1
广东省实验中学
2020-2021
学年高一（上）期末考试
数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1
．设集合
A
＝
{x|1≤x+1
＜
5}
，
B
＝
{x|x≤2}
，则
A∩
（∁RB
）＝（）
A
．
{x|0≤x
＜
4}B
．
{x|0≤x≤2}C
．
{x|2
＜
x
＜
4}D
．
{x|x
＜
4}
2
．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）
A
．
y
＝
|x|
，
u
＝
B
．
y
＝，
s
＝（）2
C
．
D
．
3
．已知
a
＝
log3，
b
＝
ln3
，
c
＝
2﹣0.99，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（）
A
．
b
＞
a
＞
cB
．
a
＞
b
＞
cC
．
c
＞
a
＞
bD
．
b
＞
c
＞
a
4
．在△
ABC
中，
“”
是
“”
的（）
A
．充分必要条件
B
．充分而不必要条件
C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
5
．已知函数
f
（
x+2
）＝
2x+x
﹣
2
，则
f
（
x
）＝（）
A
．
2x﹣2+x
﹣
4B
．
2x﹣2+x
﹣
2C
．
2x+2+xD
．
2x+2+x
﹣
2
6
．在同一直角坐标系中，函数
y
＝，
y
＝
loga（
x+
）（
a
＞
0
且
a≠1
）的图象可能是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．函数
f
（
x
）＝
Asin
（
ωx+φ
）（
A
＞
0
，
ω
＞
0
，
0
＜
φ
＜）的部分图象如图所示，将其向
右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）
2
A
．
y
＝
sin2xB
．
y
＝
sin
（
2x+
）
C
．
y
＝
sin
（
2x
﹣）
D
．
y
＝
sin
（
2x
﹣）
8
．方程
cosx
＝
log8x
的实数解的个数是（）
A
．
4B
．
3C
．
2D
．
1
二、多项选择题（共4小题）.
9
．下列各式中，值为的是（）
A
．
cos2﹣
sin2B
．
C
．
2sin195°cos195°D
．
10
．已知
a
，
b
为正实数，则下列判断中正确的是（）
A
．
B
．若
a+b
＝
4
，则
log2a+log2b
的最大值为
2
C
．若
a
＞
b
，则
D
．若
a+b
＝
1
，则的最小值是
8
11
．已知函数
f
（
x
）＝
|cosx|+cos|2x|
，下列说法正确的是（）
A
．若
x
∈
[
﹣
π
，
π]
，则
f
（
x
）有
2
个零点
B
．
f
（
x
）的最小值为
C
．
f
（
x
）在区间上单调递减
D
．
π
是
f
（
x
）的一个周期
12
．已知函数
f
（
x
）＝
asinx+bcosx
，其中
a
，
b
∈R，且
ab≠0
，若对一切
x
∈R恒成立，则（）
3
A
．
B
．
C
．是偶函数
D
．是奇函数
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13
．已知函数（
ω
＞
0
）的最小正周期是
π
，则
ω
＝，单调递
增区间是．
14
．命题
“
所有三角形都有内切圆
”
的否定是．
15
．已知角
θ
的终边在直线
y
＝﹣
3x
上，则＝．
16
．已知函数，若
a
、
b
、
c
、
d
、
e
（
a
＜
b
＜
c
＜
d
＜
e
）满足
f
（
a
）
＝
f
（
b
）＝
f
（
c
）＝
f
（
d
）＝
f
（
e
），则
M
＝
af
（
a
）
+bf
（
b
）
+cf
（
c
）
+df
（
d
）
+ef
（
e
）的
取值范围为．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17
．计算下列各式的值：
（
1
）；
（
2
）．
18
．已知幂函数
f
（
x
）＝（
m2+2m
﹣
2
）
xm+2，且在（
0
，
+∞
）上是减函数．
（
1
）求
f
（
x
）的解析式；
（
2
）若（
3
﹣
a
）m＞（
a
﹣
1
）m，求
a
的取值范围．
19
．已知函数．
（
1
）求函数
f
（
x
）的最小正周期、对称轴和对称中心；
（
2
）若锐角
α
满足，且
β
满足，求
cosβ
的值．
4
20
．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为
k
），这些凤眼莲在湖中的
蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为
24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面
积为
36m2，凤眼莲的覆盖面积
y
（单位：
m2）与月份
x
（单位：月）的关系有两个函数模
型
y
＝
kax（
k
＞
0
，
a
＞
1
）与可供选择．
（
1
）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（
2
）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积
10
倍以上的最小月份．（参考数据：
lg2≈0.3010
，
lg3≈0.4711
）．
21
．已知定义域为R的函数，是奇函数．
（
1
）求
a
，
b
的值；
（
2
）判断
f
（
x
）单调性并证明；
（
3
）若∀
t
∈
[
﹣
1
，
4]
，不等式
f
（
t2+2
）
+f
（
2t2﹣
kt
）＜
0
恒成立，求
k
的取值范围．
22
．已知函数为
f
（
x
）的零点，
为
f
（
x
）图象的对称轴．
（
1
）若
f
（
x
）在
[0
，
2π]
内有且仅有
6
个零点，求
f
（
x
）；
（
2
）若
f
（
x
）在上单调，求
ω
的最大值．
5
广东省实验中学
2020-2021
学年高一（上）期末考试
数学试卷参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1
．设集合
A
＝
{x|1≤x+1
＜
5}
，
B
＝
{x|x≤2}
，则
A∩
（∁RB
）＝（）
A
．
{x|0≤x
＜
4}B
．
{x|0≤x≤2}C
．
{x|2
＜
x
＜
4}D
．
{x|x
＜
4}
解：因为集合
A
＝
{x|1≤x+1
＜
5}
＝
{x|0≤x
＜
4}
，
B
＝
{x|x≤2}
，∴∁R
B
＝
{x|x
＞
2}
，
∴
A∩
（∁R
B
）＝
{x|2
＜
x
＜
4}
，
故选：
C
．
2
．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）
A
．
y
＝
|x|
，
u
＝
B
．
y
＝，
s
＝（）2
C
．
D
．
解：
A
．
y
＝
|x|
和的定义域都是
R
，对应关系也相同，是同一函数；
B.
的定义域为R，的定义域为
[0
，
+∞
），定义域不同，不是同一函数；
C.
的定义域为
{x|x≠1}
，
m
＝
n+1
的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；
D.
的定义域为
{x|x≥1}
，的定义域为
{x|x≤
﹣
1
或
x≥1}
，定义域
不同，不是同一函数．
故选：
A
．
3
．已知
a
＝
log3，
b
＝
ln3
，
c
＝
2﹣0.99，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（）
A
．
b
＞
a
＞
cB
．
a
＞
b
＞
cC
．
c
＞
a
＞
bD
．
b
＞
c
＞
a
解：∵，∴
a
＜
0
，
∵
ln3
＞
lne
＝
1
，∴
b
＞
1
，
∵
0
＜
2﹣0.99＜
20＝
1
，∴
0
＜
c
＜
1
，
∴
b
＞
c
＞
a
，
故选：
D
．
4
．在△
ABC
中，
“”
是
“”
的（）
6
A
．充分必要条件
B
．充分而不必要条件
C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
解：在△
ABC
中，
A
∈（
0
，
π
），
考虑充分性，
“”
推不出
“”
，如当
A
＝时，
sinA
＝，
所以
“”
不是
“”
的充分条件；
再考虑必要性，
“”
⇒
A
∈（）⇒
“”
，
所以
“”
是
“”
的必要条件；
故选：
C
．
5
．已知函数
f
（
x+2
）＝
2x+x
﹣
2
，则
f
（
x
）＝（）
A
．
2x﹣2+x
﹣
4B
．
2x﹣2+x
﹣
2C
．
2x+2+xD
．
2x+2+x
﹣
2
解：设
t
＝
x+2
，则
x
＝
t
﹣
2
，
∴
f
（
t
）＝
2t﹣2+t
﹣
2
﹣
2
＝
2t﹣2+t
﹣
4
，
∴
f
（
x
）＝
2x﹣2+x
﹣
4
．
故选：
A
．
6
．在同一直角坐标系中，函数
y
＝，
y
＝
loga（
x+
）（
a
＞
0
且
a≠1
）的图象可能是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：由函数
y
＝，
y
＝
log
a（
x+
），
当
a
＞
1
时，可得
y
＝是递减函数，图象恒过（
0
，
1
）点，
函数
y
＝
log
a（
x+
），是递增函数，图象恒过（，
0
）；
7
当
1
＞
a
＞
0
时，可得
y
＝是递增函数，图象恒过（
0
，
1
）点，
函数
y
＝
log
a（
x+
），是递减函数，图象恒过（，
0
）；
∴满足要求的图象为：
D
故选：
D
．
7
．函数
f
（
x
）＝
Asin
（
ωx+φ
）（
A
＞
0
，
ω
＞
0
，
0
＜
φ
＜）的部分图象如图所示，将其向
右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）
A
．
y
＝
sin2x
B
．
y
＝
sin
（
2x+
）
C
．
y
＝
sin
（
2x
﹣）
D
．
y
＝
sin
（
2x
﹣）
解：由函数图象知，
A
＝，＝﹣＝，
解得
T
＝
π
，所以
ω
＝＝
2
，
所以函数
f
（
x
）＝
sin
（
2x+φ
）；
因为
f
（）＝
sin
（
+φ
）＝﹣
sin
（
+φ
）＝﹣，
所以
+φ
＝
+2kπ
，
k
∈Z；
解得
φ
＝
+2kπ
，
k
∈Z；
又
0
＜
φ
＜，所以
φ
＝；
所以
f
（
x
）＝
sin
（
2x+
）；
将函数的图象向右平移个单位长度后，得
y
＝
sin[2
（
x
﹣）
+]
的图象，
即
y
＝
sin
（
2x
﹣）．
故选：
C
．
8
．方程
cosx
＝
log8x
的实数解的个数是（）
A
．
4B
．
3C
．
2D
．
1
解：方程
cosx
＝
log
8x
的实数解的个数，即函数
y
＝
cosx
的图象和函数
y
＝
log8x
的图象交
8
点的个数．
数形结合可得函数
y
＝
cosx
的图象和函数
y
＝
log
8x
的图象（图中红色曲线）交点的个数为
3
，
故选：
B
．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0
分）
9
．下列各式中，值为的是（）
A
．
cos2﹣
sin2B
．
C
．
2sin195°cos195°D
．
解：对于
A
，
cos2﹣
sin2＝
cos
＝；
对于
B
，＝
tan45°
＝；
对于
C
，
2sin195°cos195°
＝
sin390°
＝
sin30°
＝；
对于
D
，＝＝．
故选：
BC
．
10
．已知
a
，
b
为正实数，则下列判断中正确的是（）
A
．
B
．若
a+b
＝
4
，则
log2a+log2b
的最大值为
2
C
．若
a
＞
b
，则
9
D
．若
a+b
＝
1
，则的最小值是
8
解：已知
a
，
b
为正实数，（
a+
）（
b+
）＝
ab+++≥2+2
＝
4
，当且仅当
a
＝
b
＝
1
是取等号，故，所以
A
正确；
因为正实数
a
，
b
满足
a+b
＝
4
，∴
4≥2
，化为：
ab≤4
，当且仅当
a
＝
b
＝
2
时取等号，
则
log
2a+log2b
＝
log2（
ab
）
≤log24
＝
2
，其最大值是
2
．则
log2a+log2b
的最大值为
2
，所以
B
正确；
若
a
＞
b
，
a
，
b
为正实数，有不等式性质有，所以
C
正确；
若
a+b
＝
1
，
+
＝（
+
）
•
（
a+b
）＝
1+4++≥5+2
＝
9
，所以
D
不正确；
故选：
ABC
．
11
．已知函数
f
（
x
）＝
|cosx|+cos|2x|
，下列说法正确的是（）
A
．若
x
∈
[
﹣
π
，
π]
，则
f
（
x
）有
2
个零点
B
．
f
（
x
）的最小值为
C
．
f
（
x
）在区间上单调递减
D
．
π
是
f
（
x
）的一个周期
解：根据函数
f
（
x
）＝
|cosx|+cos|2x|
，整理得
f
（
x
）＝
2cos2x+|cosx|
﹣
1
，
对于
A
：若
x
∈
[
﹣
π
，
π]
，当
x
＝
±π
或时，满足函数
f
（
x
）＝
0
，则
f
（
x
）有
4
个
零点，故
A
错误；
对于
B
：由于
t
∈
[0
，
1]
，当
t
＝
0
时，
f
（
x
）的最小值为﹣
1
，故
B
错误；
对于
C
：利用函数的关系式转换为
f
（
x
）＝
g
（
x
）
+h
（
x
），由于函数
g
（
x
）＝
|cosx|
在（
0
，
）上单调递减，
函数
h
（
x
）＝
|cos2x|
在（
0
，）上单调递减，故
f
（
x
）在区间上单调递减，
故
C
正确；
对于
D
：因为
f
（
x+π
）＝
f
（
x
），所以
f
（
x
）的周期
T
＝
π
，故
D
正确；
故选：
CD
．
12
．已知函数
f
（
x
）＝
asinx+bcosx
，其中
a
，
b
∈R，且
ab≠0
，若对一切
x
∈R恒成立，则（）
10
A
．
B
．
C
．是偶函数
D
．是奇函数
解：由题意函数
f
（
x
）＝
asinx+bcosx
＝
sin
（
x+φ
），其中
a
，
b
∈R，
ab≠0
．
因为＝
1
，对一切
x
∈R恒成立，
可知
f
（）＝
±1
，
所以
+φ
＝
kπ+
，
k
∈Z，可得
φ
＝
kπ+
，
k
∈Z，可得
φ
＝，
f
（）＝
sin
（
+
），
f
（）＝
sin
（
+
），
故
f
（）＞
f
（），或
f
（）＜
f
（），
故
A
错误；
因为
f
（
x
﹣）＝
sin
（
x
﹣
+
）＝
sinx
，所以
f
（
x
）为奇函数，
故
C
错误；
因为
f
（
x+
）＝
sin
（
x++
）＝
sin
（
x+
）＝
cosx
，
又因为
cosx
是偶函数，所以
f
（
x
）为偶函数，故
D
错误；
f
（﹣
x
）＝
sin
（﹣
x
）＝
sin
（
x
﹣），故
B
正确；
故选：
B
．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13
．已知函数（
ω
＞
0
）的最小正周期是
π
，则
ω
＝
2
，单调递增
区间是．
解：由周期的求解方法可知；
π
＝，可得
ω
＝
2
；
可得函数
f
（
x
）＝
2sin
（
2x+
），
令﹣
+2kπ≤2x+≤+2kπ
∴
+kπ≤x≤+kπ
，（
k
∈Z）
11
即函数
f
（
x
）的递增区间为：
[
﹣
+kπ
，
+kπ]
（
k
∈Z），
故答案为
2
，
[+kπ
，
+kπ]
（
k
∈Z）
14
．命题
“
所有三角形都有内切圆
”
的否定是
“
存在一个三角形没有内切圆
”
．
解：全称命题
“
所有三角形都有内切圆
”
，
它的否定是特称命题：
“
存在一个三角形没有内切圆
”
．
故答案为：
“
存在一个三角形没有内切圆
”
．
15
．已知角
θ
的终边在直线
y
＝﹣
3x
上，则＝．
解：∵角
α
的终边在直线
y
＝
3x
上，
∴
tanα
＝
3
，
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
16
．已知函数，若
a
、
b
、
c
、
d
、
e
（
a
＜
b
＜
c
＜
d
＜
e
）满足
f
（
a
）
＝
f
（
b
）＝
f
（
c
）＝
f
（
d
）＝
f
（
e
），则
M
＝
af
（
a
）
+bf
（
b
）
+cf
（
c
）
+df
（
d
）
+ef
（
e
）的
取值范围为（
0
，
9
）．
解：函数
f
（
x
）的图象如图所示：
由图可得
a+d
＝
2
，
b+c
＝
2
，
5
＜
e
＜
6
，
所以
M
＝（
a+b+c+d+e
）
f
（
e
）＝（
4+e
）（
6
﹣
e
）
＝﹣
e2+2e+24
＝﹣（
e
﹣
1
）2+25
，
因为
5
＜
e
＜
6
，所以函数
M
在（
5
，
6
）上单调递减，又
e
＝
5
时，
M
＝
9
，
e
＝
6
时，
M
＝
0
，
12
所以
M
的取值范围为（
0
，
9
），
故答案为：（
0
，
9
）．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17
．计算下列各式的值：
（
1
）；
（
2
）．
解：（
1
）原式＝；
（
2
）原式＝
3+lg100+2
＝
3+2+2
＝
7
．
18
．已知幂函数
f
（
x
）＝（
m2+2m
﹣
2
）
xm+2，且在（
0
，
+∞
）上是减函数．
（
1
）求
f
（
x
）的解析式；
（
2
）若（
3
﹣
a
）m＞（
a
﹣
1
）m，求
a
的取值范围．
解：（
1
）∵函数是幂函数，
∴
m2+2m
﹣
2
＝
1
，
即
m2+2m
﹣
3
＝
0
，
解得
m
＝
1
或
m
＝﹣
3
，
∵幂函数
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上是减函数，
∴
m+2
＜
0
，
即
m
＜﹣
2
，
∴
m
＝﹣
3
，
∴
f
（
x
）＝
x﹣1，
（
2
）令
g
（
x
）＝
x﹣3，因为
g
（
x
）的定义域为（﹣
∞
，
0
）∪（
0
，
+∞
），且在（﹣
∞
，
0
）
和（
0
，
+∞
）上均为减函数，
∵（
3
﹣
a
）﹣3＞（
a
﹣
1
）﹣3，
∴
3
﹣
a
＜
a
﹣
1
＜
0
或
0
＜
3
﹣
a
＜
a
﹣
1
或
3
﹣
a
＞
0
＞
a
﹣
1
，
解得
2
＜
a
＜
3
或
a
＜
1
，
故
a
的取值范围为：
{a|2
＜
a
＜
3
或
a
＜
1}
．
13
19
．已知函数．
（
1
）求函数
f
（
x
）的最小正周期、对称轴和对称中心；
（
2
）若锐角
α
满足，且
β
满足，求
cosβ
的值．
解：
f
（
x
）＝
sin2x
﹣
×
（
1+cos2x
）
+
＝
sin2x
﹣
cos2x
＝
sin
（
2x
﹣），
则（
1
）
f
（
x
）的最小正周期
T
＝，
由
2x
﹣＝
kπ+
得
2x
＝
kπ+
，
得
x
＝
+
，
k
∈Z，即函数的对称轴为
{x|x
＝
+
，
k
∈Z
}
．
由
2x
﹣＝
kπ
得
2x
＝
kπ+
，
得
x
＝
+
，
k
∈Z，即函数的对称中心为（
+
，
0
），
k
∈Z．
（
2
）若锐角
α
满足，且
β
满足，
则
sin[2
（
α+
）﹣
]
＝﹣，得
sin
（
2α+
）＝
cos2α
＝﹣，
即
2cos2α
﹣
1
＝﹣，得
2cos2α
＝，即
cos2α
＝，
则
cosα
＝，
sinα
＝，
∵，∴
cos
（
α+β
）＝
±
，
当
cos
（
α+β
）＝时，
cosβ
＝
cos
（
α+β
﹣
α
）＝
cos
（
α+β
）
cosα+sin
（
α+β
）
sinα
＝
×+×
＝，
当
cos
（
α+β
）＝﹣时，
cosβ
＝
cos
（
α+β
﹣
α
）＝
cos
（
α+β
）
cosα+sin
（
α+β
）
sinα
＝﹣
×+×
＝．
20
．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为
k
），这些凤眼莲在湖中的
蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为
24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面
积为
36m2，凤眼莲的覆盖面积
y
（单位：
m2）与月份
x
（单位：月）的关系有两个函数模
型
y
＝
kax（
k
＞
0
，
a
＞
1
）与可供选择．
（
1
）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（
2
）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积
10
倍以上的最小月份．（参考数据：
14
lg2≈0.3010
，
lg3≈0.4711
）．
解：（
1
）函数
y
＝
kax（
k
＞
0
，
a
＞
1
）与在（
0
，
+∞
）上都是增
函数，
随着
x
的增加，函数
y
＝
kax（
k
＞
0
，
a
＞
1
）的值增加的越来越快，而函数的值
增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型
y
＝
kax（
k
＞
0
，
a
＞
1
）符合要求．
根据题意可知
x
＝
2
时，
y
＝
24
；
x
＝
3
时，
y
＝
36
，
∴，解得．
故该函数模型的解析式为，
1≤x≤12
，
x
∈N
*
；
（
2
）当
x
＝
0
时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是
m2，
由＞
10•
，得＞
10
，
∴
x
＞＝
≈5.9
，
∵
x
∈N
*
，∴
x≥6
，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积
10
倍以上的最小月份是六月份．
21
．已知定义域为R的函数，是奇函数．
（
1
）求
a
，
b
的值；
（
2
）判断
f
（
x
）单调性并证明；
（
3
）若∀
t
∈
[
﹣
1
，
4]
，不等式
f
（
t2+2
）
+f
（
2t2﹣
kt
）＜
0
恒成立，求
k
的取值范围．
解：（
1
）由于定义域为R的函数是奇函数，
则即，解得，
即有
f
（
x
）＝，经检验成立；
15
（
2
）
f
（
x
）在（﹣
∞
，
+∞
）上是减函数．
证明：设任意
x
1＜
x2，
f
（
x1）﹣
f
（
x2）＝﹣＝，
由于
x
1＜
x2，则
2x1＜
2x2，即有＞
0
，
则有
f
（
x
1）＞
f
（
x2），
故
f
（
x
）在（﹣
∞
，
+∞
）上是减函数；
（
3
）不等式
f
（
t2+2
）
+f
（
2t2﹣
kt
）＜
0
，
由奇函数
f
（
x
）得到
f
（﹣
x
）＝﹣
f
（
x
），
f
（
2t2﹣
kt
）＜﹣
f
（
2+t2）＝
f
（﹣
t2﹣
2
），
再由
f
（
x
）在（﹣
∞
，
+∞
）上是减函数，
则
2t2﹣
kt
＞﹣
t2﹣
2
，即有
3t2﹣
kt+2
＞
0
对
t
∈
[
﹣
1
，
4]
恒成立，
当
t
＝
0
时，
2
＞
0
，显然成立；
当
0
＜
t≤4
时，
k
＜＝
3t+
，
3t+≥2
，当且仅当
t
＝时，取得等号，
则
k
＜
2
；
当﹣
1≤t
＜
0
时，
k
＞＝
3t+
，
又
3t+
＝﹣
[
（﹣
3t
）
+]≤
﹣
2
，
当且仅当
t
＝﹣∈
[
﹣
1
，
0
）时，取得等号，
则
k
＞﹣
2
；
综上可得
k
的范围是（﹣
2
，
2
）．
22
．已知函数为
f
（
x
）的零点，
为
f
（
x
）图象的对称轴．
（
1
）若
f
（
x
）在
[0
，
2π]
内有且仅有
6
个零点，求
f
（
x
）；
（
2
）若
f
（
x
）在上单调，求
ω
的最大值．
解：（
1
）因为
f
（
x
）在
[0
，
2π]
内有且仅有
6
个零点，则
6
个零点间有周期，所以
16
①，
又
8
个零点间的一定比
[0
，
2π]
的区间长度大，即②，
由①②可得，
又为
f
（
x
）的零点，所以，
k
1∈Z③，为
f
（
x
）图象的
对称轴，则，
k
2∈Z④，
④﹣③可得，即
ω
＝
2
（
k
2﹣
k1）
+1
，因为
k1∈Z，
k2∈Z，所以
ω
为奇数，故
ω
＝
3
，
由③可得
φ
＝，
k
1∈Z，又
|φ|
，所以
φ
＝﹣，故；
（
2
）由（
1
）可知，
ω
＝
2
（
k
2﹣
k1）
+1
，
k1，
k2∈Z，故
ω
为奇数，因为
f
（
x
）在
上单调，则，解得
ω≤12
，
所以
ω
的最大值可能为
11
，
9
，
7
，
…
，
当
ω
＝
11
时，
φ
＝
k
1π
，又
|φ|
，所以
φ
＝﹣，
故，此时函数
f
（
x
）在上不单调；
当
ω
＝
9
时，
φ
＝
k
1π
，又
|φ|
，所以
φ
＝，故，
此时函数
f
（
x
）在上单调递减，符合题意．
综上可得，
ω
的最大值为
9
．
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