数的发展史

数学的发展历史

数学的发展历史

数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学

具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积

累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴

盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美

国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的

特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切

相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"

数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数

学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内

容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学

家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学

家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活

和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的

历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一

点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此

人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为

是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正

是这主导着数学。

数学史是研究数学发展历史的学科，是数学

的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史

也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学

与整数同样的法则进行计算；已经有了关于

倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数

表；借助于倒数表，除法常转化为乘法进行计算。

巴比伦数学具有算术和代数的特征，几何只是表

达代数问题的一种方法。这时还没有产生数学的

理论。对埃及古代数学的了解，主要是根据两卷

纸草书。从这两卷文献中可以看到，古埃及是采

用10进位制的记数法。埃及人的数学兴趣是测量

土地，几何问题多是讲度量法的，涉及到田地的

面积、谷仓的容积和有关金字塔的简易计算法。

但是由于这些计算法是为了解决尼罗河泛滥后

土地测量和谷物分配、容量计算等日常生活中必

须解决的课题而设想出来的，因此并没有出现对

公式、定理、证明加以理论推导的倾向。埃及数

学的一个主要用途是天文研究，也在研究天文中

得到了发展。由于地理位置和自然条件，古希腊

受到埃及、巴比伦这些文明古国的许多影响，成

为欧洲最先创造文明的地区。

希腊的数学是辉煌的数学，第一个时期开始

于公元前6世纪，结束于公元前4世纪。泰勒斯开

始了命题的逻辑证明，开始了希腊伟大的数学发

展。进入公元前5世纪，爱利亚学派的芝诺提出

了四个关于运动的悖论，柏拉图强调几何对培养

逻辑思维能力的重要作用，亚里士多德建立了形

式逻辑，并且把它作为证明的工具；德谟克利特

把几何量看成是由许多不可再分的原子所构成。

第二个时期自公元前4世纪末至公元1世纪，这时

的学术中心从雅典转移到了亚历山大里亚，因此

被称为亚历山大里亚时期。这一时期有许多水平

很高的数学书稿问世，并一直流传到了现在。公

元前3世纪，欧几里得写出了平面几何、比例论、

数论、无理量论、立体几何的集大成的著作几何

原本，第一次把几何学建立在演绎体系上，成为

数学史乃至思想史上一部划时代的名著。之后的

阿基米德把抽象的数学理论和具体的工程技术

结合起来，根据力学原理去探求几何图形的面积

和体积，奠定了微积分的基础。阿波罗尼写出了

《圆锥曲线》一书，成为后来研究这一问题的基

础。公元一世纪的赫伦写出了使用具体数解释求

积法的《测量术》等著作。二世纪的托勒密完成

了到那时为止的数理天文学的集大成著作《数学

汇编》，结合天文学研究三角学。三世纪丢番图

著《算术》，使用简略号求解不定方程式等问题，

它对数学发展的影响仅次于《几何原本》。希腊

数学中最突出的三大成就--欧几里得的几何学，

阿基米德的穷竭法和阿波罗尼的圆锥曲线论，标

志着当时数学的主体部分--算术、代数、几何基

本上已经建立起来了。

罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化。公

元前47年，罗马人焚毁了亚历山大里亚图书馆，

两个半世纪以来收集的藏书和50万份手稿竞付

之一炬。

从5世纪到15世纪，数学发展的中心转移到

了东方的印度、中亚细亚、阿拉伯国家和中国。

在这1000多年时间里，数学主要是由于计算的需

要，特别是由于天文学的需要而得到迅速发展。

古希腊的数学看重抽象、逻辑和理论，强调数学

是认识自然的工具，重点是几何；而古代中国和

印度的数学看重具体、经验和应用，强调数学是

支配自然的工具，重点是算术和代数。

印度的数学也是世界数学的重要组成部分。

数学作为一门学科确立和发展起来。印度数学受

婆罗门教的影响很大，此外还受希腊、中国和近

东数学的影响，特别是受中国的影响。

此外，阿拉伯数学也有着举足轻重的作用，

阿拉伯人改进了印度的计数系统，"代数"的研究

对象规定为方程论；让几何从属于代数，不重视

证明；引入正切、余切、正割、余割等三角函数，

制作精密的三角函数表，发现平面三角与球面三

角若干重要的公式，使三角学脱离天文学独立出

来。

在我国，春秋战国之际，筹算已得到普遍的

应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数

法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时

期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上

亦有相应的提高。战国时期的百家争鸣也促进了

数学的发展，秦汉是封建社会的上升时期，经济

和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是

形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一

个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数

学著作的出现。

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立

并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来

说，堪称是世界数学名著。魏、晋时期赵爽与刘

徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角

四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积

的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的

体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途

径。这之后，我国数学经过像秦九邵、祖冲之、

郭守敬、程大位这样的数学家进一步发展了我国

的数学事业。

在西欧的历史上，中世纪的黑暗在一定程度

上阻碍了数学的发展，15世纪开始了欧洲的文艺

复兴，使欧洲的数学得以进一步发展，15世纪的

数学活动集中在算术、代数和三角方面。缪勒的

名著《三角全书》是欧洲人对平面和球面三角学

所作的独立于天文学的第一个系统的阐述。16

世纪塔塔利亚发现三次方程的代数解法，接受了

负数并使用了虚数。16世纪最伟大的数学家是伟

达，他写了许多关于三角学、代数学和几何学的

著作，其中最著名的《分析方法入门》改进了符

号，使代数学大为改观；斯蒂文创设了小数。17

世纪初，对数的发明是初等数学的一大成就。

1614年，耐普尔首创了对对数，1624年布里格斯

引入了相当于现在的常用对数，计算方法因而向

前推进了一大步。至此，初等数学的主体部分--

算术、代数与几何已经全部形成，并且发展成熟。

变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年

代，这一时期数学研究的主要内容是数量的变化

及几何变换。这一时期的主要成果是解析几何、

微积分、高等代数等学科。

17世纪是一个开创性的世纪。这个世纪中发

生了对于数学具有重大意义的三件大事。首先

是伽里略实验数学方法的出现，它表明了数学与

自然科学的一种崭新的结合。其特点是在所研究

的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数学

方法应用到这些量的变化规律中去。第二件大事

是笛卡儿的重要著作《方法谈》及其附录《几何

学》于1637年发表。它引入了运动着的一点的坐

标的概念，引入了变量和函数的概念。由于有了

坐标，平面曲线与二元方程之间建立起了联系，

由此产生了一门用代数方法研究几何学的新学

科--解析几何学。这是数学的一个转折点，也是

变量数学发展的第一个决定性步骤。第三件大事

是微积分学的建立，最重要的工作是由牛顿和莱

布尼兹各自独立完成的。他们认识到微分和积分

实际上是一对逆运算，从而给出了微积分学基本

定理，即牛顿-莱布尼兹公式。17世纪的数学，

发生了许多深刻的、明显的变革。在数学的活动

范围方面，数学教育扩大了，从事数学工作的人

迅速增加，数学著作在较广的范围内得到传播，

而且建立了各种学会。在数学的传统方面，从形

的研究转向了数的研究，代数占据了主导地位。

在数学发展的趋势方面，开始了科学数学化的过

程。最早出现的是力学的数学化，它以1687年牛

顿写的《自然哲学的数学原理》为代表，从三大

定律出发，用数学的逻辑推理将力学定律逐个

地、必然地引申出来。18世纪数学的各个学科，

如三角学、解析几何学、微积分学、数论、方程

论，得到快速发展。19世纪20年代出现了一个伟

大的数学成就，它就是把微积分的理论基础牢固

地建立在极限的概念上。柯西于1821年在《分析

教程》一书中，发展了可接受的极限理论，然后

极其严格地定义了函数的连续性、导数和积分，

强调了研究级数收敛性的必要，给出了正项级数

的根式判别法和积分判别法。而在这一时期，非

欧几何的出现，成为数学史上的一件大事，非欧

几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存

在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几

何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前

奏和准备。这时人们发现了与通常的欧几里得几

何不同的、但也是正确的几何--非欧几何。非欧

几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学

有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感

官的局限而深入到自然的更深刻的本质。非欧几

何的发现，黎曼和罗巴切夫斯基功不可灭，黎曼

推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的

领域--黎曼几何学。后来，哈密顿发现了一种乘

法交换律不成立的代数--四元数代数。不可交换

代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术

代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思

想打开了近代代数的大门。另一方面，由于一元

方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19

世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗瓦开创了近世代

数学的研究。这时，代数学的研究对象扩大为向

量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身

的研究。19世纪还发生了第三个有深远意义的数

学事件：分析的算术化。1874年威尔斯特拉斯提

出了被称为"分析的算术化"的著名设想，实数系

本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该

由此数系导出。19世纪后期，由于狄德金、康托

和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简

单、更基础的自然数系之上。

20世纪40～50年代，世界科学史上发生了三

件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算

机的发明和空间技术的兴起。此外还出现了许多

新的情况，促使数学发生急剧的变化。1945年，

第一台电子计算机诞生以后，由于电子计算机应

用广泛、影响巨大，围绕它很自然要形成一门庞

大的科学。计算机的出现更是促进了数学的发

展，使数学分为了三个领域，纯粹数学，计算机

数学，应用数学。现代数学虽然呈现出多姿多

彩的局面，但是它的主要特点可以概括如下：(1)

数学的对象、内容在深度和广度上都有了很大的

发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和

方法都发生了惊人的变化，数学的不断分化，不

断综合的趋势都在加强。(2)电子计算机进入数

学领域，产生巨大而深远的影响。(3)数学渗透

到几乎所有的科学领域，并且起着越来越大的作

用，纯粹数学不断向纵深发展，数理逻辑和数学

基础已经成为整个数学大厦基础。

数学出现于包含著数量、结构、空间及变化

等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量

及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值

得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多

的问题。牛顿和莱布尼兹是微积分的发明者，费

曼发明了费曼路径积分，来用于推理及物理的洞

察，而今日的弦理论亦生成为新的数学。一些数

学只和生成它的领域有关，且应用于此领域的更

多问题解答。

每一门科学都有自己的特点，数学亦然。数

学问题的解决往往不能立刻转化或不能转化为

生产力，只有一小部分可以实现这个转化。一个

明显的例子便是哥德巴赫猜想的证明与哈伯的

合成氨法，经过几百年的不懈努力，只剩下1+1

的证明，但之前命题的证明并没有促进生产力的

发展，而哈伯的合成氨法就不一样了，它极大促

进了生产力的发展，特别是化工业的发展。但这

并不能说明数学问题的解决与数学作用不大，数

学起决定性作用的例子最明显的便是物理学，当

物理学中有关数学的问题得以解决时，物理学特

别是理论物理学会有很大的发展。其实不仅仅是

物理学，社会中的各个方面都会牵涉到数学，数

学的作用范围如此之广，这是其他的学科所无法

比拟的。

数学经过上千年的发展与演化，得以发展

到今天的繁荣，虽然当年诺贝尔没有为数学设

奖，但一代代的数学家们前仆后继，为数学事业

倾注了一生的心血，他们为世人呈现出了数学的

美丽。历史的车轮终将还会向前，数学终将还会

继续发展。