对数函数的定义域

对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果Nax

)1,0(aa，那么数

x

叫做以

．

a

为底

．．

N的对数，

记作：Nx

a

log（

a

—底数，N—真数，N

a

log—对数式）

说明：○1注意底数的限制0a，且1a；

○2

xNNa

a

xlog；

○3注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○1常用对数：以10为底的对数Nlg；

○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．

（二）对数的运算性质

如果0a，且1a，0M，0N，那么：

○1M

a

(log·)NM

a

log＋N

a

log；

○2

N

M

a

logM

a

log－N

a

log；

○3n

a

MlognM

a

log)(Rn．

注意：换底公式

a

b

b

c

c

alog

log

log（0a，且1a；0c，且1c；0b）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）b

m

n

b

a

n

amloglog；（2）

a

b

b

alog

1

log．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数

0(logaxy

a

，且)1a叫做对数函

数，其中

x

是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意

辨别。如：xy

2

log2，

5

log

5

x

y

都不是对数函数，而只能称

其为对数型函数．

○2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．

2、对数函数的性质：

a>10

定义域x＞0定义域x＞0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都

过定点（1，0）

函数图象都过定点

（1，0）

对数函数·例题解析

例1．求下列函数的定义域：

（1）2logxy

a



；（2）)4(logxy

a

；（3）

)9(log2xy

a



．

解：（1）由2x>0得0x，∴函数2logxy

a

的定义域是0xx；

（2）由04x得4x，∴函数)4(logxy

a

的定义域是4xx；

（3）由9-02x得-33x，∴函数)9(log2xy

a

的定义域是

33xx．例2．求函数2

5

1

















x

y和函数2

2

112

















x

y)0(x的反函数。

解：（1）

1

2

5

x

y









∴1

1

5

()log(2)fxx(-2)x；

（2）

211

-2

2

x

y











∴-1

1

2

()log(-2)fxx

5

(2)

2

x．

例4．比较下列各组数中两个值的大小：

（1）

2

log3.4，

2

log8.5；（2）

0.3

log1.8，

0.3

log2.7；（3）log5.1

a

，

log5.9

a

.

解：（1）对数函数

2

logyx在(0,)上是增函数，于是

2

log3.4

2

log8.5；

（2）对数函数

0.3

logyx在(0,)上是减函数，于是

0.3

log1.8

0.3

log2.7；

（3）当1a时，对数函数

log

a

yx在(0,)上是增函数，于是log5.1

a

log5.9

a

，

当1oa时，对数函数

log

a

yx在(0,)上是减函数，于是log5.1

a

log5.9

a

．

例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

（1）

6

log7，

7

log6；（2）

3

log，

2

log0.8；

（3）0.91.1，

1.1

log0.9，

0.7

log0.8；（4）

5

log3，

6

log3，

7

log3．

解：（1）∵

66

log7log61，

77

log6log71，∴

6

log7

7

log6；

（2）∵

33

loglog10，

22

log0.8log10，∴

3

log

2

log0.8．

(3）∵0.901.11.11，

1.11.1

log0.9log10，

0.70.70.7

0log1log0.8log0.71，

∴0.91.1

0.7

log0.8

1.1

log0.9．

（4）∵

333

0log5log6log7，∴

5

log3

6

log3



7

log3．

例7．求下列函数的值域：

（1）

2

log(3)yx；（2）2

2

log(3)yx；（3）2log(47)

a

yxx（0a且1a）．

解：（1）令3tx，则

2

logyt，∵0t，∴yR，即函数值域为R．

（2）令23tx，则03t，∴

2

log3y，即函数值域为

2

(,log3]．

（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log3

a

y，即值域为

[log3,)

a

，

当01a时，

log3

a

y，即值域为(,log3]

a

．

例8．判断函数2

2

()log(1)fxxx的奇偶性。

解：∵21xx恒成立，故()fx的定义域为(,)，2

2

()log(1)fxxx

2

2

1

log

1xx





2

2

222

1

log

(1)

xx

xx







2

2

log1()xxfx，所以，()fx

为奇函数。

例9．求函数2

1

3

2log(32)yxx的单调区间。

解：令22

31

32()

24

uxxx在

3

[,)

2

上递增，在

3

(,]

2

上递减，

又∵2320xx，∴2x或1x，

故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又∵

1

3

2logyu为减函数，

所以，函数2

1

3

2log(32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。

例10．若函数2

2

log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，

a

的取值范围。

解：令2()ugxxaxa，∵函数

2

logyu为减函数，

∴2()ugxxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，∴

13

2

(13)0

a

g















，解得

2232a

，

所以，

a

的取值范围为

[223,2]

．

解(2)∵1－log

a

(x＋a)＞0，∴log

a

(x＋a)＜1．

当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．

当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．

域和值域．

反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．

【例3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间．

(1)y=lg(－x)(2)y=log

2

|x＋1|

解(1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，

单调减区间是(－∞，0)．

解(2)先作出函数y=log

2

|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得

y＝log

2

|x＋1|的图像如图2．8－4所示．

单调递减区间是(－∞，－1)．单调递增区间是(－1，＋∞)．

的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为

所示

单调减区间是(－1，2]．单调增区间是[2，＋∞)．

解(4)∵函数y=log

2

(－x)的图像与函数y=log

2

x的图像关于y轴对称，故

可先作y=log

2

(－x)的图像，再把y＝log

2

(－x)的图像向右平移1个单位得到

y=log

2

(1－x)的图像．如图2．8－6所示．

单调递减区间是(－∞，1)．

【例4】图2．8－7分别是四个对数函数，①y=log

a

x②y=log

b

x③y=log

c

x④y=log

d

x

的图像，那么a、b、c、d的大小关系是[]

A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞d

C．b＞a＞d＞cD．b＞c＞a＞d

解选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．

【例5】已知log

a

3＞log

b

3，试确定a和b的大小关系．

解法一令y

1

=log

a

x，y

2

=log

b

x，∵log

a

x＞log

b

3，即取x＝3时，y

1

＞y

2

，

所以它们的图像，可能有如下三种情况：

(1)当log

a

3＞log

b

3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．

(2)当0＞log

a

3＞log

b

3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．

(3)当log

a

3＞0＞log

b

3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．

顺序是：_____．

奇偶性．

解法一已知函数的定义域为R，则－x∈R

∴f(x)是奇函数．

解法二已知函数的定义域为R

=log

a

1=0

∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．

单元测试

一、选择题（每小题5分，共50分）.

1．对数式

ba

a





)5(log

2

中，实数a的取值范围是（）

A．)5,(B．(2,5)C．),2(D．)5,3()3,2(

2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么（）

A．x=a+3b－cB．

c

ab

x

5

3

C．

5

3

c

ab

xD．x=a+b

3

－c

3

3．设函数y=lg(x

2

－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则（）

A．M∪N=RB．M=NC．MND．MN

4．若a＞0，b＞0，ab＞1，a

2

1

log=ln2，则log

a

b与a

2

1

log的关系是（）

A．log

a

b＜a

2

1

logB．log

a

b=a

2

1

log

C．log

a

b＞a

2

1

logD．log

a

b≤a

2

1

log

5．若函数log

2

(kx

2

+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是（）

A．











4

3

,0B．











4

3

,0C．













4

3

,0D．











,

4

3

]0,(

6．下列函数图象正确的是（）

ABCD

7．已知函数

)(

1

)()(

xf

xfxg，其中log

2

f(x)=2x，x



R，则g(x)（）

A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数

C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数

9．如果y=log

2

a－1

x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是（）

A．｜a｜＞1B．｜a｜＜2C．a2D．21a

10．下列关系式中，成立的是（）

A．10log

5

1

4log

3

1

0

3















B．4log

5

1

10log

3

0

3

1

















C．

0

3

135

1

10log4log













D．

0

3

3

15

1

4log10log















二、填空题：（每小题6分，共24分）.

11．函数)2(log2

2

1

xy的定义域是，值域是.

12．方程log

2

(2

x

+1)log

2

(2

x+1

+2)=2的解为.

13．将函数xy2的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到

图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为.

14．函数y=)124(log2

2

1

xx的单调递增区间是.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).

15．（12分）已知函数)(log)1(log

1

1

log)(

222

xpx

x

x

xf





.

(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域.

16．（12分）设x，y，z∈R

+

，且3

x

=4

y

=6

z

.

(1)求证：

yxz2

111

;(2)比较3x，4y，6z的大小.

17．（12分）设函数)1lg()(2xxxf.

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性；

(3)证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数；

(4)求函数f(x)的反函数.

18．现有某种细胞100个，其中有占总数

1

2

的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个

细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：

lg30.477,lg20.301）.

20．（14分）已求函数

)1,0)((log2aaxxy

a

的单调区间.

必修1数学章节测试（7）—第二单元（对数函数）

一、DCCABBDBDA

二、11．2,112

，,0；12．0；13．1)1(log

2

xy；

14．)2,(；

三、

15．解：(1)函数的定义域为(1，p).

(2)当

p

＞3时，

f

(

x

)的值域为(－∞，2log

2

(

p

+1)－2)；

当

1＜p

3时

，f(x)

的值域为

(－



，1+log2(p+1)).

16．解：(1)设3

x

=4

y

=6

z

=t.∵x＞0，y＞0，z＞0，∴t＞1，lgt＞0，

6lg

lg

,

4lg

lg

,

3lg

lg

log

3

t

z

t

y

t

tx

∴

yttttxz2

1

lg2

4lg

lg

2lg

lg

3lg

lg

6lg11



.

(2)3

x

＜4

y

＜6

z

.

17．解：(1)由















01

01

2

2

x

xx

得x∈R，定义域为R.(2)是奇函数.(3)设x

1

，x

2

∈R，且

x

1

＜x

2

，

则

1

1

lg)()(

2

22

2

11

21





xx

xx

xfxf

.令12xxt，

则

)1()1(2

22

2

1121

xxxxtt

.

=

)11()(2

2

2

121

xxxx

=

11

))((

)(

2

2

2

1

2121

21





xx

xxxx

xx

=

11

11)((

2

2

2

1

21

2

2

2

121





xx

xxxxxx

∵x

1

－x

2

＜0，01

1

2

1

xx，01

2

2

2

xx，0112

2

2

1

xx，

∴t

1

－t

2

＜0，∴0＜t

1

＜t

2

，∴10

2

1

t

t

，

∴f(x

1

)－f(x

2

)＜lg1=0，即f(x

1

)＜f(x

2

)，∴函数f(x)在R上是单调增函数.

(4)反函数为

x

x

y

102

1102







(x



R).

18．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，

1小时后，细胞总数为

113

1001002100

222



；

2小时后，细胞总数为

13139

1001002100

22224



；

3小时后，细胞总数为

191927

1001002100

24248



；

4小时后，细胞总数为

12712781

1001002100

282816



；

可见，细胞总数y与时间

x

（小时）之间的函数关系为：

3

100

2

x

y









，xN

由10

3

10010

2

x







，得

8

3

10

2

x







，两边取以10为底的对数，得

3

lg8

2

x，

∴

8

lg3lg2

x



，∵

88

45.45

lg3lg20.4770.301





，

∴45.45x.

答：经过46小时，细胞总数超过1010个.

19．解：（1）过A,B,C,分别作AA

1

,BB

1

,CC

1

垂直于x轴，垂足为A

1

,B

1

,C

1

，

则S=S

梯形AA1B1B

+S

梯形BB1C1C

－S

梯形AA1C1C

.

)

4

4

1(log

)2(

4

log

2

3

2

2

3

1ttt

tt











（2）因为v=tt42在),1[上是增函数,且v



5,

.5

4

1在

v

v上是减函数，且1



5

9

;S















5

9

,1log

3

在u上是增函数，

所以复合函数S=f(t)



,1)

4

4

1(log

2

3

在

tt

上是减函数

（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f(1)5log2

5

9

log

33



20．解：由2xx>0得0

)(log2xxy

a



的定义域是(0,1)

因为0<2xx=

4

1

4

1

)

2

1

(2x，

所以，当0

4

1

log)(log2

aa

xx

函数

)(log2xxy

a

的值域为













,

4

1

log

a

;

当a>1时,

4

1

log)(log2

aa

xx

函数

)(log2xxy

a



的值域为















4

1

log,

a

当0

)(log2xxy

a



在













2

1

,0上是减函数，在













1,

2

1

上是增函数；

当a>1时，函数

)(log2xxy

a



在













2

1

,0上是增函数，在













1,

2

1

上是减函数.