复数公式

复数的基本知识(总6页)

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2

补充复数的基本知识：

1、虚数单位

由于在实数集R内负数不能开平方，所以在实数集内方程

01

2

x

无

解。引入虚数，虚数单位符号为j，并规定

（1）它的平方等于-1，即1

2

j；

（2）j可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成

立。

性质：jj

1；1

2

j；jj

3；1

4

j

一般地，对于任意整数n，有：

1

4

j

n；jj

n



14；1

24





j

n；jj

n



34

2、复数集

定义：形如),(Rbabja的数称为复数。

通常用大写拉丁字母Z表示一个复数，即),(RbabjaZ

其中

a

称为复数Z的实部，aZ)Re(；

b称为复数Z的虚部，bZ)Im(；

举例：j32，j51-，j3的实部、虚部





































)0a(

)0a(

)0b(

)0b(

非纯虚数

纯虚数

虚数

无理数

有理数

实数

复数bja

3、复数的相等及共轭复数

定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即

dbc,adjcbja

3

定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为

共轭复数。

复数bjaZ的共轭复数记作bjaZ

例：3j2j,1的共轭复数

注：

babjabja

22

))((

4、复数的几何表示（复平面）

任何一个复数bja都可以由一对有序实数)b,a(唯一确定；反之，任何

一对有序实数)b,a(都能唯一确定一个复数bja；因此，复数bjaZ与平

面直角坐标系中的点)b,a(Z是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标

系中用横坐标为

a

，纵坐标为b的点)b,a(Z表示复数bjaZ。

j

bja



b

实轴

虚轴

用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。

复数bjaZ与复平面上的点)b,a(Z是一一对应关系。即

复数bjaZ

点)b,a(Z

矢量（或向量）：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段

来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下

图所示：

4

j

bja



b

实轴

虚轴



相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。

(1)矢量的大小称为矢量的模；

矢量0Z的模r称为复数bjaZ的模，记作：

Z

或bja即:

b

22

Zrabja

(2)矢量的方向

以实轴的正半轴为始便，矢量0Z所在的射线为终边的角，称为复数

bjaZ的辐角。

非零复数的辐角有无穷多个值，他们彼此相差2的整数倍。通常适合

于的辐角称为主辐角，值称为辐角的主值。

规定：要用主辐角表示复数bjaZ的辐角。

模和主辐角可以唯一确定一个非零复数。















b

22

r

b

tan











b

arctan

)sin(cosjrbjaZ

r



cos

r

b

sin

5、复数的指数形式

欧拉公式：



sincosje

j



例如：

3

sin

3

cos

3



je

j



对于任何一个复数：

5

e

j

rjrbjaZ



)sin(cos

称为复数的指数形式

例：

e

j

jj

3

3

sin

3

cos

2

3

2

1





e

j

jj

3

5

arctan

34)

34

5

34

2

(3453

7、复数的四则运算

（1）复数代数形式（bjaZ）的加减法

jdbcadjcbja)()()(

复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

（2）复数代数形式的乘法

jbcadbdacdjcbja)())((

按多项式的乘法运算法则进行，把所得结果中

j

2换成-1，并且把实

部、虚部分别合并。

例：jjj51)1)(32(jjj617)32)(34(

（3）复数代数形式的除法

分子与分母同乘以分母的共轭复数，分母实数化后，所得结果要化

简。

j

bcadbdac

bjabja

bjadjc

bja

djc

baba

2222))((

))((























例：j

j

j

13

1

13

5

23

1







（4）复数指数形式（

e

j

rZ



）的乘除运算

令

e

rZ

j

1

11



；

e

rZ

j

2

22



则

e

rr

e

r

e

rZZ

jjj)

21

(

21

2

2

1

121



•

6

e

r

r

e

r

e

r

Z

Z

j

j

j

)

21

(

2

1

2

2

1

1

2

1









例：

e

j

jj

)

3

4

arctan

4

(

25)43)(1(







j

j

j

ee

jj









2

)

44

(

1

1



（5）复数极坐标形式（rZ）的乘除运算

设复数



1

11

rZ

，



2

22

rZ

)(

21

2121

•rrZZ

)(

21

2

1

2

1

r

r

Z

Z

8、方程根的求解

一元二次方程根的求解。一元二次方程有两个根，可以是两个实数根，

也可以是复数根（共轭复根）。

例：

067

2

xx

1

1

x

，6

1

x

；

022

2

xx

4

151

2,1

j

x



；

补充题：

1、计算下列各式，并作几何表示

（1）)21()22(jj

（2）)23()53(jj

jjj43)21()22(

1.53

3

4

arctan



5r在复平面上描述

jjj3)23()53(90



3r在复平面上描述

2、计算下列各式，并化成代数形式

（1）

ee

jj

612

32



（2）

ee

jj

63

2

1

2





7

jeee

jjj

663232

4612





1

2

1

2

263





eee

jjj



3、求出下列方程的解

（1）

057

2

xx

2

297

2,1



x

（2）

063

2

xx

2

153

2,1

j

x



