三角函数公式

高中三角函数公式大全[图]

1三角函数的定义1.1三角形中的定义

图1在直角三角形中定义三角函数的示意图

在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：

•正弦函数

•余弦函数

•正切函数

•余切函数

•正割函数

•余割函数

1.2直角坐标系中的定义

图2在直角坐标系中定义三角函数示意图

在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：

•正弦函数

•余弦函数

•正切函数

•余切函数

•正割函数

•余割函数

2转化关系2.1倒数关系

2.2平方关系

2和角公式

3倍角公式、半角公式3.1倍角公式

3.2半角公式

3.3万能公式

4积化和差、和差化积4.1积化和差公式

4.2和差化积公式

诱导公式

•sin(-a)=-sin(a)

•cos(-a)=cos(a)

•sin(pi/2-a)=cos(a)

•cos(pi/2-a)=sin(a)

•sin(pi/2+a)=cos(a)

•cos(pi/2+a)=-sin(a)

•sin(pi-a)=sin(a)

•cos(pi-a)=-cos(a)

•sin(pi+a)=-sin(a)

•cos(pi+a)=-cos(a)

•tgA=tanA=sinA/cosA

两角和与差的三角函数

•sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

•cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

•sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

•cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

•tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

•tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

三角函数和差化积公式

•sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)

•sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

•cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

•cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

积化和差公式

•sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

•cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

•sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

二倍角公式

•sin(2a)=2sin(a)cos(a)

•cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)

半角公式

•sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

•cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

•tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

万能公式

•sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

•cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

•tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式

•a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，

tan(c)=b/a]

•a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，

tan(c)=a/b]

•1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

•1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

其他非重点三角函数

•csc(a)=1/sin(a)

•c(a)=1/cos(a)

双曲函数

•sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2

•cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2

•tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

常用公式表（一）

1。乘法公式

（1）（a+b）²=a2+2ab+b2(2)(a-b)²=a²-2ab+b²(3)(a+b)(a-b)=a²

-b²

(4)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)(5)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

2、指数公式：

(1)a0=1（a≠0）（2）aP=Pa

1

（a≠0）（3）am

n

=

m

na

（4）aman=anm（5）am÷an=n

m

a

a

=anm（6）（am）n=amn

（7）（ab）n=anbn（8）（

b

a

）

n

=

n

n

b

a

（9）（

a

）

2

=a

（10）2a=|a|

3、指数与对数关系：

（1）若a

b

=N，则Nb

a

log（2）若10

b

=N，则b=lgN

（3）若be=N，则b=㏑N

4、对数公式：

（1）bab

a

log,㏑e

b

=b（2）NaaNlog，e

Nln

=N

（3）

a

N

N

aln

ln

log

（4）abbealn

（5）NMMNlnlnln

（6）

NM

N

M

lnlnln

（7）MnMnlnln（8）㏑

nM

=

M

n

ln

1

5、三角恒等式：

（1）（Sinα）²+（Cosα）²=1（2）1+（tanα）²=(cα)²

（3）1+(cotα)²=(cscα)²（4）





tan

cos

sin



（5）





cot

sin

cos



（6）





tan

1

cot

（7）





cos

1

csc

（8）





cos

1

c

6、特殊角三角函数值：

α0

6



4



3



2





2

3

2

sina0

2

1

2

2

2

3

10--10

cosa1

2

3

2

2

2

1

0--101

tana0

3

3

1

3

∞0--∞0

cota∞

3

1

3

3

0--∞0∞

7.倍角公式：

（1）cossin22sin（2）







2tan1

tan2

2tan





（3）2222sin211cos2sincos2cos

8.半角公式（降幂公式）：

（1）（

2

sin



）2=

2

cos1a

（2）（

2

cos



）

2

=

2

cos1a

（3）

2

tan



=

a

a

sin

cos1

=

a

a

cos1

sin



9、三角函数与反三角函数关系：

（1）若x=siny，则y=arcsinx（2）若x=cosy，则y=arccosx

（3）若x=tany，则y=arctanx（4）若x=coty，则y=arccotx

10、函数定义域求法：

（1）分式中的分母不能为0，（

a

1

α≠0）

（2）负数不能开偶次方，（

a

α≥0）

（3）对数中的真数必须大于0，（N

a

logN>0）

（4）反三角函数中arcsinx，arccosx的x满足：（--1≤x≤1）

（5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。

11、直线形式及直线位置关系：

（1）直线形式：点斜式：

00

xxkyy

斜截式：y=kx+b

两点式：12

1

12

1

xx

xx

yy

yy











（2）直线关系：

111

:bxkyl

222

:bxkyl

平行：若

21

//ll，则

21

kk

垂直：若

21

ll，则1

21

kk

常用公式表（二）

1、求导法则：（1）（u+v）

/

=u

/

+v

/

（2）（u-v）

/

=u

/

-v

/

（3）（cu）

/

=cu

/

（4）（uv）

/

=uv

/

+u

/

v（5）

2v

vuvu

v

u























2、基本求导公式：

（1）（c）

/

=0（2）（x

a

）

/

=ax

1a

（3）（a

x

）

/

=a

x

lna

（4）（e

x

）

/

=e

x

（5）（㏒ax）

/

=

axln

1

（6）（lnx）

/

=

x

1

（7）（sinx）

/

=cosx（8）（cosx）

/

=-sinx

（9）（tanx）

/

=

2)(cos

1

x

=（cx）

2

（10）（cotx）

/

=-

2)(sin

1

x

=-（cscx）

2

(11)(cx)

/

=cx*tanx(12)(cscx)

/

=-cscx*cotx

(13)(arcsinx)

/

=

21

1

x

(14)(arccosx)

/

=-

21

1

x

(15)(arctanx)

/

=

21

1

x

(16)

21

1

cot

x

xarc







3、微分

（1）函数的微分：dy=y

/

dx

（2）近似计算：|Δx|很小时，fxx

0

=f（x0）+f

/

（x0）*

x

4、基本积分公式

（1）



kdx=kx+c（2）

Cx

a

dxxaa



1

1

1

（3）

cxdx

x

ln

1

（4）

C

a

a

dxa

x

x

ln

（5）

cedxexx

（6）Cxxdxcossin

（7）Cxxdxsincos（8）

Cxdx

x

xdxtan

cos

1

c

2

2

（9）

cxdx

x

xdxcot

sin

1

csc

2

2

（10）





cxdx

x

arcsin

1

1

2

（11）

cxdx

x





arctan

1

1

2

5、定积分公式：

（1）

b

a

b

a

dttfdxxf)()(

（2）

a

a

dxxf0)(

（3）dxxfdxxf

a

b

b

a（4）

b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf)()()(

（5）若f（x）是[-a,a]的连续奇函数，则



a

a

dxxf0)(

（6）若f（x）是[-a,a]的连续偶函数，则

6、积分定理：

（1）xfdttf

x

a





















xaxafxbxbfdttfxb

xa





















2

（3）若F（x）是f（x）的一个原函数，则

)()()()(aFbFxFdxxfb

a

b

a



7.积分表

Cxxxdxtanclnc1Cxxxdxcotcsclncsc2

C

a

x

a

dx

xa





arctan

11

3

22

C

a

x

dx

xa





arcsin

1

4

22

C

ax

ax

a

dx

ax











ln

2

11

5

22

8．积分方法

baxxf1；设：tbax

222xaxf；设：taxsin

22axxf；设：taxc

22xaxf；设：taxtan

3分部积分法：vduuvudv