济南外国语学校三箭分校

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知

1

0

1

1

Mdx

x





，

2

0

cosNxdx



，由程序框图输出的S为（）

A

．

1B

．

0C

．

2



D

．ln2

2．已知向量a与向量4,6m平行，5,1b，且14ab，则a（）

A

．4,6

B

．4,6

C

．

213313

,

1313









D

．

213313

,

1313











3．已知函数

ln(1),0

()

1

1,0

2

xx

fx

xx

















，若

mn

,

且

()()fmfn

，则

nm

的取值范围为（）

A

．

[32ln2,2)

B

．

[32ln2,2]

C

．

[1,2)e

D

．

[1,2]e

4．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）

A

．2B

．22C

．23D

．1

5．如图，矩形

ABCD

中，1AB，2BC，

E

是

AD

的中点，将ABE△沿

BE

折起至ABE，记二面角ABED





的平面角为



，直线AE

与平面

BCDE

所成的角为



，AE

与

BC

所成的角为



，有如下两个命题：①对满足题意的

任意的A



的位置，



；②对满足题意的任意的A



的位置，



，则

()

A

．命题①和命题②都成立

B

．命题①和命题②都不成立

C

．命题①成立，命题②不成立

D

．命题①不成立，命题②成立

6．设

,mn

是两条不同的直线，

,

是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A

．若mn，//n，则mB

．若

//m

，



，则m

C

．若

m

，

n

，n，则mD

．若mn，

n

，



，则m

7．做抛掷一枚骰子的试验，当出现

1

点或

2

点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的

.

则在

3

次这样的试验

中成功次数

X

的期望为（）

A．B．C．1D．2

8．已知复数

1zi

，z为

z

的共轭复数，则

1z

z





（）

A

．

3

2

i

B

．

1

2

i

C

．

13

2

i

D

．

13

2

i

9．已知函数

()log(|2|)(0

a

fxxaa

，且1a)

，则

“

()fx

在

(3,)

上是单调函数

”

是

“01a”

的（）

A

．充分不必要条件

B

．必要不充分条件

C

．充分必要条件

D

．既不充分也不必要条件

10．设集合

A=

｛

4

，

5

，

7

，

9

｝，

B=

｛

3

，

4

，

7

，

8

，

9

｝，全集

U=A



B

，则集合中的元素共有（）

A

．

3

个

B

．

4

个

C

．

5

个

D

．

6

个

11．设

m

，

n

是两条不同的直线，



，



是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A

．若



，

m

，

n

，则mn

B

．若

//

，

m

，

n

，则//mn

C

．若mn，

m

，

n

，则



D

．若m，//mn，

//n

，则



12．我们熟悉的卡通形象

“

哆啦

A

梦

”

的长宽比为2:1.

在东方文化中通常称这个比例为

“

白银比例

”

，该比例在设计和

建筑领域有着广泛的应用

.

已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台

到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于

“

白银比例

”

，若两展望台间高度

差为

100

米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）

A

．

400

米

B

．

480

米

C

．

520

米

D

．

600

米

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数()xfxae与

()1gxx

的图象上存在关于

x

轴的对称点，则实数

a

的取值范围为

______.

14．已知P为椭圆

22

1

82

xy

上的一个动点，2,1A，2,1B

，设直线AP和BP分别与直线4x交于M，N

两点，若ABP与MNP的面积相等，则线段OP的长为

______.

15．在ABC中，CA0CB，BC2BA，则

BC

_________.

16．如果复数

z

满足1izi，那么

z

______

（i为虚数单位）

.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）2

*

11

2

n11

=1=,.

n2nnn

n

n

aaaanN

n







已知数列满足，

(Ⅰ)

证明：

22

n

na当时，*nN

；

(Ⅱ)

证明：112

1111

=2

122312nn

n

aaaa

nn





(*nN)

；

(Ⅲ)

证明：

43

1,

42n

aee为自然常数.

18．（12分）已知

n

a

是递增的等比数列，

1

1a，且

2

2a

、

3

3

2

a

、

4

a

成等差数列

.

（Ⅰ）求数列

n

a

的通项公式；

（Ⅱ）设

2123

1

loglogn

nn

b

aa







，nN，求数列

n

b

的前

n

项和

n

S

.

19．（12分）已知aR，函数2()ln(1)2fxxxax.

（

1

）若函数

()fx

在2,

上为减函数，求实数

a

的取值范围；

（

2

）求证：对

(1,)

上的任意两个实数

1

x

，

2

x

，总有

1212

1212

3333

fxxfxfx









成立

.

20．（12分）唐诗是中国文学的瑰宝

.

为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成

7

大类别，并从《全唐诗》

48900

多篇唐诗中随机抽取了

500

篇，统计了每个类别及各类别包含

“

花

”

、

“

山

”

、

“

帘

”

字的

篇数，得到下表：

爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计

篇数

118500

含

“

山

”

字的

篇数

54271

含

“

帘

”

字的

篇数

2120073538

含

“

花

”

字的

篇数

660

（

1

）根据上表判断，若从《全唐诗》含

“

山

”

字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类

别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；

（

2

）已知检索关键字的选取规则为：

①若有超过95%

的把握判断

“

某字

”

与

“

某类别

”

有关系，则

“

某字

”

为

“

某类别

”

的关键字；

②若“

某字

”

被选为

“

某类别

”

关键字，则由其对应列联表得到的2K的观测值越大，排名就越靠前；

设

“

山

”“

帘

”“

花

”

和

“

爱情婚姻

”

对应的2K观测值分别为

1

k，

2

k，

3

k

.

已知

1

0.516k

，

2

31.962k

，请完成下面列联

表，并从上述三个字中选出

“

爱情婚姻

”

类别的关键字并排名

.

属于

“

爱情婚姻

”

类不属于

“

爱情婚姻

”

类总计

含

“

花

”

字的篇数

不含

“

花

”

的篇数

总计

附：

2

2

()

()()()()

nadbc

K

abcdacbd







，其中nabcd.

2PKk

0.050.0250.010

k3.8415.0246.635

21．（12分）在ABC中，角A，

B

，C所对的边分别为

a

，b，

c

，已知3b，8c，角A为锐角，ABC的面

积为63.

（

1

）求角A的大小；

（

2

）求

a

的值

.

22．（10分）选修

4-4

：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系

xOy

中，已知曲线

C

的参数方程为

2cos

{

sin

x

y









（

α

为参数）．以直角坐标系原点

O

为极点，

x

轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，直线

l

的极坐标方程为

cos()22

4





，点

P

为曲线

C

上的动点，求点

P

到直线

l

距离的最大值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

D

【解析】

试题分析：

1

0

1

1

ln(1)|ln2

0

1

Mdxx

x





，

2

0

cossin|1

2

0

Nxdxx



，所以MN，所以由程序框图输出

的S为ln2.

故选

D

．

考点：

1

、程序框图；

2

、定积分．

2、

B

【解析】

设,axy，根据题意得出关于

x

、

y

的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a的坐标

.

【详解】

设,axy，且4,6m，5,1b，

由//am得

64xy

，即

32xy

，①，由514abxy，②，

所以

32

514

xy

xy











，解得

4

6

x

y











，因此，4,6a.

故选：

B.

【点睛】

本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题

.

3、

A

【解析】

分析：作出函数fx

的图象，利用消元法转化为关于

n

的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单

调性与最值，即可得到结论

.

详解：作出函数fx

的图象，如图所示，若

mn

，且()fmfn

，

则当

ln(1)1x

时，得1xe，即1xe，

则满足

01,20nem

，

则

1

ln(1)1

2

nm，即

ln(1)2mn

，则

22ln(1)nmnn

，

设22ln(1),01hnnnne

，则

21

1

11

n

hn

nn









，

当0hn





，解得11ne，当0hn





，解得01n，

当1n时，函数hn

取得最小值1122ln(11)32ln2h

，

当0n时，022ln12h

；

当1ne时，1122ln(11)12heeee

，

所以

32ln2()2hn

，即

nm

的取值范围是

[32ln2,2)

，故选

A.

点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解

答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于

中档试题

.

4、

C

【解析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为

AD

，算出长度

.

【详解】

几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为

23AD

故选：

C.

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题

.

5、

A

【解析】

作出二面角



的补角、线面角



、线线角



的补角，由此判断出两个命题的正确性

.

【详解】

①如图所示，过'A作'AO平面BCDE，垂足为O，连接OE，作OMBE，连接'AM

.

由图可知'AMO，''AEOAMO，所以



，所以①正确

.

②由于//BCDE，所以'AE与BC所成角''AEDAMO，所以



，所以②正确

.

综上所述，①②都正确

.

故选：

A

【点睛】

本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6、

C

【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果

.

【详解】

对于A，当

m

为



内与

n

垂直的直线时，不满足m，A错误；

对于

B

，设

l

，则当

m

为



内与l平行的直线时，

//m

，但

m

，

B

错误；

对于C，由

m

，

n

知：//mn，又n，m，C正确；

对于D，设

l

，则当

m

为



内与l平行的直线时，//m，D错误

.

故选：C.

【点睛】

本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础

题

.

7、

C

【解析】

每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.

【详解】

每一次成功的概率为，服从二项分布，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力

.

8、

C

【解析】

求出z，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数

.

【详解】

1213

12

zii

zi







.

故选：

C

【点睛】

本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题

.

9、

C

【解析】

先求出复合函数

()fx

在

(3,)

上是单调函数的充要条件，再看其和01a的包含关系，利用集合间包含关系与充

要条件之间的关系，判断正确答案

.

【详解】

()log(|2|)(0

a

fxxaa

，且1a)

，

由

20xa

得2xa或2xa，

即

()fx

的定义域为

{2xxa

或

2}xa

，（

0,a

且1a）

令

2txa

，其在

(,2)a

单调递减，

(2,)a

单调递增，

()fx

在

(3,)

上是单调函数，其充要条件为

23

0

1

a

a

a

















即01a.

故选：

C.

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题

.

10、

A

【解析】

试题分析：3,4,5,7,8,9UAB

,4,7,9AB

,

所以()3,5,8

U

CAB

，即集合

()

U

CAB

中共有

3

个

元素，故选

A

．

考点：集合的运算．

11、

D

【解析】

试题分析：m，

,n

,

故选

D.

考点：点线面的位置关系

.

12、

B

【解析】

根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实

际高度

.

【详解】

设第一展望台到塔底的高度为

x

米，塔的实际高度为

y

米，几何关系如下图所示：

由题意可得

100

2

x

x





，解得10021x

；

且满足

2

100

y

x





，

故解得塔高1yx

米，即塔高约为

480

米

.

故选：

B

【点睛】

本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题

.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1a

【解析】

先求得与gx

关于

x

轴对称的函数

()1hxx

，将问题转化为

()exfxa

与

()1hxx

的图象有交点，即方程

e1xax有解

.

对

a

分成

0,0,0aaa

三种情况进行分类讨论，由此求得实数

a

的取值范围

.

【详解】

因为

()1gxx

关于

x

轴对称的函数为

()1hxx

，因为函数

()exfxa

与

()1gxx

的图象上存在关于

x

轴的

对称点，所以

()exfxa

与

()1hxx

的图象有交点，方程e1xax有解

.

0a时符合题意

.

0a时转化为

1

e(1)xx

a



有解，即

exy

，

1

(1)yx

a



的图象有交点，

1

(1)yx

a



是过定点

(1,0)

的直线，其

斜率为

1

a

，若

0a

，则函数

exy

与

1

(1)yx

a

的图象必有交点，满足题意；若0a，设

exy

，

1

(1)yx

a

相

切时，切点的坐标为,emm

，则

e1

1

1

e

m

m

ma

a





















，解得

1a

，切线斜率为

1

1

a



，由图可知，当

1

1

a

，即01a时，

exy

，

1

(1)yx

a

的图象有交点，此时，2()exfxax与2()1hxxx的图象有交点，函数2()exfxax

与2()1gxxx的图象上存在关于

x

轴的对称点，综上可得，实数

a

的取值范围为1a.

故答案为：1a

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，

推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识

.

14、

107

4

【解析】

先设P点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出

来，从而可求得点P的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得

OP

．

【详解】

如图，设

00

(,)Pxy

，

0

2222x，

0

2x

，

由

ABPMNP

SS





，得

11

sinsin

22

PAPBAPBMPNPMPN

，

由sinsin0APBMPN得

PAPN

PMPB



，∴

00

00

24

42

xx

xx







，解得

0

5

2

x

，

又P在椭圆上，∴

22

001

82

xy

，2

0

7

16

y

，

∴222

00

57107

()

2164

OPxy．

故答案为：

107

4

．

【点睛】

本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点

的横坐标表示．

15、2

【解析】

先由题意得：CACB，再利用向量数量积的几何意义得

2BCBABC，可得结果

.

【详解】

由0CACB知：CACB，则BA在BC方向的投影为BC，

由向量数量积的几何意义得：

2cos2BCBAABBCABCBC，∴

2BC

故答案为2

【点睛】

本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题

.

16、2

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解

.

【详解】

∵1izi，

∴



2

1

1

1

ii

i

zi

ii









，

∴2z，

故答案为：2.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题

.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、

(Ⅰ)

见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】

1

运用数学归纳法证明即可得到结果

2

化简

2

1

2

11

2nn

n

nn

aa

nn







，运用累加法得出结果

3

运用放缩法和累加法进行求证

【详解】

（Ⅰ）数学归纳法证明时，

①当

时，成立；

②当

时，假设成立，则时

所以时，成立

综上①②可知，时，

（Ⅱ）由

得

所以；；

故，又

所以

(Ⅲ)

由累加法得：

所以故

【点睛】

本题考查了数列的综合，运用数学归纳法证明不等式的成立，结合已知条件进行化简求出化简后的结果，利用放缩法

求出不等式，然后两边同时取对数再进行证明，本题较为困难。

18、（Ⅰ）12n

n

a

；（Ⅱ）

323

4212n

n

S

nn







.

【解析】

（Ⅰ）设等比数列

n

a

的公比为

q

，根据题中条件求出

q

的值，结合等比数列的通项公式可得出数列

n

a

的通项公式；

（Ⅱ）求得

111

22n

b

nn













，然后利用裂项相消法可求得

n

S

.

【详解】

（Ⅰ）设数列

n

a

的公比为

q

，由题意及

1

1a，知

1q

.

2

2a、

3

3

2

a

、

4

a

成等差数列成等差数列，

342

32aaa，2332qqq，

即2320qq，解得

2q

或

1q

（舍去），

2q

.



数列

n

a

的通项公式为11

1

2nn

n

aaq

；

（Ⅱ）

2123

11111

loglog222n

nn

b

aannnn













，

1111111111

1

232435112n

S

nnnn



















1311323

221244212

3111

212n

n

nnnnn





























.

【点睛】

本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题

.

19、（

1

）

11

,

3











（

2

）见解析

【解析】

（

1

）求出函数的导函数，依题意可得()0fx在2,x

上恒成立，参变分离得

1

2

1

ax

x





在2,x

上

恒成立

.

设

1

()2

1

hxx

x





，求出

min

()hx

即可得到参数的取值范围；

（

2

）不妨设

12

1xx

，

22

1212

()()

3333

Fxfxxfxfx









，

2

1,xx

，

利用导数说明函数

()Fx

在

2

1,xx

上是减函数，即可得证；

【详解】

解：（

1

）∵2()ln(1)2fxxxax

∴

1

()2

1

fxxa

x





，且函数

()fx

在2,

上为减函数，即()0fx在2,x

上恒成立，

∴

1

2

1

ax

x





在2,x

上恒成立

.

设

1

()2

1

hxx

x





，

∵函数

()hx

在2,

上单调递增，∴

min

111

()(2)4

33

hxh

，

∴

11

3

a

，∴实数

a

的取值范围为

11

,

3











.

（

2

）不妨设

12

1xx，

22

1212

()()

3333

Fxfxxfxfx









，

2

1,xx

，

则

222

0Fxfxfx

，

∴

2

1121

()()

3333

Fxfxxfx









2

112

()

333

fxxfx

















.

∵

222

12222

0

33333

xxxxxxx

，∴

2

12

33

xxx

，

又

1

()2

1

fxxa

x





，令

()()gxfx





，∴

2

1

()20

(1)

gx

x





，

∴()fx在

(1,)x

上为减函数，∴

2

12

()

33

fxxfx











，

∴

2

112

()0

333

fxxfx

















，即()0Fx，

∴

()Fx

在

2

1,xx

上是减函数，∴

2

()0FxFx

，即

()0Fx

，

∴

22

1212

()0

3333

fxxfxfx









，

∴当

2

1,xx

时，

22

1212

()

3333

fxxfxfx









.

∵

12

1xx

，∴

1212

1212

3333

fxxfxfx









.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20、（

1

）该唐诗属于

“

山水田园

”

类别的可能性最大，属于

“

其他

”

类别的可能性最小；属于

“

山水田园

”

类别的概率约为

69

271

；属于

“

其他

”

类别的概率约为

4

271

（

2

）填表见解析；选择

“

花

”

，

“

帘

”

作为

“

爱情婚姻

”

类别的关键字，且排序为

“

花

”

，

“

帘

”

【解析】

（

1

）根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；

（

2

）根据统计图表完成列联表，算出2K观测值，查表判断

.

【详解】

（

1

）由上表可知，

该唐诗属于

“

山水田园

”

类别的可能性最大，属于

“

其他

”

类别的可能性最小

属于

“

山水田园

”

类别的概率约为

69

271

；属于

“

其他

”

类别的概率约为

4

271

；

（

2

）列联表如下：

属于

“

爱情婚姻

”

类不属于

“

爱情婚姻

”

类共计

含

“

花

”

的篇数

60100160

不含

“

花

”

的篇数

40300340

共计

100400500

计算得：

2

3

50014000

45.037

1

k







；

因为

23

,3.841kk

，

1

3.841k

，所以有超过

95%

的把握判断

“

花

”

字和

“

帘

”

字均与

“

爱情婚姻

”

有关系，故

“

花

”

和

“

帘

”

是

“

爱情婚姻

”

的关键字，而

“

山

”

不是；

又因为

23

kk

，故选择

“

花

”

，

“

帘

”

作为

“

爱情婚姻

”

类别的关键字，且排序为

“

花

”

，

“

帘

”.

【点睛】

本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点

.

考查了学生对统计图表的识读与

计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养

.

21、（

1

）

3



；（

2

）

7.

【解析】

分析：（

1

）由三角形面积公式和已知条件求得

sinA

的值，进而求得

A

；（

2

）利用余弦定理公式和（

1

）中求得的

A

求

得

a

．

详解：（

1

）∵

1

sin

2ABC

SbcA





1

38sin63

2

A

，

∴

3

sin

2

A，

∵A为锐角，

∴

3

A





；

（

2

）由余弦定理得：

222cosabcbcA

1

9642387

2

.

点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题

.

对余弦定理一定要熟记

两种形式：（

1

）2222cosabcbcA；（

2

）

222

cos

2

bca

A

bc



，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件

.

另外，

在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用

.

22、（

1

）

2

21

4

x

y，

4xy

（

2

）

max

10

22

2

d

【解析】

试题分析：利用

cos,sinxy

将极坐标方程化为直角坐标方程：

cos()22

4



化简为

ρcosθ

＋

ρsinθ

＝

1

，即为

x

＋

y

＝

1

．再利用点到直线距离公式得：设点

P

的坐标为（

2cosα

，

sinα

），得

P

到直线

l

的距离

2cossin4

10

22

2

2

d





试题解析：解：

cos()22

4





化简为

ρcosθ

＋

ρsinθ

＝

1

，

则直线

l

的直角坐标方程为

x

＋

y

＝

1

．

设点

P

的坐标为（

2cosα

，

sinα

），得

P

到直线

l

的距离

2cossin4

10

22

2

2

d



，

d

max＝

10

22

2

．

考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式