2017年安徽高考

2017年安徽高考数学基础训练试题（五）

(时量:120分钟150分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．在平行六面体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，设

11

23ACxAByBCzCC，则x＋y＋z等于

A．1B．

2

3

C．

5

6

D．

11

6

2．设a＝(x，4，3)，b＝(3，2，z)，且a∥b，则xz的值为

A．9B．－9C．4D．

64

9

3．已知A（1，2，－1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则BC

A．（0，4，2）B．（0，－4，－2）C．（0，4，0）D．（2，0，－2）

4．如图，在四面体O—ABC中，是M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN

A．

121

232

OAOBOCB．

112

223

OAOBOC

C．

211

322

OAOBOCD．

221

332

OAOBOC

5．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于

A．－1B．－3C．－5D．－15

6．设空间四点O，A，B，P，满足,OPOAtAB其中0

A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的延长线上

C．点P在线段BA的延长线上D．点P不一定在直线AB上

7．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k等于

A．1B．

1

5

C．

3

5

D．

7

5

8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0,0,0,ABACACADABAD则

B、C、D三点构成

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定

9．若向量,,MAMBMC的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关

系（O为空间任一点），则能使向量

,,MAMBMC

成为空间一组基底的关系是

A．

111

333

OMOAOBOCB．MAMBMC

C．

12

33

OMOAOBOCD．2MAMBMC

10．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，且sinα≠cosα，则向量a＋b与a－b的

夹角是

A．0°B．30°C．60°D．90°

答题卡

题号

答案

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．

11．已知a＝（2，－1，2），b＝（2，2，1），则以a，b为邻边的平行四边形的面积为．

12．与向量a＝（2，－1，2）共线，且满足方程a·x＝－18的向量x＝．

13．若点A、B的坐标为A（3cosα，3sinα，1）、B（2cosθ，2sinθ，1）则||AB取值范围．

14．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若OAOBOCOG，

则λ＝．

15．已知a＝(a

1

，a

2

，a

3

)，b＝(b

1

，b

2

，b

3

)，且|a|＝5，|b|＝6，a·b＝30，则123

123

aaa

bbb







．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本题满分l2分)

已知a＝（1，1，0），b＝（1，1，1），若b＝b

1

＋b

2

，且b

1

∥a，b

2

⊥a，试求b

1

，b

2

．

17．（本题满分12分）

如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为

31

(,,0)

22

，点D在平面yoz上，

且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．

⑴求向量CD的坐标；

⑵求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

18．（本题满分14分）

已知a，b是非零的空间向量，t是实数，设u＝a＋tb．

⑴当|u|取得最小值时，求实数t的值；

⑵当|u|取得最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．

19．（本题满分14分）

如图，已知四面体O—ABC中，E、F分别为AB，OC上的点，且AE＝

1

3

AB，F为中点，

若AB＝3，BC＝1，BO＝2，且∠ABC＝90°，∠OBA＝∠OBC＝60°，求异面直线OE

与BF所成角的余弦值．

20．(本题满分14分)

已知正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且|PQ|＝2，

建立如图所示的直角坐标系．

⑴确定P，Q的位置，使得B

1

Q⊥D

1

P；

⑵当B

1

Q⊥D

1

P时，求二面角C

1

—PQ—C的正切值．

21．(本题满分14分)

如图，正三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB

1

上一点，

且A

1

P⊥B

1

M．

⑴试求A

1

P与平面APC所成角的正弦；

⑵求点A

1

到平面APC的距离．

参考答案

一、选择题

题号

答案DABCDADBCD

二、填空题

11．6512．（－4，2，－4）13．[1，5]14．315．

5

6

三、解答题

16．解：∵b

1

∥a，∴令b

1

＝(λ，λ，0)，b

2

＝b－b

1

＝(1－λ，1－λ，1)，

又∵b

2

⊥a，∴a·b

2

＝(1，1，0)·(1－λ，1－λ，1)＝1－λ＋1－λ＝2－2λ＝0，

∴λ＝1，即b

1

＝(1，1，0)，b

2

＝(0，0，1)．

17．解：⑴过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD·sin30°＝

3

2

，OE＝OB－BDcos60°＝1－

1

2

＝

1

2

，

∴D的坐标为（0，－

1

2

，

3

2

），又∵C（0，1，0），∴

33

(0,,)

22

CD

⑵依题设有A点坐标为A

31

(,,0)

22

，∴

33

(,1,),(0,2,0)

22

ADBC

则

10

cos,

5

||||

ADBC

ADBC

ADBC







．故异面直线AD与BC所成角的余弦值为

10

5

．

18．解：⑴∵

2

22222222

22

()

||||||2()||||()||

||||

abab

uatbaabttbbta

bb



，

∴当t＝

2||

ab

b



时，|u|＝|a＋tb|最小．

⑵∵22

2

()||||()0()

||

ab

batbabtbabbbatb

b



．

19．解：∵

12

(),

23

BFBOBCOEBABO，

∴222

117

||(||||2)(412||||cos60),

444

BFBOBCBOBCBOBC

222

744

||;||||||4444,||2.

293

BFOEBABOBABOOE

又2

12213

(||)(241)

23322

BFOEBABOBOBCBABCBO，

∴

337

cos,

14

||||

27

BFOE

BFOE

BFOE



，

故异面直线OE与BF所成的角的余弦值为

37

14

．

20．解：⑴设BP＝t，则222(2),22(2),CQtDQt

∴B

1

（2，0，2），D

1

（0，2，2），P（2，t，0），

Q22

11

(22(2),2,0).(2(2),2,2),(2,2,2)tQBtPDt

又∵

1111

0BQDPQBPD，

∴2222(2)2(2)220,2(2)tttt即

解得t＝1，即P、Q分别为中点时，B

1

Q⊥D

1

P．

⑵由⑴知PQ∥BD，且AC⊥PQ，设AC∩PQ＝E，连C

1

E，∵CC

1

⊥底面BD，CE⊥PQ，

∴C

1

E⊥PQ，即∠CEC

1

为所求二面角O—PQ—C

1

的平面角，易得

1

tan22CEC．

21．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A

1

（2，0，0），

B

1

(1,3,0),(1,3,)Pz，

13

(,,2),(0,0,2),(2,0,2)

22

MCA

由A

1

P⊥B

1

M知

11

0APBM

∴

13131

(1,3,)(,,2)20,,

22222

zzz

即点P的坐标为P

1

(1,3,)

2

．

⑴设平面APC的法向量为n＝(x，y，z)，由

20,

0,

3

(0,,).

3

2

30,

0,

2

x

nCA

nzz

xyz

nCP



























即

取z＝－1，则有n＝

3

(0,,1)

2

，方向指向平面APC的左下方，又

1

1

(1,3,)

2

PA，

1

1

1

88119

cos,

119

||

177

PAn

PAn

PAn









．

设直线A

1

P与平面APC所成角为α，则

8119

sin

119

．

⑵

1

117

||13

42

AP

，设A

1

到平面PAC的距离为d，则

1

178447

||sin

27

1777

dAP



．