2011高考数学答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学试题卷

本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是满足题目要求的。

1.复数

1zi

，z为z的共轭复数，则1zzz

(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i

2.函数20yxx的反函数为

(A)2

4

x

yxR(B)2

0

4

x

yx

(C)24yxxR(D)240yxx

3.下面四个条件中，使

ab

成立的充分而不必要的条件是

(A)

1ab

(B)

1ab

(C)22ab(D)33ab

4.设

n

S为等差数列

n

a的前n项和，若

1

1a，公差

2

2,24

kk

dSS



，则k=

(A)8(B)7(C)6(D)5

5.设函数cos0fxx，将yfx的图像向右平移

3



个单位长度后，所得的图

像与原图像重合，则的最小值等于

(A)

1

3

(B)3(C)6(D)9

6.已知直二面角l，点,,AAClC为垂足，,,BBDlD为垂足，若

2,1ABACBD，则D到平面ABC的距离等于

(A)

2

2

(B)

3

3

(C)

6

3

(D)1

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友

1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种

8.曲线21xye在点0,2处的切线与直线0y和yx围成的三角形的面积为

(A)

1

3

(B)

1

2

(C)

2

3

(D)1

9.设fx是周期为2的奇函数，当01x时，21fxxx，则

5

2

f









(A)

1

2

(B)

1

4

(C)

1

4

(D)

1

2

10.已知抛物线C：24yx的焦点为F，直线24yx与C交于A、B两点，则

cosAFB

(A)

4

5

(B)

3

5

(C)

3

5

(D)

4

5



11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，若

该球面的半径为4.圆M的面积为

4

，则圆N的面积为

(A)

7

(B)

9

(C)

11(D)

13

12.设向量,,abc



满足

1

1,,,60

2

ababacbc



，则c



的最大值等于

(A)2(B)3(C)2(D)1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位

置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

13.20

1x的二项展开式中，x的系数与9x的系数之差为.

14.已知,

2













，

5

sin

5

，则

tan2

.

15.已知

12

FF、分别为双曲线

22

:1

927

xy

C的左、右焦点，点

AC

，点M的坐标为2,0，

AM为

12

FAF的角平分线，则

2

AF.

16.已知点E、F分别在正方体

1111

ABCDABCD的棱

11

BBCC、上，且

1

2BEEB,

1

2CFFC,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

ABC

的内角A、B、C的对边分别为,,abc。已知90,2ACacb，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种

保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD中，//,ABCDBCCD,侧面SAB为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：SDSAB平面;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列

n

a满足

1

1

11

0,1

11

nn

a

aa







（Ⅰ）求

n

a的通项公式；

（Ⅱ）设1

1

n

n

a

b

n





，记

1

n

nk

k

Sb



，证明：1

n

S。

21.（本小题满分12分）

已知O为坐标原点，F为椭圆

2

2:1

2

y

Cx在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为2

的直线

l

与C交于A、B两点，点P满足



（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数

2

ln1

2

x

fxx

x





，证明：当

0x

时，0fx

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续

抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：

19

2

91

10

p

e









答案非官方，不对其正确性作绝对的保证

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（理工农医类）试题参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1．B2．B3．A4．D5．C

6．C7．B8．D9．A10．D11.D12.A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

13．014．

4

3

15．616．

2

3

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17.（本小题满分10分）

解：由90AC，得

2

2

BACC





故sinsincos

2

ACC











，sinsin2cos2

2

BCC











由2sinsin2sinacbACB，

故cossin2cos2CCC，22cossin2cossinCCCC

又显然

2

C



，故

2

cossin

2

CC，再由22cossin1CC，

解得：

62

cos

4

C



，于是

12

C





18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为x,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为

0.3

故10.50.30.6xx，

所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为110.510.60.8

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为

10.80.2

所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为100

100

0.20.8XX

XpC

显然，X服从二项分布，即100,0.2XB,

所以

1000.220EX

X的期望为20

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，//,ABCDBCCD，

易算得：5ADBD，

又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，

所以2225SDSAAD,2225SDSBBD

于是

SDSA

,

SDSB

,

所以SDSAB平面

（Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d，

因为SDSAB平面，所以

SDAB

,从而

SDCD

,

因而可以算得：2SC，又

2SBBC

，故

7

2SBC

S





又因为//CDSAB平面,所以点C到平面SAB的距离为

1SD

另外，显然2

3

23

4SBA

S



，

所以

171

31

323ASBCCSAB

VdV





四棱锥四棱锥

得：

221

7

d

设AB与平面SBC所成的角为，则

221

21

7

sin

27



，

即AB与平面SBC所成的角为

21

sin

7

arc（显然是锐角）

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由

1

11

1

11

nn

aa







得：

数列

1

1

n

a









是等差数列，首项为

1

1

1

1a





故

1

111

1

n

nn

a





，从而

1

1

n

a

n



（Ⅱ）1

1

11

1

111

1

11

n

n

a

nn

n

b

nnnnnn















所以

1

111111

111

22311

n

nk

k

Sb

nnn







21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：易知：0,1F，故：:21lyx，代入椭圆方程得：242210xx，

设

1122

,,,,,AxyBxyPxy，则

12

2

2

xx，

1212

221yyxx，

因为



所以

1122

,,,0,0xyxyxy



1212

2

,,,1

2

xyxxyy











，将此坐标代入椭圆：

2

221

1

22











，

所以点P在C上。

（Ⅱ）由（Ⅰ）：242210xx及:21lyx，得

26312613

,,,

4242

AB











，因为

2

,1

2

p











，所以

2

,1

2

Q









于是可以算得：226

AP

k，622

AQ

k，226

BP

k，622

BQ

k

tan42PBQ,

2

tan6

3

APB,tan42PAQ

2

tan6

3

AQB

于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）

0x

时，





2

22

222

1

0

1

212

xx

x

fx

x

xxx











，

于是fx在0,上单调增，所以00fxf

（Ⅱ）

2019

181

100100

p









19

9981(9881)918990

100







（共有

191

9

2



对数相乘）

19

22219

1919

9

0

10010010

x













由（Ⅰ），

10x

时，也有



2

2

0

12

x

fx

xx







，

故fx在1,0上单调增，所以

1

00

10

ff









即

1

1992

5

lnln0

19

10101019

10

f









即

9

19ln2

10









，两边同时取e的对数得：

19

2

2

91

10

e

e











综上所述：

19

2

91

10

p

e







