2017高考

页脚

2017年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|

31x}，则

A．

{|0}ABxx

B．ABRC．

{|1}ABxx

D．AB

2．如图，正方形ABCD的图形来自中国古代的太极图.正方形切圆中的黑色部分和白色部分关

于正方形的中心成中心对称.在正方形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．

1

4

B．

π

8

C．

1

2

D．

π

4

3．设有下面四个命题

1

p：若复数z满足

1

z

R

，则

zR

；

2

p：若复数z满足2zR，则

zR

；

3

p：若复数

12

,zz满足

12

zzR，则

12

zz；

4

p：若复数

zR

，则

zR

.

其中的真命题为

A．

13

,ppB．

14

,ppC．

23

,ppD．

24

,pp

4．记

n

S为等差数列{}

n

a的前n项和．若

45

24aa，

6

48S，则{}

n

a的公差为

A．1B．2C．4D．8

5．函数

()fx

在

(,)

单调递减，且为奇函数．若

(11)f

，则满足

21()1xf

的x的

取值围是

A．

[2,2]

B．

[1,1]

C．

[0,4]

D．

[1,3]

6．6

2

1

(1)(1)x

x



展开式中2x的系数为

A．15B．20C．30D．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正

方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些

梯形的面积之和为

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A．10B．12C．14D．16

8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，

可以分别填入

A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2C．A1000和n=n+1D．A1

000和n=n+2

9．已知曲线C

1

：y=cosx，C

2

：y=sin(2x+

2π

3

)，则下面结论正确的是

A．把C

1

上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个

单位长度，得到曲线C

2

B．把C

1

上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个

单位长度，得到曲线C

2

C．把C

1

上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个

单位长度，得到曲线C

2

D．把C

1

上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个

单位长度，得到曲线C

2

10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l

1

，l

2

，直线l

1

与C交于

A、B两点，直线l

2

与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

页脚

A．16B．14C．12D．10

11．设xyz为正数，且

235xyz，则

A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，

他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的

答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是

20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的

最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是

A．440B．330C．220D．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.

14．设x，y满足约束条件

21

21

0

xy

xy

xy

















，则

32zxy

的最小值为.

15．已知双曲线C：

22

22

1

xy

ab

（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆

A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、

E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重

合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

2

3sin

a

A

（1）求sinBsinC;

页脚

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且

90BAPCDP

.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，

90APD

，求二面角A-PB-C的余弦值.

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零

件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产

的零件的尺寸服从正态分布2(,)N

．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天抽取的16个零件中其尺寸在

(3,3)

之

外的零件数，求

(1)PX

及

X

的数学期望；

（2）一天抽检零件中，如果出现了尺寸在

(3,3)

之外的零件，就认为这条生产

线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得

16

1

1

9.97

16i

i

xx



，

1616

2222

11

11

()(16)0.212

1616ii

ii

sxxxx



，其中

i

x

为

抽取的第

i

个零件的尺寸，

1,2,,16i

．

用样本平均数

x

作为



的估计值

ˆ

，用样本标准差

s

作为



的估计值

ˆ，利用估计值判断是

否需对当天的生产过程进行检查？剔除

ˆˆˆˆ

(3,3)

之外的数据，用剩下的数据估计



和



（精确到0.01）．

页脚

附：若随机变量

Z

服从正态分布2(,)N

，则

(33)0.9974PZ

，

160.99740.9592

，

0.0080.09

．

20.（12分）已知椭圆C：

22

22

=1

xy

ab

（a>b>0），四点P1

（1,1），P

2

（0,1），P

3

（–1，

3

2

），

P

4

（1，

3

2

）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P

2

点且与C相交于A，B两点。若直线P

2

A与直线P

2

B的斜率的和为–1，

证明：l过定点.

21.（12分）

已知函数

)fx（

ae2x+(a﹣2)ex﹣x.

（1）讨论

()fx

的单调性；

（2）若

()fx

有两个零点，求a的取值围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

3cos,

sin,

x

y















（θ为参数），直线l的参数方程

为

页脚

4,

1,

xat

t

yt











（为参数）.

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值围.

页脚

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.A2．B3．B4．C5．D6．C

7．B8．D9．D10．A11．D12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．2314．-515．

23

3

16．315cm

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

2

3sin

a

A

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

解：（1）

由题意可得

21

sin

23sinABC

a

SbcA

A



，

化简可得2223sinabcA，

根据正弦定理化简可得：22

2

2sin3sinsinCsinsinsinC

3

ABAB

。

（2）

由

2

sinsinC

12

3

coscossinsinCcoscos

1

23

coscos

6

B

AABBBCA

BC























，

因此可得

3

BC





，

将之代入

2

sinsinC

3

B

中可得：2

31

sinsinsincossin0

322

CCCCC











，

化简可得

3

tan,

366

CCB



，

页脚

利用正弦定理可得

31

sin3

sin2

3

2

a

bB

A



，

同理可得3c，

故而三角形的周长为323。

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且

90BAPCDP

.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.

（1）证明：

//,ABCDCDPDABPD

,

又

,ABPAPAPDP

,PA、PD都在平面PAD，

故而可得

ABPAD

。

又AB在平面PAB，故而平面PAB⊥平面PAD。

（2）解：

不妨设

2PAPDABCDa

，

以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。

故而可得各点坐标：0,0,2,2,0,0,2,2,0,2,2,0PaAaBaaCaa

，

因此可得2,0,2,2,2,2,2,2,2PAaaPBaaaPCaaa

，

假设平面

PAB

的法向量

1

,,1nxy，平面

PBC

的法向量

2

,,1nmn，

故而可得1

1

2201

22200

nPAaxax

nPBaxayay















，即

1

1,0,1n，

同理可得

2

2

22200

2

2220

2

nPCamanam

nPBamanan















，即

2

2

0,,1

2

n











。

页脚

因此法向量的夹角余弦值：

12

13

cos,

3

3

2

2

nn



。

很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为

3

3

。

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零

件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产

的零件的尺寸服从正态分布2(,)N

．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天抽取的16个零件中其尺寸在

(3,3)

之

外的零件数，求

(1)PX

及

X

的数学期望；

（2）一天抽检零件中，如果出现了尺寸在

(3,3)

之外的零件，就认为这条生产

线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得

16

1

1

9.97

16i

i

xx



，

1616

2222

11

11

()(16)0.212

1616ii

ii

sxxxx



，其中

i

x

为

抽取的第

i

个零件的尺寸，

1,2,,16i

．

用样本平均数

x

作为



的估计值

ˆ

，用样本标准差

s

作为



的估计值

ˆ，利用估计值判

断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除

ˆˆˆˆ

(3,3)

之外的数据，用剩下的数据估计



和



（精确到0.01）．

附：若随机变量

Z

服从正态分布2(,)N

，则

(33)0.9974PZ

，

160.99740.9592

，

0.0080.09

．

解：（1）1611010.997410.95920.0408PXPX

由题意可得，X满足二项分布~16,0.0016XB

，

因此可得16,0.0016160.00160.0256EX

（2）

○

1

由（1）可得10.04085%PX

，属于小概率事件，

页脚

故而如果出现

(3,3)

的零件，需要进行检查。

○

2

由题意可得

9.97,0.21239.334,310.606

，

故而在9.334,10.606

围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。

此时：

9.97169.22

10.02

15

x





，

15

1

1

0.09

15

i

xx



。

20.（12分）

已知椭圆C：

22

22

=1

xy

ab

（a>b>0），四点P1

（1,1），P

2

（0,1），P

3

（–1，

3

2

），P

4

（1，

3

2

）

中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P

2

点且与C相交于A，B两点。若直线P

2

A与直线P

2

B的斜率的和为–1，

证明：l过定点.

解：（1）

根据椭圆对称性可得，P

1

（1,1）P

4

（1，

3

2

）不可能同时在椭圆上，

P

3

（–1，

3

2

），P

4

（1，

3

2

）一定同时在椭圆上，

因此可得椭圆经过P

2

（0,1），P

3

（–1，

3

2

），P

4

（1，

3

2

），

代入椭圆方程可得：

2

13

1,12

4

ba

a



，

故而可得椭圆的标准方程为：

2

21

4

x

y

。

（2）由题意可得直线P

2

A与直线P

2

B的斜率一定存在，

不妨设直线P

2

A为：

1ykx

,P

2

B为：11ykx

.

联立22

2

2

1

4180

1

4

ykx

kxkx

x

y

















，

假设

11

,Axy

，

22

,Bxy

此时可得：

页脚









2

2

22

22

81141

814

,,,

4141

411411

kk

kk

AB

kk

kk























，

此时可求得直线的斜率为：









2

2

2

2

21

21

2

2

141

14

41

411

81

8

41

411

AB

k

k

k

k

yy

k

k

xxk

k

k

























，

化简可得

2

1

12AB

k

k





，此时满足

1

2

k

。

○

1

当

1

2

k

时，AB两点重合，不合题意。

○

2

当

1

2

k

时，直线方程为：



2

2

22

1814

4141

12

kk

yx

kk

k















，

即





2

2

441

12

kkx

y

k







，当

2x

时，

1y

，因此直线恒过定点2,1

。

21.（12分）

已知函数

)fx（

ae2x+(a﹣2)ex﹣x.

（1）讨论

()fx

的单调性；

（2）若

()fx

有两个零点，求a的取值围.

解：

（1）对函数进行求导可得2'22111xxxxfxaeaeaee

。

○

1

当

0a

时，'110xxfxaee

恒成立，故而函数恒递减

○

2

当

0a

时，1

'110lnxxfxaeex

a



，故而可得函数在

1

,ln

a









上单

调递减，在

1

ln,

a









上单调递增。

（2）函数有两个零点，故而可得

0a

，此时函数有极小值

11

lnln1fa

aa









，

要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，

故而可得

1

ln100aa

a



，令

1

gln1aa

a



，

对函数进行求导即可得到

2

1

g'0

a

a

a





，故而函数恒递增，

页脚

又g10

，

1

gln101aaa

a



，

因此可得函数有两个零点的围为0,1a

。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

3cos,

sin,

x

y















（θ为参数），直线l的参数方程

为

4,

1,

xat

t

yt











（为参数）.

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

解：

将曲线C的参数方程化为直角方程为

2

21

9

x

y

，直线化为直角方程为

11

1

44

yxa

（1）当

1a

时，代入可得直线为

13

44

yx

，联立曲线方程可得：

22

13

44

99

yx

xy















，

解得

21

25

24

25

x

y



















或

3

0

x

y











，故而交点为

2124

,

2525









或3,0

（2）点

3cos,

sin,

x

y















到直线

11

1

44

yxa

的距离为

3cos4sin4

17

17

a

d



，

即：

3cos4sin417a

，

化简可得1743cos4sin174aa

，

根据辅助角公式可得135sin21aa

，

又55sin5

，解得

8a

或者

16a

。

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

页脚

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值围.

解：

将函数11gxxx

化简可得

21

211

21

xx

gxx

xx

















（1）当

1a

时，作出函数图像可得fxgx

的围在F和G点中间，

联立

2

2

4

yx

yxx











可得点

171

,171

2

G













，因此可得解集为

171

1,

2











。

（2）即fxgx

在1,1

恒成立，故而可得22422xaxxax恒成立，

根据图像可得：函数

yax

必须在

12

,ll之间，故而可得

11a

。