2020数学高考答案

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1

2020年辽宁高考理科数学试题及答案

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷满分150分。

2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则

()

U

AB

A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}

2．若α为第四象限角，则

A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0

3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大

幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份

订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，

为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者

A．10名B．18名C．24名D．32名

4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环

绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环

多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石

板(不含天心石)

A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块

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2

5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230xy的距离为

A．

5

5

B．

25

5

C．

35

5

D．

45

5

6．数列{}

n

a中，

1

2a，

mnmn

aaa



.若155

1210

22

kkk

aaa



，则k

A．2B．3C．4D．5

7．下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对

应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为

A．EB．FC．GD．H

8．设O为坐标原点，直线

xa

与双曲线

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab

的两条渐近线分别交于,DE两点，

若ODE△的面积为8，则C的焦距的最小值为

A．4B．8C．16D．32

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3

9．设函数

()ln|21|ln|21|fxxx

，则f(x)

A．是偶函数，且在

1

(,)

2



单调递增B．是奇函数，且在

11

(,)

22



单调递减

C．是偶函数，且在

1

(,)

2



单调递增D．是奇函数，且在

1

(,)

2



单调递减

10．已知△ABC是面积为

93

4

的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O

到平面ABC的距离为

A．

3

B．

3

2

C．1D．

3

2

11．若2x－2y<3−

x－3−

y，则

A．ln(y-x+1)>0B．ln(y-x+1)<0C．ln∣x-y∣>0D．ln∣x-y∣<0

12．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列

12n

aaa

满足

{0,1}(1,2,)

i

ai

，且存在正整数m，

使得

(1,2,)

imi

aai





成立，则称其为0-1周期序列，并称满足

(1,2,)

imi

aai





的最小正整数m为

这个序列的周期．对于周期为m的0-1序列

12n

aaa

，

1

1

()(1,2,,1)

m

iik

i

Ckaakm

m



是描述其性

质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足

1

()(1,2,3,4)

5

Ckk

的序列是

A．

11010

B．

11011

C．

10001

D．

11001

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________．

14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不

同的安排方法共有__________种．

15．设复数

1

z

，

2

z

满足

12

||=||=2zz

，

12

3izz，则

12

||zz

=__________．

16．设有下列四个命题：

p1

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

p2

：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

p3

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

p4

：若直线l



平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．

则下述命题中所有真命题的序号是__________．

①

14

pp

②

12

pp

③

23

pp④

34

pp

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

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4

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

ABC△

中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求

ABC△

周长的最大值．

18．（12分）

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物

的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，

调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：

公顷)和这种野生动物的数量，并计算得

20

1

60

i

i

x



，

20

1

1200

i

i

y



，

20

2

1

)8(0

i

i

xx



，

20

2

1

)9000(

i

i

yy



，

20

1

)()800(

ii

i

yyxx



．

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的

平均数乘以地块数）；

（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野

生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数1

22

11

)

(

()

()

(

)

ii

i

n

i

n

i

i

n

i

xy

r

xy

xy

xy















，21.414．

19．（12分）

已知椭圆C1：

22

22

1

xy

ab

(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过

F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且

4

3

CDAB．

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．

20．（12分）

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P

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5

为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．

21．（12分）

已知函数2()sinsin2fxxx．

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

（2）证明：

33

()

8

fx；

（3）设*nN，证明：2222sinsin2sin4sin2

3

4

n

n

nxxxx．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错

涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线C1，C2的参数方程分别为

C1：

2

2

4cos

4sin

x

y



















，

（θ为参数），C2：

1

,

1

xt

t

yt

t



















（t为参数）．

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且

经过极点和P的圆的极坐标方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|．

（1）当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；

（2）若f(x)≥4，求a的取值范围．

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6

1．A2．D3．B4．C5．B6．C7．A8．B9．D10．C11．A12．C

13．

2

2

14．3615．

23

16．①③④

17．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BCACABACAB，①

由余弦定理得2222cosBCACABACABA，②

由①，②得

1

cos

2

A

.

因为0πA，所以

2π

3

A

.

（2）由正弦定理及（1）得

23

sinsinsin

ACABBC

BCA



，

从而23sinACB，23sin(π)3cos3sinABABBB.

故

π

33sin3cos323sin()

3

BCACABBBB

.

又

π

0

3

B

，所以当

π

6

B

时，ABC△周长取得最大值323.

18．解：（1）由已知得样本平均数

20

1

60

1

20

i

i

yy



，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×

200=12000．

（2）样本

(,)

ii

xy(1,2,,20)i

的相关系数

20

1

2020

22

11

)()

80022

0.94

3

80900

(

0

))

(

(

i

i

i

i

ii

i

xyy

x

x

r

xyy

















．

（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．

理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物

覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了

样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确

的估计．

19．解：（1）由已知可设

2

C

的方程为24ycx，其中22cab.

不妨设

,AC

在第一象限，由题设得

,AB

的纵坐标分别为

2b

a

，

2b

a

；

,CD

的纵坐标分别为2c，2c，

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7

故

22

||

b

AB

a

，

||4CDc

.

由

4

||||

3

CDAB

得

28

4

3

b

c

a

，即2322()

cc

aa



，解得

2

c

a



（舍去），

1

2

c

a

.

所以

1

C

的离心率为

1

2

.

（2）由（1）知2ac，3bc，故

22

1

22

:1

43

xy

C

cc

，

设

00

(,)Mxy

，则

22

00

22

1

43

xy

cc

，2

00

4ycx

，故

2

00

2

4

1

43

xx

cc

.①

由于

2

C

的准线为

xc

，所以

0

||MFxc

，而

||5MF

，故

0

5xc

，代入①得

2

2

(5)4(5)

1

43

cc

cc



，即2230cc，解得1c（舍去），3c.

所以

1

C

的标准方程为

22

1

3627

xy

，

2

C

的标准方程为212yx.

20．解：（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以

1

MNCC∥．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．

因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．

所以平面A1AMN⊥平面

11

EBCF．

（2）由已知得AM⊥BC．以M为坐标原点，

MA

的方向为x轴正方向，MB为单位长，建立如图所示的空

间直角坐标系M-xyz，则AB=2，AM=3．

连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故

23231

,(,,0)

333

PME

．由（1）知平面A1AMN⊥平面ABC，

作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC．

设

(,0,0)Qa

，则22

1

2323

4(),(,1,4())

33

NQaBaa

，

故2

11

23223210

(,,4()),||

3333

BEaaBE

．

又

(0,1,0)n

是平面A1AMN的法向量，故1

11

1

π10

sin(,)cos,

210

||

BE

BEBE

BE







n

nn

|n|

．

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8

所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为

10

10

．

21．解：（1）

()cos(sinsin2)sin(sinsin2)fxxxxxxx'





22sincossin22sincos2xxxxx

2sinsin3xx

．

当

(0,)(,)

33

x





时，

()0fx





；当

(,)

33

x





时，

()0fx





．

所以

()fx

在区间

(0,),(,)

33





单调递增，在区间

(,)

33



单调递减．

（2）因为

(0)()0ff

，由（1）知，

()fx

在区间

[0,]

的最大值为

33

()

38

f





，

最小值为

33

()

38

f





．而

()fx

是周期为



的周期函数，故

33

|()|

8

fx

．

（3）由于

3

222

2(sinsin2sin2)nxxx

333|sinsin2sin2|nxxx

23312|sin||sinsin2sin2sin2||sin2|nnnxxxxxx

12|sin||()(2)(2)||sin2|nnxfxfxfxx

1|()(2)(2)|nfxfxfx

，

所以

2

222

3

333

sinsin2sin2()

84

n

n

n

n

xxx

．

22．解：（1）

1

C

的普通方程为

4(04)xyx

．

由

2

C

的参数方程得22

2

1

2xt

t



，22

2

1

2yt

t



，所以224xy

．

故

2

C

的普通方程为224xy

．

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9

（2）由

22

4,

4

xy

xy











得

5

,

2

3

,

2

x

y



















所以P的直角坐标为

53

(,)

22

．

设所求圆的圆心的直角坐标为

0

(,0)x

，由题意得22

00

59

()

24

xx

，

解得

0

17

10

x

．

因此，所求圆的极坐标方程为

17

cos

5



．

23．解：（1）当

2a

时，

72,3,

()1,34,

27,4,

xx

fxx

xx

















因此，不等式

()4fx

的解集为

311

{|}

22

xxx或

．

（2）因为222()|||21||21|(1)fxxaxaaaa

，故当2(1)4a

，即

|1|2a

时，

()4fx

．所

以当a≥3或a≤-1时，

()4fx

．

当-1

，

所以a的取值范围是

(,1][3,)

．