），根据S

△ACD

＝3即

可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入y＝ax1－4ax＋c得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的

表达式.②设A（m，m）（m<1），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝1－m，CE＝－m，

根据勾股定理用

m

表示出

AC

的长，根据

△ACD

的面积等于

10

可求得

m

的值，即可得

A

点的坐标，分两种情况：

第一种情况，若

a

＞

0

，则点

D

在点

C

下方，求点

D

的坐标；第二种情况，若

a

＜

0

，则点

D

在点

C

上方，求点

D

的

坐标，分别把

A

、

D

的坐标代入

y

＝

ax1－

4ax

＋

c

即可求得函数表达式

.

试题解析：（

1

）

y

＝

ax1－

4ax

＋

c

＝

a

（

x

－

1

）1－

4a

＋

c

．∴二次函数图像的对称轴为直线

x

＝

1

．

当x＝1时，y＝x＝，∴C（1，）．

（1）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（1，－），∴CD＝3.

设A（m，m）（m<1），由S

△ACD

＝3，得×3×（1－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.

由A（0，0）、D（1，－）得解得a＝，c＝0.

∴y＝x1－x.

②设A（m，m）（m<1），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝1－m，CE＝－m，

AC＝＝（1－m），

∵CD＝AC，∴CD＝（1－m）.

由S

△ACD

＝10得×（1－m）1＝10，解得m＝－1或m＝6（舍去），∴m＝－1．

∴A（－1，－），CD＝5.

若a＞0，则点D在点C下方，∴D（1，－），

由A（－1，－）、D（1，－）得解得

∴y＝x1－x－3.

若a＜0，则点D在点C上方，∴D（1，），

由A（－1，－）、D（1，）得解得

∴y＝－x1＋1x＋.

考点：二次函数与一次函数的综合题

.

21、（

1

）坡底

C

点到大楼距离

AC

的值为

203米；（

2

）斜坡

CD

的长度为

803-120

米

.

【解析】

分析：（

1

）在直角三角形

ABC

中，利用锐角三角函数定义求出

AC

的长即可；

（

2

）过点

D

作

DF⊥AB

于点

F

，则四边形

AEDF

为矩形，得

AF=DE

，

DF=AE.

利用

DF=AE=AC+CE

求解即可

.

详解：（

1

）在直角

△ABC

中，∠

BAC=90°

，∠

BCA=60°

，

AB=60

米，则

AC=

60

203

60

3

AB

tan





（米）

答：坡底

C

点到大楼距离

AC

的值是

203米．

（

2

）过点

D

作

DF⊥AB

于点

F

，则四边形

AEDF

为矩形，

∴AF=DE

，

DF=AE.

设

CD=x

米，在

Rt△CDE

中，

DE=

1

2

x

米，

CE=

3

2

x

米

在

Rt△BDF

中，∠

BDF=45°

，

∴BF=DF=AB-AF=60-

1

2

x

（米）

∵DF=AE=AC+CE

，

∴203+

3

2

x=60-

1

2

x

解得：

x=803-120

（米）

故斜坡

CD

的长度为（

803-120

）米

.

点睛：此题考查了解直角三角形

-

仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

22、（

1

）

CF=

3

2

；（

2

）

①△PFM

的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，理由见解析；

②△PFM

的周长满足：

2+22

＜（

1+2）

y

＜

1+12．

【解析】

（

1

）由折叠的性质可知，

FB=FM

，设

CF=x

，则

FB=FM=1

﹣

x

，在

Rt△CFM

中，根据

FM2=CF2+CM2，构建方程即

可解决问题；

（

2

）①△

PFM

的形状是等腰直角三角形，想办法证明

△POF∽△MOC

，可得∠

PFO=∠MCO=15°

，延长即可解决问

题；

②设FM=y

，由勾股定理可知：

PF=PM=

2

2

y

，可得

△PFM

的周长

=

（

1+2）

y

，由

2

＜

y

＜

1

，可得结论．

【详解】

（

1

）∵

M

为

AC

的中点，

∴CM=

1

2

AC=

1

2

BC=2

，

由折叠的性质可知，

FB=FM

，

设

CF=x

，则

FB=FM=1

﹣

x

，

在

Rt△CFM

中，

FM2=CF2+CM2，即（

1

﹣

x

）2=x2+22，

解得，

x=

3

2

，即

CF=

3

2

；

（

2

）①△

PFM

的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，

理由如下：由折叠的性质可知，∠

PMF=∠B=15°

，

∵CD

是中垂线，

∴∠ACD=∠DCF=15°

，

∵∠MPC=∠OPM

，

∴△POM∽△PMC

，

∴

PO

PM

=

OM

MC

，

∴

MC

PM

=

OM

PO

，

∵∠EMC=∠AEM+∠A=∠CMF+∠EMF

，

∴∠AEM=∠CMF

，

∵∠DPE+∠AEM=90°

，∠

CMF+∠MFC=90°

，∠

DPE=∠MPC

，

∴∠DPE=∠MFC

，∠

MPC=∠MFC

，

∵∠PCM=∠OCF=15°

，

∴△MPC∽△OFC

，

∴

MPMC

OFOC



，

∴

MCOC

PMOF



，

∴

OMOC

POOF



，

∵∠POF=∠MOC

，

∴△POF∽△MOC

，

∴∠PFO=∠MCO=15°

，

∴△PFM

是等腰直角三角形；

②∵△PFM

是等腰直角三角形，设

FM=y

，

由勾股定理可知：

PF=PM=

2

2

y

，

∴△PFM

的周长

=

（

1+2）

y

，

∵2

＜

y

＜

1

，

∴△PFM

的周长满足：

2+22＜（

1+2）

y

＜

1+12．

【点睛】

本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解

题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

23、（

1

）作图见解析；（

2

）作图见解析；（

3

）

P

（

16

5

，

0

）．

【解析】

（

1

）分别将点

A

、

B

、

C

向上平移

1

个单位，再向右平移

5

个单位，然后顺次连接；（

2

）根据网格结构找出点

A

、

B

、

C

以点

O

为旋转中心顺时针旋转

90°

后的对应点，然后顺次连接即可；（

3

）利用最短路径问题解决，首先作

A

1点关于

x

轴的对称点

A

3，再连接

A

2

A

3与

x

轴的交点即为所求．

【详解】

解：（

1

）如图所示，

△A

1

B

1

C

1为所求做的三角形；

（

2

）如图所示，

△A

2

B

2

O

为所求做的三角形；

（

3

）∵

A

2坐标为（

3

，

1

），

A

3坐标为（

4

，﹣

4

），

∴A

2

A

3所在直线的解析式为：

y=

﹣

5x+16

，

令

y=0

，则

x=

16

5

，

∴P

点的坐标（

16

5

，

0

）．

考点：平移变换；旋转变换；轴对称

-

最短路线问题．

24、

(1)

证明见解析；

(2)3.

【解析】

(1)

根据切线的判定定理得到

BC

是⊙

O

的切线，再利用切线长定理证明即可；

(2)

根据含

30°

的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．

【详解】

(1)∵

AB

是⊙

O

直径，

BC

⊥

AB

，

∴

BC

是⊙

O

的切线，

∵

CD

切⊙

O

于点

D

，

∴

BC

＝

CD

；

(2)

连接

BD

，

∵

BC

＝

CD

，∠

C

＝

60°

，

∴△

BCD

是等边三角形，

∴

BD

＝

BC

＝

3

，∠

CBD

＝

60°

，

∴∠

ABD

＝

30°

，

∵

AB

是⊙

O

直径，

∴∠

ADB

＝

90°

，

∴

AD

＝

BD

•tan∠

ABD

＝3．

【点睛】

本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．