2021高考数学真题卷

-1-

2017

年普通高等学校招生全国统一考试（全国）

理科数学

（试题及答案解析）

一、选择题：（本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分）

1

．已知集合22(,)1Axyxy

，(,)Bxyyx

，则

AB

中元素的个数为（）

A

．

3B

．

2C

．

1D

．

0

【答案】

B

【解析】A表示圆221xy

上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，

故

AB

表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为

2

，即

AB

元素的个数为

2

，

故选

B.

2

．设复数

z

满足

(1i)2iz

，则

z

（）

A

．

1

2

B

．

2

2

C

．

2

D

．

2

【答案】

C

【解析】由题，





2i1i

2i2i2

i1

1i1i1i2

z









，则22112z，故选

C.

3

．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了

2014

年

1

月至

2016

年

12

月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

-2-

2014

年

2015

年

2016

年

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A

．月接待游客量逐月增加

B

．年接待游客量逐年增加

C

．各年的月接待游客量高峰期大致在

7

，

8

月

D

．各年

1

月至

6

月的月接待游客量相对于

7

月至

12

月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】

A

【解析】由题图可知，

2014

年

8

月到

9

月的月接待游客量在减少，则

A

选项错误，故选

A.

4

．5()(2)xyxy

的展开式中33xy

的系数为（）

A

．B

．C

．

40D

．

80

【答案】

C

【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33xy

的项为

2332

2333

55

C2C240xxyyxyxy

，则33xy

的系数为

40

，故选

C.

5

．已知双曲线

22

22

1

xy

C

ab

：

（0a，0b）的一条渐近线方程为

5

2

yx

，且与椭圆

22

1

123

xy



有公共焦点．则

C

的方程为（）

A

．

22

1

810

xy

B

．

22

1

45

xy

C

．

22

1

54

xy

D

．

22

1

43

xy



【答案】

B

【解析】

∵

双曲线的一条渐近线方程为

5

2

yx，则

5

2

b

a



①

又

∵

椭圆22

1

123

xy



与双曲线有公共焦点，易知

3c

，则2229abc

②

由

①②

解得

2,5ab

，则双曲线

C

的方程为

22

1

45

xy



，故选

B.

-3-

6

．设函数

π

()cos()

3

fxx

，则下列结论错误的是（）

A

．

()fx

的一个周期为2π

B

．

()yfx

的图像关于直线

8π

3

x

对称

C

．

()fx

的一个零点为

π

6

x

D

．

()fx

在

π

(,π)

2

单调递减

【答案】

D

【解析】函数π

cos

3

fxx









的图象可由cosyx向左平移

π

3

个单位得到，

如图可知，

fx

在

π

,π

2







上先递减后递增，

D

选项错误，故选

D.









-





6



x

y

O

7

．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于

91

，则输入的正整数N的最小值为（）

A

．

5

B

．

4

C

．

3

D

．

2

【答案】

D

【解析】程序运行过程如下表所示：

SM

初始状态

01001

第

1

次循环结束

100

10

2

第

2

次循环结束

9013

此时

9091S

首次满足条件，程序需在

3t

时跳出循环，即

2N

为满足条件的最小值，故选

D.

8

．已知圆柱的高为

1

，它的两个底面的圆周在直径为

2

的同一个球的球面上，则该圆柱的体积

为（）

A

．

π

B

．

3π

4

C

．

π

２

D

．

π

4

【答案】

B

【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2

2

13

1

22

r









，

则圆柱体体积2

3π

π

4

Vrh

，故选

B.

-4-

9

．等差数列

n

a

的首项为

1

，公差不为

0

．若

2

a

，

3

a

，

6

a

成等比数列，则

n

a

前

6

项的和为

（）

A

．24

B

．3

C

．

3D

．

8

【答案】

A

【解析】

∵n

a为等差数列，且

236

,,aaa成等比数列，设公差为

.

则2

326

aaa

，即2

111

25adadad

又

∵

1

1a，代入上式可得220dd

又

∵0d

，则

2d

∴

61

6565

616224

22

Sad





，故选

A.

10

．已知椭圆

22

22

:1

xy

C

ab



（0ab）的左、右顶点分别为

1

A

，

2

A

，且以线段

1

A

2

A

为直径

的圆与直线

20bxayab

相切，则C的离心率为（）

A

．

6

3

B

．

3

3

C

．

2

３

D

．

1

3

【答案】

A

【解析】

∵

以

12

AA为直径为圆与直线20bxayab相切，∴圆心到直线距离等于半径，

∴

22

2ab

da

ab





又

∵

0,0ab

，则上式可化简为223ab

∵222bac

，可得2223aac

，即

2

2

2

3

c

a



∴

6

3

c

e

a

，故选

A

11

．已知函数211()2(ee)xxfxxxa

有唯一零点，则

a

（）

A

．

1



２

B

．

1

3

C

．

1

2

D

．

1

【答案】

C

【解析】由条件，211()2(ee)xxfxxxa

，得：

221(2)1

211

211

(2)(2)2(2)(ee)

4442(ee)

2(ee)

xx

xx

xx

fxxxa

xxxa

xxa













∴

(2)()fxfx，即

1x

为()fx的对称轴，

由题意，()fx有唯一零点，

-5-

∴

()fx的零点只能为

1x

，

即21111(1)121(ee)0fa

，

解得

1

2

a

．

12

．在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若

APABAD，则



的最大值为（）

A

．

3B

．

22

C

．

5

D

．

2

【答案】

A

【解析】由题意，画出右图

．

设BD与

C

切于点E，连接

CE．

以A为原点，AD为轴正半轴，

AB为轴正半轴建立直角坐标系，

则

C

点坐标为(2,1)

．

∵

||1CD，||2BC

．

∴22125BD

．

∵BD切

C

于点E．

∴CE⊥BD．

∴

CE

是

RtBCD△

中斜边BD上的高

．

1

2||||

2

22

2

||5

||||5

5

BCD

BCCD

S

EC

BDBD



△

即

C

的半径为

2

5

5

．

∵

P在C上．

∴

P点的轨迹方程为

22

4

(2)(1)

5

xy

．

设P点坐标00

(,)xy，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：

0

0

2

25cos

5

2

15sin

5

x

y























而

00

(,)APxy，(0,1)AB，(2,0)AD．

∵(0,1)(2,0)(2,)APABAD

∴

0

15

1cos

25

x

，

0

2

15sin

5

y

．

两式相加得：

22

25

15sin1cos

55

255

2()()sin()

55

2sin()3











≤

()AO

D

x

y

B

P

C

E

-6-

(

其中

5

sin

5



，

25

cos

5



)

当且仅当

π

2π

2

k

，

kZ时，取得最大值

3

．

二、填空题：（本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分）

13

．若

x

，

y

满足约束条件

0,

20,

0,















xy

xy

y

≥

≤

≥

则

34zxy

的最小值为

________

．

【答案】1

【解析】由题，画出可行域如图：

目标函数为34zxy，则直线

3

44

z

yx

纵截距越大，值越小．

由图可知：在

1,1A

处取最小值，故

min

31411z．

A

B

(1,1)

(2,0)

0xy

20xy

y

x

14

．设等比数列

n

a

满足

12

1aa

，

13

3aa

，则

4

a________

．

【答案】

8

【解析】

n

a为等比数列，设公比为．

12

13

1

3

aa

aa











，即11

2

11

1

3

aaq

aaq















①

②

，

显然1q，

1

0a，

②

①

得13q，即2q，代入

①

式可得

1

1a，

3

3

41

128aaq

．

15

．设函数

1,0,

()

2,0,











x

xx

fx

x

≤

则满足

1

()()1

2

fxfx

的

x

的取值范围是

________

．

【答案】

1

,

4









【解析】1,0

2,0











x

xx

fx

x

≤

，

1

1

2

fxfx









，即

1

1

2

fxfx









由图象变换可画出

1

2

yfx









与

1yfx

的图象如下：

-7-

1

2



1

2

11

(,)

44



1

()

2

yfx

1()yfx

y

x

由图可知，满足

1

1

2

fxfx









的解为

1

,

4









.

16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形

ABC

的直角边

AC

所在直线与

，都垂直，斜边AB以直线

AC

为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与成60角时，AB与成30角；

②当直线AB与成60角时，AB与成60角；

③直线AB与所成角的最小值为45；

④直线AB与所成角的最大值为60．

【答案】

②③

【解析】由题意知，abAC、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图

．

不妨设图中所示正方体边长为

1

，

故||1AC，2AB，

斜边AB以直线

AC

为旋转轴旋转，则A点保持不变，

B点的运动轨迹是以

C

为圆心，

1

为半径的圆

．

以

C

为坐标原点，以CD为轴正方向，CB为轴正方向

，

CA

为轴正方向建立空间直角坐标系

．

则(1,0,0)D，(0,0,1)A，

直线的方向单位向量(0,1,0)a，||1a．

B点起始坐标为

(0,1,0)，

直线的方向单位向量(1,0,0)b，

||1b

．

设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，

其中为

BC



与

CD

的夹角，[0,2π)

．

那么'AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)AB

，||2AB



．

设

AB



与所成夹角为

π

[0,]

2



，

则

(cos,sin,1)(0,1,0)

22

cos|sin|[0,]

22

aAB











．

故

ππ

[,]

42



，所以

③

正确，

④

错误

．

设

AB



与所成夹角为

π

[0,]

2



，

-8-

cos

(cos,sin,1)(1,0,0)

2

|cos|

2

ABb

bAB

bAB























.

当

AB



与夹角为

60

时，即

π

3



，

12

sin2cos2cos2

322





．

∵22cossin1

，

∴

2

|cos|

2



．

∴

21

cos|cos|

22



．

∵

π

[0,]

2



．

∴

π

=

3



，此时

AB



与夹角为

60

．

∴②

正确，

①

错误

．

三、解答题：（共

70

分．第

17-20

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第

22

，

23

题为选考

题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共

60

分．

17

．（

12

分）

ABC的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，已知

sin3cos0AA

，

27a

，2b．

（

1

）求

c

；

（

2

）设D为

BC

边上一点，且ADAC，求ABD△的面积．

【解析】

（

1

）

由

sin3cos0AA

得

π

2sin0

3

A









，

即π

π

3

AkkZ

，又

0,πA，

∴

π

π

3

A

，得

2π

3

A

.

由余弦定理2222cosabcbcA

.

又∵

1

27,2,cos

2

abA

代入并整理得

2125c

，故

4c.

（

2

）

∵

2,27,4ACBCAB

，

由余弦定理22227

cos

27

abc

C

ab





.

∵ACAD

，即

ACD△

为直角三角形，

则

cosACCDC

，得

7CD.

由勾股定理223ADCDAC

.

-9-

又

2π

3

A

，则

2πππ

326

DAB

，

1π

sin3

26ABD

SADAB

△

.

18

．（

12

分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶

4

元，售价每瓶

6

元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶

2

元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，

每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于

25

，需求量为

500

瓶；

如果最高气温位于区间

2025，

，需求量为

300

瓶；如果最高气温低于

20

，需求量为

200

瓶，

为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数

分布表：

最高气温1015，1520，2025，2530，3035，3540，

天数

216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（

1

）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（

2

）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进

货量（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【解析】

⑴

易知需求量可取

200,300,500



2161

200

3035

PX









362

300

3035

PX





25742

500

3035

PX







.

则分布列为：

X200300500

P

2

5

2

5

⑵①

当

200n≤

时：

642Ynn，此时

max

400Y，当

200n

时取到

.

②

当

200300n≤

时：

41

220022002

55

Ynn





880026800

555

nn

n





此时

max

520Y，当

300n

时取到

.

③

当

300500n≤

时，



122

20022

555

Ynnn





32002

5

n



此时

520Y.

④

当

500n≥

时，易知一定小于

③

的情况

.

综上所述：当

300n

时，取到最大值为

520.

19

．（

12

分）如图，四面体

ABCD

中，

△ABC

是正

三角形，

△ACD

是直角三角

D

A

B

C

E

-10-

形．ABDCBD，ABBD．

（

1

）证明：平面ACD平面ABC；

（

2

）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分．求

二面角DAEC的余弦值．

【解析】

⑴

取

AC

中点为

O

，连接

BO

，

DO

；

ABC

为等边三角形

∴BOAC

∴

ABBC

ABBC

BDBD

ABDDBC

















ABDCBD

.

∴

ADCD

,

即

ACD

为等腰直角三角形，

ADC

为直角又

O

为底边

AC

中点

∴

DOAC

令ABa，则ABACBCBDa

易得：

2

2

ODa

，

3

2

OBa

∴222ODOBBD

由勾股定理的逆定理可得

2

DOB





即

ODOB

ODAC

ODOB

ACOBO

ACABC

OBABC





























平面

平面

ODABC平面

又∵

ODADC平面

由面面垂直的判定定理可得

ADCABC平面平面

⑵

由题意可知

VV

DACEBACE



即B

,

D到平面

ACE

的距离相等

即E为BD中点

以

O

为原点，

OA

为轴正方向，

OB

为轴正方向，

OD

为轴正方向，设

ACa，建立空间直角坐标系，

则

0,0,0O

，,0,0

2

a

A







，0,0,

2

a

D







，

3

0,,0

2

Ba









，

3

0,,

44

a

Ea









易得：

3

,,

244

aa

AEa











，,0,

22

aa

AD









，,0,0

2

a

OA









设平面AED的法向量为

1

n

，平面

AEC

的法向量为

2

n

，

D

A

B

C

E

O

D

A

B

C

E

y

x

O

z

-11-

则1

1

0

0

AEn

ADn















，解得1

3,1,3n

2

2

0

0

AEn

OAn















，解得2

0,1,3n

若二面角

DAEC

为，易知为锐角，

则12

12

7

cos

7

nn

nn









20

．（

12

分）已知抛物线2:2Cyx

，过点（

2

，

0

）的直线交C于A，B两点，圆M是以线

段AB为直径的圆．

（

1

）证明：坐标原点O在圆M上；

（

2

）设圆M过点P（

4

，2），求直线与圆M的方程．

【解析】

⑴

显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．

设:2lxmy，

11

(,)Axy，

22

(,)Bxy，

联立：22

2

yx

xmy











得2240ymy

，

2416m

恒大于，

12

2yym，

12

4yy．

1212

OAOBxxyy

12

(2)(2)mymy

2

1212

(1)2()4myymyy

24(1)2(2)4mmm

0

∴

OAOB

，即

O

在圆M上．

⑵

若圆M过点P，则

0APBP

1212

(4)(4)(2)(2)0xxyy

1212

(2)(2)(2)(2)0mymyyy

2

1212

(1)(22)()80myymyy

化简得2210mm

解得

1

2

m

或

①当

1

2

m

时，

:240lxy圆心为

00

(,)Qxy，

12

0

1

22

yy

y





，

00

19

2

24

xy

，

半径2291

||

42

rOQ









则圆22

9185

:()()

4216

Mxy

②当

1m

时，:20lxy圆心为

00

(,)Qxy，

12

0

1

2

yy

y





，

00

23xy，

半径22||31rOQ

则圆22:(3)(1)10Mxy

-12-

21

．（

12

分）已知函数

()1lnfxxax

．

（

1

）若

()0fx≥

，求的值；

（

2

）设

m

为整数，且对于任意正整数，

2

111

(1)(1)(1)

222n

m

，求

m

的最小值．

【解析】

⑴()1lnfxxax，0x

则

()1

axa

fx

xx







，且

(1)0f

当0a≤时，0fx



，fx在0，上单调增，所以01x时，0fx，

不满足题意；

当0a时，

当0xa时，

()0fx





，则

()fx

在

(0,)a

上单调递减；

当

xa

时，

()0fx





，则

()fx

在

(,)a

上单调递增．

①若

1a

，

()fx

在

(,1)a

上单调递增∴当

(,1)xa

时

()(1)0fxf

矛盾

②若

1a

，

()fx

在

(1,)a

上单调递减∴当

(1,)xa

时

()(1)0fxf

矛盾

③若

1a

，

()fx

在

(0,1)

上单调递减，在

(1,)

上单调递增∴

()(1)0fxf≥

满足

题意

综上所述

1a

．

⑵

当

1a

时

()1ln0fxxx≥即

ln1xx≤

则有

ln(1)xx≤

当且仅当

0x

时等号成立

∴

11

ln(1)

22kk



，*kN

一方面：

22

1111111

ln(1)ln(1)...ln(1)...11

2222222nnn



，

即

2

111

(1)(1)...(1)e

222n



．

另一方面：

223

111111135

(1)(1)...(1)(1)(1)(1)2

22222264n



当

3n≥

时，

2

111

(1)(1)...(1)(2,e)

222n



∵*mN

，

2

111

(1)(1)...(1)

222n

m

，

∴m的最小值为．

22

．选修

4-4

：坐标系与参数方程

]

（

10

分）

在直角坐标系

xOy

中，直线的参数方程为

,

,

xt

ykt











（

t

为参数），直线

l



的参数方程为

,

,

xm

m

y

k















（

m

为参数），设与

l



的交点为

P

，当

k

变化时，

P

的轨迹为曲线

C

．

（

1

）写出

C

的普通方程：

（

2

）以坐标原点为极点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，设

:(cossin)l





，

M

为与

C

的交点，求

M

的极径．

【解析】

⑴

将参数方程转化为一般方程



1

:2lykx

……

①

-13-



2

1

:2lyx

k



……

②

①②

消可得：224xy

即P的轨迹方程为224xy

；

⑵

将参数方程转化为一般方程

3

:20lxy

……

③

联立曲线

C

和

22

20

4

xy

xy















解得

32

2

2

2

x

y



















由

cos

sin

x

y















解得

5

即M的极半径是

5

．

23

．选修

4-5

：不等式选讲

]

（

10

分）

已知函数

()||||fxxx

．

（

1

）求不等式

()fx

的解集；

（

2

）若不等式

()fxxxm

的解集非空，求

m

的取值范围．

【解析】

⑴|1||2|fxxx

可等价为



3,1

21,12

3,2















x

fxxx

x

≤

≥

.

由

1fx≥可得：

①

当

1x≤

时显然不满足题意；

②

当

12x

时，

211x≥

，解得

1x≥

；

③当2x≥时，

31fx≥

恒成立

.

综上，

1fx

的解集为

|1xx≥

.

⑵

不等式

2fxxxm≥等价为2fxxxm≥，

令2gxfxxx，则

gxm≥

解集非空只需要



max





gxm≥

.

而

2

2

2

3,1

31,12

3,2

















xxx

gxxxx

xxx

≤

≥

.

①

当

1x≤

时，



max

13115gxg





；

②

当

12x

时，2

max

3335

31

2224

gxg













；

③

当

2x≥

时，

2

max

22231gxg





.

综上，

max

5

4

gx





，故

5

4

m

.